关于无限的历史和现状的研究报告。无限在数学及其数学教学中占有十分重要的地位。初等数学更多地在“有限”的领域、更多地以“有限”为手段和工具进行
讨论。高等数学则更多地在“无限”的领域、更多地以“无限”为手段和工具展开讨论。极限、导数、定积分、级数等都属于“无限”的范畴，所以
高等数学的学习就特别需要更加清晰地理解认识无限。人们习惯于有穷下的思维，一旦遇到無限就要格外小心，而高等数学就是与无限打交道的。一
、无限追源：中国有句古话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”一尺本来只是有限的长度，却永远也分不完。这古话里的无限足以让我们去深深
地理解和认识。（一）古希腊（公元前6世纪前后）的穷竭法。从一个圆内接正方形出发，将边数逐步加倍得到正八边形、正十六边形，无限重复这
一过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安提丰的穷竭过程是无限的，在当时主要是解决古希腊三大不能尺
规作图问题之一画圆为方，当然未能真正解决这一问题。两千多年以后证明了π的超越性也就证明了画圆为方不能尺规作图。（二）芝诺悖论。古希
腊时期的芝诺从哲学的角度提出了四个著名的悖论：1.两分法；2.阿基里斯与乌龟；3.非矢不动；4.运动场。其中第二个悖论：阿基里斯永
远追不上乌龟。假设乌龟在阿基里斯前面100米，阿基里斯的速度是乌龟的10倍。如图：阿基里斯在A点时，乌龟在B点；阿基里斯追到B，乌
龟爬到C；阿基里斯追到C，乌龟爬到D；阿基里斯离乌龟越来越近，也就是AB，BC，CD，这些线段越来越短，每个都只有前一个的110，
每一个线段的长度都不会是0，亦即当阿基里斯按上面的过程去追乌龟时，在任何有限次之内他都追不上乌龟。（三）刘徽的割圆术。刘徽从一个圆
内接正六形出发，将边数逐步加倍得到正十二边形、正二十四边形，用圆内接正多边形去逼近圆。通过计算正多边形的周长和面积，从而得到圆的周
长和面积。用圆内接正多边形去逼近圆，这种逼近的过程是永无止境的，亦即无限的。二、希尔伯特旅馆。现实世界的旅馆哪怕是全球连锁都只有有
限个客房，客满以后再来客人就无法安排入住了。“有无数个房间的旅馆”，人们把它称之为希尔伯特旅馆，当然这样的旅馆只是人脑的产物。希尔
伯特旅馆客满后又来了1位客人，老板能安排入住。老板可以先请出原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客人搬到2号房间去住，让2号房间
的客人搬到3号房间去住，让3号房间的客人搬到4号房间去住，这样原来的客人都有房间住了，而1号房间却空出来了，可以让新来的客人入住。
希尔伯特旅馆客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人，老板也能安排入住。老板可以先请出原来房间里的所有客人，然后让1号房间的客
人搬到2号房间去住，让2号房间的客人搬到4号房间去住，让3号房间的客人搬到6号房间去住，这样原来的客人都有房间住了，只占用了偶数号
房间，所有的奇数号房间却空出来了，有无数个奇数号房间正好可以让新来的无穷个客人入住。希尔伯特旅馆客满后又来了一万个旅游团，每个团中
都有无数个客人，老板仍能安排入住。老板先让原来房间里的客人都出来，然后让1号房间的客人搬到10001号房间去住，让2号房间的客人搬
到20002号房间去住，让3号房间的客人搬到30003号房间去住，这样原来的客人都有房间住了，空出了一万个又一万个的空房间，正好可
以让新来的一万个旅游团中的每一个客人入住。希尔伯特旅馆客满后又来了无数个旅游团，每个团中都有无数个客人，老板能否安排？答案是肯定的
。上面的方法用不上了（方法等同于有理数排序，在此不再赘述），原因是从有限到了无限。三、极限的产生和发展：无论是古希腊的穷竭法还是刘
徽的割圆术，都孕育着极限的思想，只不过古希腊人“对无限的恐惧”绕开了极限，今天的我们对无限仍然是一知半解，就算是从事数学教育的也需
要很好地理解和认识，所以才会有上述的“希尔伯特旅馆”，这样的旅馆是二十世纪初德国大数学家希尔伯特给数学家们举的例子，目的是帮助人们
认识无限、无穷大。极限思想的发展与微积分的建立密切相关。17世纪后半叶，牛顿、莱布尼兹各自独立的创建了微积分。起初牛顿和莱布尼兹以
无穷小为基础建立微积分，后来都遇到了逻辑困难。以牛顿为例，他的微积分方法是：第一步他用无穷小增量作分母进行除法，第二步他把无穷小增
量看作零，去掉包含着它的项，从而得到变化率导数。英国大主教贝克莱指责牛顿：无穷小增量既可做分母就不应该是零，包含它的项就不该去掉；
如果可以认为是零，那它就不应该作分母进行除法。贝克莱的指责是一针见血的。微积分创建之后两个世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，
比较完整地阐述了极限概念及其理论，柯西把无穷小视为以“0”为极限的变量，虽然澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，但柯西的叙述中还存
在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，没有达到彻底严密化的程度。有了极限的精确定义，外加实数理论，微积分就有了严格的
理论基础，从而导数、定积分、级数等这些“无限”范畴的学习就顺理成章了。四、极限思想的功效：极限的思想方法揭示了量变与质变、有限与无
限、近似与精确的对立统一。借助极限思想，我们可以从有限认识无限，从量变认识质变，从近似认识精确。（一）有限无限。有限使人感觉具体，
无限使人充满想象，人们要对无限多一份理性的思考。有限与无限既有区别又有联系。前述的希尔伯特旅馆在有限做不到的事情在无限做到了，这就
是有限无限的本质区别。而人们习惯于有穷下的思维，所以说与无限打交道要格外小心。有限无限又是相互联系的。数学归纳法证明的是对所有自然
数都成立的命题，而自然数有无限个，数学归纳法表达的是无限的推理过程，而它的证明步骤只有两步（有限），通过有限步完成一个涉及无限多个
对象的证明。极限是无限的过程，最终得到的往往是一个有限的数。数学家通过有限的方法描写极限的无限过程，如前述的维尔斯特拉斯的极限定义
。芝诺悖论之阿基里斯与乌龟，表面上看起来阿基里斯要想追上乌龟需要跑无穷段路程，感觉永远追不上，实际上这无穷段路程的和却是有限的。（
二）量变质变。量变引起质变是辩证法的基本规律。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变；但是不
断让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就变成了“圆”，多边形面积便转化为圆面积，是质变。（三）近似精确。近似与精确是对立统一的，两者在一定条件下可相互转化。圆内接正多边形面积是圆面积的近似值；阿基里斯追乌龟的部分和，是近似值，取极限后就得到相应的精确值。无论是初等数学还是高等数学，也无论是学习还是教学，我们都要对无限清晰地理解和认识，才能教学有方，学有所获。 |
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