【原】极限：171-175题 | 一类特殊的函数 | 狄利克雷函数 | 知识点汇总

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本节课程：狄利克雷函数一类特殊的函数，特点及性质节选自《题库：极限》171-175题

171 . 简述狄利克雷函数的特点。172 . 写出狄利克雷函数。173 . 判断狄利克雷函数是否是一个周期函数？它的周期是多少？174 . 判断狄利克雷函数的奇偶性。175 . 判断狄利克雷函数的图像能否画出。

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拓展知识点：一类特殊的函数，特点知识小节

① . 定义域为实数R范围上。② . 值域不连续的函数,值域为{0,1}。③ . 图像以Y轴为对称轴,是偶函数。④ . 无法画出函数图像,但是函数的图像客观存在。⑤ . 以任意正有理数为其周期,无最小正周期。⑥ . 处处不连续,处处不可导,处处极限不存在。⑦ . 在任何区域内不可黎曼积分。⑧ . 一个处处不连续的可测函数。

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参考答案：

171 . 简述狄利克雷函数的特点。

解答：

狄利克雷函数函数不可导，不连续，无极限，不可积，无最小正周期，偶函数，在任何区间黎曼不可积，可测函数，在单位区间上勒贝格可积，以任意正有理数为其周期。

172 . 写出狄利克雷函数。

解答：

173 . 判断狄利克雷函数是否是一个周期函数？它的周期是多少？

解答：

①对于任何正有理数，与同为有理数或无理数，即：

所以是一个周期函数。
②任何正有理数都是它的周期，因为不存在最小的正有理数，所以无最小正周期，周期函数不一定具有最小正周期。

174 . 判断狄利克雷函数的奇偶性。

解答：

；；即:对于一切，，狄利克雷函数为偶函数.

175 . 判断狄利克雷函数的图像能否画出。

解答：

狄利克雷函数函数图像是存在的但无法作出，因为图像以轴为对称轴，是一个偶函数，处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。

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