【原】新教材里潜在的高考题系列48:体对角线优美性质

新教材好文系列继续，今天说说教材里提到的正方体的特性.

人教A版新教材必修第2册第171页，综合运用的第12题：

1

正方体优美性质1

正方体就是一个宝藏，它有诸多优美性质.

第1条：正方体的体对角线，垂直于不与它相交的面对角线.

容易证明BD⊥对角面ACGE，所以BD⊥EC.

同理，EC⊥DG，EC⊥BG.

于是，12题的第1问得证.

即，体对角线⊥等边面（三条两两相交的面对角线所在的平面）.

2

正方体优美性质2

第2条，体对角线垂直于两个等边面，垂足为等边面的中心，且体对角线被两个等边面三等分.

证明起来也不复杂.

还记得《新教材里潜在的高考题系列46：三棱锥顶点的射影与心》里面的内容吗？

如图所示，H点是三棱锥B1-A1BC1顶点B1在底面上的射影.

因为三条侧棱相等，所以射影H是△A1C1B的外心.

而△A1C1B是等边三角形，因此H点同时也是重心.