河北省迁安市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试卷（模拟）
副标题
题号 一 二 三 四 总分 得分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件为（ ）
A. k＞0，b＞0 B. k＜0，b＜0 C. k＞0，b＜0 D. k＜0，b＞0
已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（???）
A. 11 B. 22 C. 33 D. 44
“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知抛物线x2=2py和-y2=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，），若|PQ|=|PF|，则抛物线的方程是（ ）
A. x2=4y B. x2=2y C. x2=6y D. x2=2y
已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n B. 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β C. 若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β D. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n
直线l：y=x与圆x2+y2-2x-6y=0相交于A，B两点，则|AB|=（ ）
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
椭圆5x2+ky2=5的一个焦点为（0，2），那么k的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
直线y=-2x-3与曲线的公共点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABD沿BD折起，使A到A′的位置，A′在平面BCD的射影E恰落在CD上，则（ ）
A. 三棱锥A′-BCD的外接球直径为5 B. 平面A′BD⊥平面A′BC C. 平面A′BD⊥平面A′CD D. A′D与BC所成角为60°
设O为坐标原点，F1，F2是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点P满足∠F1PF2=60°，且线段PF1的中点B在y轴上，则（ ）
A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的方程可以是-y2=1 C. |OP|=a D. △PF1F2的面积为
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，∠A1AB=∠A1AD，则有（ ）
A. A1M∥B1Q B. AA1⊥PQ C. A1M∥面D1PQB1 D. PQ⊥面A1ACC1
已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（ ）
A. |PQ|的最小值为4 B. 已知曲线C上的两点S，T到点F的距离之和为10，则线段ST的中点横坐标是4 C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥ D. 过M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D在直线AC上，若|AD|≤|BD|恒成立，则t的取值范围是______．
直线2x+y-1=0的倾斜角是______．
湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为______ cm，表面积是______ ．
已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点.过F的直线交双曲线右支于A，B两点，连结AO并延长交双曲线C于点P.若|AF|=2|BF|，且∠PFB=60°，则该双曲线的离心率为______ .
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知圆的圆心在直线上，且与轴交于两点,.（I）求圆的方程； （II）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．
已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）． （1）证明：不论m为何值时，直线l恒过定点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．
如图，为圆的直径，点．在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，. （1）设的中点为，求证：平面； （2）求四棱锥的体积．
在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y2=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题．
如图，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，? ? 且．
?? （1）求证：平面；
?? （2）设，，是侧棱上的一点，? ?且∥平面，求三棱锥的体积．
（本题满分16分）已知椭圆的两焦点分别为?,?是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
（1）求点坐标；
（2）当直线经过点时，求直线的方程；
（3）求证直线的斜率为定值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：要使直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则斜率k和在y轴上的截距b满足的条件， 故选：B． 由题意利用确定直线的位置的几何要素，得出结论． 本题主要考查确定直线的位置的几何要素，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5， ∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点， 且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16， 由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. ∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28， 因此△PQF的周长为 |PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44，选D.
3.【答案】A
【解析】解：若a=2．则两条直线的方程为2x+4y-1=0与x+2y+3=0满足两直线平行，即充分性成立． 当a=0时，两直线等价为4y-1=0与x+3=0不满足两直线平行，故a≠0， 若“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”，则， 解得a=2或a=-2，即必要性不成立． 故“a=2”是“l1：ax+4y-1=0与l2：x+ay+3=0平行”的充分不必要条件， 故选：A 根据直线平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF ∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴， 即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m? （m＜0） 由消去y得． 则△1=8m2-24=0，解得m=-，即PQ：y= 由得，△2=8p2-8p=0，得p=． 则抛物线的方程是x2=2y． 故选：B． 如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF 可得直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m? （m＜0） 再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p． 本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：当m⊥α，n∥β，α⊥β时，直线m与n可能异面不垂直，故选项A错误； 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，比如n平行于α与β的交线，且满足m⊥n，m⊥α，但α与β可能不垂直，故选项B错误； 当m∥n，m∥α，n∥β时，比如m与n都平行于α与β的交线，且满足m∥n，m∥α，但α与β不平行，故选项C错误； 垂直于同一个平面的两条直线平行，故选项D正确． 故选：D． 直接利用空间中线、面之间的关系进行分析判断即可． 本题考查了空间中线面位置关系的判断，此类问题一般都是从反例的角度进行考虑，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，掌握直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，属于基础题． 根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可． 【解答】
解：圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=10， 圆心坐标为（1，3），半径R=， 则圆心到直线x-y=0的距离d=， 则|AB|===4. 故选C．
??
7.【答案】D
【解析】
【分析】 本题考查椭圆的简单性质，是基础题． 把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值． 【解答】 解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1， 因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上， 则c==2，解得k=1． 故选D．??
8.【答案】B
【解析】解：当x≥0时，曲线的方程为，一条渐近线方程为：y=-x， 当x＜0时，曲线的方程为， ∴曲线的图象为右图， 在同一坐标系中作出直线y=-2x-3的图象， 可得直线与曲线交点个数为2个． 故选：B． 分x大于等于0，和x小于0两种情况去绝对值符号，可得当x≥0时，曲线为焦点在y轴上的双曲线，当x＜0时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，在同一坐标系中作出直线y=-2x-3与曲线的图象，就可找到交点个数． 本题主要考查图象法求直线与曲线交点个数，关键是去绝对值符号，化简曲线方程．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，取BD中点E，连接A′E，CE， 则A′E=BE=DE=CE==． ∴三棱锥A′-BCD的外接球直径为5，故A正确； 对于B，∵DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，∴BC⊥A′F， 又A′F∩CD=F，A′F、CD?平面A′CD，∴BC⊥平面A′CD， ∵A′D?平面A′CD，∴DA′⊥BC， ∵BC∩BA′=B，∴DA′⊥平面A′BC， ∵DA′?平面A′BD，∴平面A′BD⊥平面A′BC，故B正确； 对于C，BC⊥A′C，∴A′B与A′C不垂直， ∴平面A′BD与平面A′CD不垂直，故C错误； 对于D，∵DA∥BC，∴∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角）， ∵A′C==，∴A′F=，DF==， AF==，AA′==3， ∴cos∠ADA′==0，∴∠ADA′=90°， ∴A′D与BC所成角为90°，故D错误． 故选：AB． 对于A，取BD中点E，连接A′E，CE，推导出A′E=BE=DE=CE=，从而三棱锥A′-BCD的外接球直径为5；对于B，推导出DA′⊥BA′，BC⊥CD，A′F⊥平面BCD，BC⊥A′F，BC⊥平面A′CD，DA′⊥BC，DA′⊥平面A′BC，从而平面A′BD⊥平面A′BC；对于C，A′B与A′C不垂直，从而平面A′BD与平面A′CD不垂直；对于D，由DA∥BC，得∠ADA′是A′D与BC所成角（或所成角的补角），推导出A′D与BC所成角为90°． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：如图，F1（-c，0），F2（c，0）， ∵B为线段PF1的中点，O为F1F2的中点，∴OB∥PF2， ∴∠PF2F1=90°， 由双曲线定义可得，|PF1|-|PF2|=2a， 设|PF1|=2m（m＞0），则|PF2|=m，， ∴2m-m=2a，即a=， 又，∴c=，则e=，故A正确； ，则b=，双曲线的渐近线方程为y=， 选项B的渐近线方程为y=，故B错误； 对于C，∵O为F1F2的中点，∴， 则，即=， 即，① 而|PF1|-|PF2|=2a，两边平方并整理得，，② 联立①②可得，，，即|PO|=，故C正确； =，故D错误． 故选：AC． 由已知可得∠PF2F1=90°，设|PF1|=2m（m＞0），再由已知结合双曲线定义可得a，b，c与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B；由O为F1F2的中点，得，两边平方后结合双曲线定义联立求得|PO|判断C；进一步求出△PF1F2的面积判断D． 本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：连接MP，可得MPADA1D1，可得四边形MPA1D1是平行四边形 ∴A1M∥D1P，又A1M?平面DCC1D1，D1P?平面DCC1D1，A1M∥平面DCC1D1， 连接DB，由三角形中位线定理可得：PQDB，DBD1B1，可得四边形PQB1D1为梯形， QB1与PD1不平行，因此A1M与B1Q不平行， 又A1M∥D1P，A1M?平面D1PQB1，D1P?平面D1PQB1， ∴A1M∥平面D1PQB1.故A不正确，C正确； 连接AC，由题意四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， ∵P，Q分别为棱CD，BC的中点，∴PQ∥BD，∴PQ⊥AC， ∵平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD， ∴直线AA1在平面ABCD内的射影是AC，且BD⊥AC， ∴AA1⊥BD，∴AA1⊥PQ，故B正确； ∵AA1∩AC=A，∴PQ⊥面A1ACC1，故D正确． 故选：BCD． 连接MP，推导出四边形MPA1D1是平行四边形，从而A1M∥D1P，连接DB，推导出四边形PQB1D1为梯形，A1M与B1Q不平行，推民出A1M∥平面D1PQB1；连接AC，推导出四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，从而PQ⊥AC，由平行六面体的所有棱长都相等，且∠A1AB=∠A1AD，推志出AA1⊥PQ，从而PQ⊥面A1ACC1． 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A，设直线PQ的方程为x=ty+1, 联立解方程组,可得y2-4ty-4=0，x1x2==1， |PQ|=x1+x2+p=x1+x2+2+2=4，故A正确； 对于B,根据抛物线的定义可得，|SF|+|TF''|=xS+xT+p=10,则xS+xT=8, 则线段ST的中点横坐标是=4,故B成立； 对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=，所以C正确； 对于D,过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条．所以D不正确； 故选：ABC． 设出直线方程与抛物线联立，利用弦长公式判断A，结合抛物线的定义，判断B；利用抛物线的性质判断C；直线与抛物线的切线情况判断D． 考查抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系的应用，是中档题．
13.【答案】（-∞，0]
【解析】解：设D（x，y），由D在AC上， 得+y=1，即x+ty-t=0， 由|AD|≤|BD|得 ≤?， 化为（x-2）2+（y+1）2≥4， 依题意，线段AD与圆（x-2）2+（y+1）2=4至多有一个公共点， ∴≥2， 解得：t≤0， 则t的取值范围为（-∞，0]， 故答案为：（-∞，0]． 先设出D（x，y），得到AD的方程为：x+ty-t=0，由|AD|≤|BD|得到圆的方程，结合点到直线的距离公式，解不等式即可得到所求范围． 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.【答案】π-arctan
【解析】解：直线2x+y-1=0的斜率为， 设直线2x+y-1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π）， 则tan，∴θ=． 故答案为：π-arctan． 由直线方程求直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解． 本题考查由直线方程求直线的斜率，考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．
15.【答案】10；400π
【解析】解：设球的半径为r，依题意可知36+（r-2）2=r2，解得r=10， ∴球的表面积为4πr2=400π 故答案为10，400π 先设出球的半径，进而根据球的半径，球面上的弦构成的直角三角形，根据勾股定理建立等式，求得r，最后根据球的表面积公式求得球的表面积． 本题主要考查了球面上的勾股定理和球的面积公式．属基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】 本题考查双曲线的定义以及几何性质的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题. 设双曲线C的左焦点为F''，连结AF''，BF''，设|BF|=t，则|AF|=2t，推出∠F''AB=60°．在△F''AB中，由余弦定理求解．结合双曲线的定义，求出，．在△F''AF中，由余弦定理推出a，c关系，得到离心率即可． 【解答】 解：设双曲线C的左焦点为F''，连结AF''，BF''，设|BF|=t，则|AF|=2t， 所以|AF''|=2a+2t，|BF''|=2a+t． 由对称性可知，四边形AF''PF为平行四边形，故∠F''AB=60°． 在△F''AB中，由余弦定理得 （2a+t）2=（2a+2t）2+（3t）2-2×（2a+2t）×3t×cos60°， 解得． 故，． 在△F''AF中，由余弦定理得，， 解得：． 故答案为：．??
17.【答案】解：（I）因为圆与轴交于两点,， 所以圆心在直线上，
由，得， ???????即圆心的坐标为． 半径， 所以圆的方程为； （II）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时可得，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 过点作于点，则D为线段MN中点， ∴ ， ∴，即点C到直线l的距离， 解得或k=-3； 综上，直线的方程为x-3y+3=0或3x+y-11=0．
【解析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
（I）根据题意，即可得解；
（II）分类讨论，进行求解即可.
18.【答案】（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y-4+（2x+y-7）=0．联立方程x+y-4=0与2x+y-7=0，得点（3，1）； 将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）； （2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m=． 当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m= 此时直线l方程为2x-y-5=0，圆心到直线的距离为，所以最短弦长为．
【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点； （2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长． 本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查平面几何知识的运用，考查计算能力，属于中档题．
19.【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）要证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行即可，设的中点为，则为平行四边形，则，又平面，不在平面内，满足定理所需条件；（2）过点作于，根据面面垂直的性质可知平面，即正的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可. 试题解析：（1）设的中点为，则 又，∴ ∴为平行四边形∴ 又平面，平面 ∴平面 (2)过点作于 平面平面，∴平面，即正的高 ∴∴ ∴. 考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系；3.棱锥的体积计算.
20.【答案】证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y2=2x于点A（x1，y1）、B（x2，y2）． 当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3， 此时，直线l与抛物线相交于点A（3，）、B（3，-）． ∴=3 当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0， 由得ky2-2y-6k=0?y1y2=-6， 又∵x1=y12，x2=y22， ∴x1x2=9， ∴=x1x2+y1y2=3， 综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么=3”是真命题； 综上，命题成立．
【解析】设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么=3”是真命题． 本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．
21.【答案】（1）证明：∵底面??是菱形，∴??．
又??平面??．
又?
又??平面??．?
（2）连接??，
∵ SB平面?，平面?，平面??平面??，SB∥平面APC，?∴SB∥OP．
又∵??是??的中点，∴??是??的中点．
由题意知?△ABD为正三角形．??．由（1）知??平面??，∴??．
又??，∴在?Rt△SOD中，??．∴??到面??的距离为?
?.
【解析】主要考查了线面垂直的判定和三棱锥??的体积.
(1)要证明线面垂直，证明SO与平面ABCD中两条相交直线垂直即可，应用已知条件与等腰三角形的三线合一即可得到证明；
(2)由SB∥平面APC的性质定理证明得SB∥OP，由(1)得高为PO，利用三棱锥的体积公式即可求出结果.
22.【答案】（1）
（2）
（3），证明略.
【解析】解：（1） 设P((x，y)，由题意可得?，解得?，∴P?．? （2）∵?，两条直线PA，PB倾斜角互补，∴k?PA+k?PB=0，解得k?PB=1．? 因此直线PA，PB，的方程分别为?，?，? 化为?，?．? 联立?，解得?(舍去)，?，即A?．? 同理解得B?．? ∴k?AB=?=?，∴直线AB的方程为?，化为?．? （3）S设A(x?1，y?1)，B(x?2，y?2)，设直线PA的方程为：?，则直线PB的方程为?．? 联立?，解得A?．? 同理B?，? ∴k?AB=?=?．? 即直线AB的斜率为定值?．
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