2021-2022学年甘肃省武威市高二（上）期末
数学模拟试卷二（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共48.0分）
命题“?x∈R，x2-x≥0”的否定是（ ）
A. ?x∈R，x2-x≥0 B. ?x∈R，x2-x≥0 C. ?x∈R，x2-x＜0 D. ?x∈R，x2-x＜0
下列求导运算正确的是（ ）
A. （cosx）′=sinx B. C. （2x）′=2xlog2e D.
若a，b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的（ ）条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）
A. y=3x-1 B. y=-3x+5 C. y=3x+5 D. y=2x
从1，2，3，4这四个数中一次随机选取两个数，所取两个数之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
过定点P（0，2）作直线l，使l与曲线y2=4x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
函数的导数是( )
A. B. C. D.
?某天，由重庆八中渝北校区发往沙坪坝校区的三辆校车分别在，，发车，何老师在至之间到达乘车地点乘坐校车，且何老师到达乘车地点的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（? ? ? ?)
A. B. C. D.
若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）
A. B. 2 C. D. 4
设函数?，f''（x）为f（x）的导函数，若函数g（x）=f（x）+f''（x）的图象关于原点对称，则cosθ的值是（ ）
A. B. ? C. D.
设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时xf′（x）＞f（x），且f（3）=0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ）
A. （-∞，-3]∪[3，+∞） B. [-3，3] C. （-∞，-3]∪[0，3] D. [-3，0]∪[3，+∞）
二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）
一个骰子连续投2次，点数和为4的概率______ ．
若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号） ①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3. ②直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx. ③直线l：y=-x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y=sinx. ④直线l：y=x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y=ex.
已知过双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|=4a的直线l恰好有3条，则双曲线C的离心率为______．
函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a，b∈R）在x=1处有极值为10，则b的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）
若双曲线C?与曲线x2-3y?2=3有相同的渐近线，且过点（-6，3），试求C的方程．
设函数f（x）=lnx-x （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．
某商场举行抽奖活动,从装有编号为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于5中一等奖,等于4中二等奖,等于3中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率.
袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率； ②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．
已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点， （1）求焦点F的坐标及其离心率? （2）求弦AB的长．
（Ⅰ）设函数f（x）定义域为I，叙述函数f（x）在定义域I内某个区间D上是减函数的定义； （Ⅱ）用单调性的定义证明函数f（x）=在x∈[2，6]的单调性； （Ⅲ）当x∈[2，6]时，求函数f（x）=的值域．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】 ?本题考查全称命题的否定形式，属于基础题目． 全称命题“?x∈M，p（x）”的否定为特称命题“?x∈M，￢p（x）”． 【解答】 解：命题“?x∈R，x2-x≥0”的否定是“?x∈R，x2-x＜0”． 故选：D．??
2.【答案】B
【解析】解：（cosx）′=-sinx，，（2x）′=2xln2，． 故选：B． 根据基本初等函数和复合函数的导数的求导公式求导即可． 本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵|a|+|b|≥|a+b|， ∴若|a+b|＞1，则|a|+|b|＞1成立，即必要性成立， 反之不一定成立，即充分性不成立 即|a|+|b|＞1是|a+b|＞1必要不充分条件， 故选：B． 根据绝对值不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合绝对值不等式的性质是解决本题的关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题． ???????根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
【解答】
解：∵y=-x3+3x2，∴y''=-3x2+6x， ∴y''|x=1=（-3x2+6x）|x=1=3， ∴曲线y=-x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y-2=3（x-1）， 即y=3x-1， 故选：A．
??
5.【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个： （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）． 其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）． 故所求事件的概率P==， 故选：C． 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，其基本事件共有以下6个，其中两个数的和为5的共有两个（1，4），（2，3）．据此可得出答案． 把所有的基本事件一一列举出来，再找出所要求的事件包含的基本事件个数即可．
6.【答案】C
【解析】解：由题意可知过点p与x轴平行时直线与抛物线有一个交点； 当过点p与x轴不平行时设直线方程为y=kx+2， 与抛物线方程联立消去y得k2x2+（4k-4）x+4=0 要使直线与曲线有且仅有1个公共点需△=（4k-4）2-16k2=0， 解得k=， 同时抛物线与y轴也只有一个交点，故y轴也符合； 故选：C． 通过图象可知当直线与抛物线相切时，与x轴平行时和y轴时直线与抛物线有且仅有1个公共点． 本题主要考查了抛物线的应用．本题可采用数形结合方法解决．
7.【答案】C
【解析】试题分析： 考点：函数求导公式 点评：本题考查的是幂函数的导数：若则
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查与长度有关的几何概型,求出何老师等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案． 【解答】 解：设何老师到达时间为y， 当y在17：50至18：00，或18：20至18：30时，?何老师等车时间不超过10分钟， 故. 故选C .
??
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆及抛物线的简单几何性质，考查转化思想，属于基础题． 求得椭圆的焦点坐标，由题意可得=2，即可求得p的值．
【解答】
解：由椭圆a=，b=，c2=a2-b2=4， ?则椭圆的焦点右焦点F（2，0）， 由抛物线y2=2px的焦点为，则=2，则p=4， 故选：D．
??
10.【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查了导数的运法和三角函数的化简，属于中档题． 先求导，再利用两角差的正弦公式可得可得g（x）=-4sin（x+θ-），再根据函数的性质即可求出θ=，问题得以解决． 【解答】
解：f（x）=2cos（x+θ），（0＜θ＜π） ∴f′（x）=-2sin（x+θ）， ∴g（x）=f（x）+f''（x）=2cos（x+θ）-2sin（x+θ）=-4sin（x+θ-）， ∵函数g（x）=f（x）+f''（x）的图象关于原点对称， ∴θ-=kπ，k∈Z， ∵0＜θ＜π， ∴θ=， ∴cosθ=， 故选：D．
??
11.【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想，属于基础题. 先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为-1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得． 【分析】 解：设双曲线方程为， 则F（c，0），B（0，b） 直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直， 所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac，即e2-e-1=0， 所以或（舍去）. ?故选D .??
12.【答案】D
【解析】解：根据题意，设g（x）=，（x＞0），则其导数g′（x）=， 而当x＞0时xf′（x）＞f（x），必有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数， 又由f（3）=0，则g（3）==0， 在区间（0，3）上，g（x）＜0，在区间（3，+∞）上，g（x）＞0， 而g（x）=，则在区间（0，3）上，f（x）＜0，在区间（3，+∞）上，f（x）＞0， 又由f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（-3）=-f（3）=0， 且在区间（-∞，-3）上，f（x）＜0，在区间（-3，0）上，f（x）＞0， 综合可得：不等式f（x）≥0的解集为[-3，0]∪[3，+∞）； 故选：D． 根据题意，设g（x）=，（x＞0），求出其导数，分析可得g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（3）=0可得g（3）=0，分析可得g（x）的符号，进而分析f（x）在（0，+∞）上的符号规律，结合函数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数的单调性与导数的应用，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个古典概型， 试验发生包含的基本事件共6×6=36个， 满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个， ∴ 故答案为： 本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共6×6个，满足条件的事件是点数和为4的可以列举出有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，根据古典概型概率公式得到结果． 本题考查古典概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型．
14.【答案】①③
【解析】解：①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线， 又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确； ②由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1， 由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时， g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0． 即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题②错误， ③由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=π=-1，直线y=-x+π是过点P（0，0）的曲线的切线， 又x∈（-，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=-x+π两侧，故命题③正确； ④函数y=ex的导数f′（x）=y=ex，则f′（0）=1，则切线方程为y=x+1， 设g（x）=ex-（x+1），则g′（x）=ex-1，当x＞0，g′（x）＞0，函数g（x）递增， 当x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）递减， 则当x=0时，函数取得极小值同时也是最小值g（0）=1-1=0， 则g（x）≥g（0）=0，即ex≥x+1，则曲线不在切线的两侧，故④错误． 故答案为：①③ 分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求． 本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，综合考查导数的应用．
15.【答案】
【解析】解：由|AB|=4a的直线1恰好有3条， 由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直， 另两条关于x轴对称， 令x=c，代入双曲线C：=1（a＞0，b＞0），可得 y=±b=±， 即有此时|AB|==4a， 即为b2=2a2=c2-a2，e＞1， 可得e=． 故答案为：． 由|AB|=4a的直线1恰好有3条，由双曲线的对称性可得，必有一条与x轴垂直，另两条关于x轴对称，令x=c，代入双曲线方程，计算即可得到双曲线的离心率． 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的对称性，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】-11
【解析】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+a2， 则f''（x）=3x2+2ax+b， 因为f（x）在x=1处有极值为10， 则，解得a=4，b=-11或a=-3，b=3， 当a=4，b=-11时，f''（x）=3x2+8x-11，Δ=64+132＞0，所以函数有极值点； 当a=-3，b=3时，f''（x）=3（x-1）2≥0，所以函数无极值点． 综上所述，b的值为-11． 故答案为：-11． 利用极值以及极值点的定义，列出方程组，求出a，b的值，然后进行检验即可． 本题考查了利用导数研究函数极值的理解与应用，函数极值点的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设所求双曲线方程为x2-3y?2=λ，λ≠0， 把点（-6，3）代入，得： 36-27=λ，即λ=9， ∴双曲线C的方程为．
【解析】设所求双曲线方程为x2-3y?2=λ，λ≠0，把点（-6，3）代入，能求出双曲线C的方程． 本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要注意双曲线性质的合理运用．
18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=， 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1， 令f′（x）＜0得x＞1， ∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）在x=1处取得极大值， f（x）极大值=f（1）=-1．
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的极值即可． 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
19.【答案】解：从袋中同时抽两个小球共有 （0，1）,（0，2）,（0，3）,（1，2）,（1，3）,（2，3）六种情况. （1）设抽出两个球的号码之和为3为事件A，事件A共包含（0，3）（1，2）两种情况, ∴. （2）设抽出两球的号码之和为5为事件B，两球的号码之和为4为事件C， 由上知,. ∴中奖概率为P=.
【解析】本题考查古典概型及其计算，互斥事件的概率，属于基础题.求古典概型事件的概率，首先要求出各个事件包含的基本事件，求基本事件个数的常用方法有：列举法、排列、组合法、图表法． （1）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为3的所有情况，据古典概型概率公式求出中三等奖的概率． （2）先列举出从袋中同时抽两个小球的所有情况，得到号码之和为4，5的所有情况，据古典概型概率公式求出中一等奖，中二等奖的概率，利用互斥事件的概率公式求出中奖概率．
20.【答案】(1)n＝2(2) 1－
【解析】(1)由题意可得＝，解得n＝2. (2)①由于是不放回抽取，事件A只有两种情况：第一次取0号球，第二次取2号球；第一次取2号球，第二次取0号球．所以P(A)＝. ②记“x2＋y2>(a－b)2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2＋y2>4恒成立”． (x，y)可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}， 而事件B构成的区域B＝{(x，y)|x2＋y2>4，(x，y)∈Ω}，所以P(B)＝＝1－.
21.【答案】（1）解：∵a2=4，b2=1∴…（2分） ∴…（4分） 离心率?e==…（6分） （2）解：由斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F得直线l的方程为 设A（x1，y1），B（x2，y2），…（7分） 由得：…（8分） ∴…（9分） 所以：…（10分） =…（11分） =…（12分）
【解析】（1）利用椭圆的标准方程，求出a，b，c即可求出椭圆的焦点坐标，以及椭圆的离心率． （2）设出AB坐标，求出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可． 本题考查椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：（Ⅰ）减函数的定义为：一般地，设函数f（x）的定义域为I， 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． （Ⅱ）证明：设2≤x1＜x2≤6， ==， ∵2≤x1＜x2≤6，∴x2-x1＞0，x1-1＞0，x2-1＞0， ∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）； 则f（x）在x∈[2，6]上单调递减； （Ⅲ）由（Ⅱ）f（x）在x∈[2，6]上单调递减， 则，fmax（x）=f（2）=5， 故f（x）在x∈[2，6]上的值域为[，5]．
【解析】（Ⅰ）根据题意，由减函数的定义可得答案； （Ⅱ）根据题意，由作差法分析可得结论， （Ⅲ）根据题意，利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，即可得答案． 本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
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