概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
第 1 章 随机事件及其概率
nP
m
? m! 从(m?n)! m 个人中挑出 n 个人进行排列的可
（ 1）排
能数。
列 组 合
公式 nCm ?
m! 从
n!(m?n)!
m 个人中挑出 n 个人进行组合的可
能数。
加法原理（两种方法均能完成此事） ： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法
完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可
（ 2）加
由 m+n 种方法来完成。
法 和 乘
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： m× n
法原理
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法
完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可
由 m× n 种方法来完成。
（ 3）一 重复排列和非重复排列（有序）
些 常 见 对立事件（至少有一个）
排列 顺序问题
（ 4）随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试
机 试 验 验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不
和 随 机 能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
事件 试验的可能结果称为随机事件。
1
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在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找
出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的
一个事件；
（ 5）基
本 事
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件， 用 ?来表
示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ?表示。
一个事件就是由 ?中的部分点（基本事件 ?）组成的集
合。通常用大写字母 A， B， C， …表示事件，它们是 ?
的子集。
为不可能事件。
不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一
定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，
而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （ A
（ 6）事 发生必有事件 B 发生） ： A? B
件 的 关 如果同时有 A? B， B? A， 则称事件 A 与事件 B 等价，
?为必然事件，?
件 、 样
本 空 间
和事件
系 与 运 或称 A 等于 B： A=B。
算 A、 B 中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B
的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB或者 AB，它表示
1
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A 发生而 B 不发生的事件。
A、 B 同时发生： A?B，或者 AB。 A?B=?，则表示 A 与
B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者
互斥。基本事件是互不相容的。
?-A 称为事件 A 的逆事件， 或称 A 的对立事件， 记为
A 不发生的事件。互斥未必对立。 A 。它表示
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪ (B∪ C)=(A∪ B)∪ C
分配率： (AB)∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C) (A∪ B)∩ C=(AC)
∪ (BC)
德摩根率： i?1?A ??Ai i?1
? ?
i
A?B ? A?B， A?B ? A?B
设 ?为样本空间， A为事件，对每一个事件 A都有
一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
（ 7）概 1° 0≤P(A)≤ 1，
2° P(Ω ) =1率 的 公
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2，…有
? ? ? ?理 化 定 P?
??Ai?? ??P(Ai)?
i?1 ? i?1 义 常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A的概率。
1° ? ???
1
,?
2
? ?
n
?，
（ 8）古
典概型
1
n
设任一事件 A，它是由 ?
1
,?
2
? ?
m
组成的，则有
2° P(?
1
) ? P(?
2
) ?? P(?
n
) ? 。
P(A)=?(?
1
)?(?
2
)?? ?(?
m
)? =P(?
1
) ? P(?
2
) ?? ? P(?
m
)
1
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? m A所包含的基本事件数? 基本事件总数n
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的
可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以
（ 9）几
何概型
使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概
型。对任一事件 A，
P(A) ? L(A) 。其中L(?) L 为几何度量（长度、面积、体积） 。
（ 10 ） P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
加 法 公 当 P(AB)＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
式
（ 11 ） P(A-B)=P(A)-P(AB)
减 法 公 当 B? A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
式 当 A=Ω时， P(B )=1- P(B)
定义 设 A、 B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P(AB) 为事
P(A)
（ 12 ） 件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为
P(AB) 。 P(B/ A) ?
P(A)条 件 概
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条
率 件概率。
例如 P(Ω /B)=1? P(B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) ? P(A)P(B/ A)（ 13 ）
更一般地，对事件 A
1
， A
2
，… A
n
，若 P(A
1
A
2
… A
n-1
)>0，
乘 法 公 则有
P(A1A2 … An) ? P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)…… P(An | A1A2 …式
An ? 1)。
1
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①两个事件的独立性
设事件 A、 B满足 P(AB) ? P(A)P(B)， 则称事件 A、 B是
相互独立的。
若事件 A、 B相互独立，且 P(A) ? 0，则有
P(B | A) ? P(AB) P(A)P(B)? ? P(B)P(A) P(A)
若事件 A、 B相互独立，则可得到 A与 B、 A与 B、 A
与 B 也都相互独立。
必然事件 ?和不可能事件 ?与任何事件都相互独立。 （ 14 ）
? 与任何事件都互斥。
独立性 ②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1,B2,? ,Bn满足
（ 15 ） 1° B1,B2,? ,Bn两两互不相容， P(Bi) ? 0(i ?1,2,? ,n)，
全 概 公
式
2°
则有
A? ? Bi
i?1
n
，
P(A) ? P(B1)P(A | B1) ? P(B2)P(A | B2) ?? ? P(Bn)P(A | Bn)。
设事件 B1， B2，…， Bn及 A满足
1° B1， B2，…， Bn两两互不相容， P(Bi) >0， i ?1，
（ 16 ） 2，…， n ，
贝 叶 斯
公式
2°
则
A? ? Bi
i?1
n
， P(A) ? 0，
， i=1， 2，… n。
j
P(B
i
/ A) ? P(Bi )P(A/ Bi )
? P(B )P(A/ B )
j
j?1
n
1
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此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi)， （ i ?1， 2，…， n） ，通常叫先验概率。 P(Bi / A)，
（ i ?1， 2，…， n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式
反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”
的推断。
我们作了 n次试验，且满足
A发生或 A不发生；?每次试验只有两种可能结果，
?n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均
一样；
?每次试验是独立的， 即每次试验 A 发生与否与其
（ 17 ） 他次试验 A发生与否是互不影响的。
伯 努 利 这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。
概型 用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A 发生的概率为
1? p ? q， 用 Pn(k)表示 n重伯努利试验中 A出现 k(0 ? k ? n)
次的概率，
Pn(k) ? C
n
pkqn?k ， k ? 0,1,2,?,n。 k
第二章随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 X
k
(k=1,2,… )且
取各个值的概率，即事件 (X=X
k
)的概率为
散型随 P(X=x
k
)=p
k
， k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布机变量
律。有时也用分布列的形式给出：
X x1,x2,?,xk,?的分布 |
P(X ? xk) p1, p2,?, pk,?。
律 显然分布律应满足下列条件：
（ 1） 离
（ 1） pk? 0 ， k ?1,2,?， （ 2） k?1? p
?
k ?1。
1
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F(x)是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数 f (x) ，（ 2） 连 设
对任意实数 x ，有
续型随 F(x) ? x f (x)dx?
?? ， 机变量
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数
或密度函数，简称概率密度。 的分布
密度函数具有下面 4 个性质：
密度 1° f (x) ? 0。
2° ???
（ 3） 离
?? f (x)dx ?1。
P(X ? x) ? P(x ? X ? x ? dx) ? f (x)dx
散与连 积分元
续型随
f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与
P(X ? xk) ? pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
机变量 似。
的关系
1
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（ 4） 分
布函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) ? P(X ? x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a ? X ? b) ? F(b) ? F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b]的
概率。分布函数 F(x)表示随机变量落入区间（– ∞， x]
内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 ? F(x) ?1, ??? x ???；
2° F(x) 是 单 调 不 减 的 函 数 ， 即
F(x1) ? F(x2)；
x1 ? x2 时 ， 有
3° F(??) ?
x
lim F(x) ? 0， F(??) ? lim F(x) ?1；
??? x???
4° F(x? 0) ? F(x)，即 F(x)是右连续的；
5° P(X ? x) ? F(x)? F(x?0)。
xk?x
x
对于离散型随机变量， F(x) ? ? p
k
；
对于连续型随机变量， F(x) ? ? f (x)dx 。
??
（ 5） 八 0-1 分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q
大分布
1
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二 项 分 在 n 重贝努里试验中， 设事件 A发生的概率为
布 p。事件 A发生的次数是随机变量，设为 X ，
则 X 可能取值为 0,1,2,?,n。
kP(X ? k) ? Pn(k) ? C
n
pkqn?k ， 其 中
q ?1? p,0 ? p ?1,k ? 0,1,2,?,n，
则称随机变量 X 服从参数为 n ， p 的二项分
布。记为 X ~ B(n, p)。
? k) ? pkq1?k当 n ?1时， P(X ， k ? 0.1，这就是
（ 0-1）分布，所以（ 0-1）分布是二项分布
的特例。
泊 松 分 设随机变量 X 的分布律为
布 P(X ? k) ? ?k
k! e??
， ? ? 0， k ? 0,1,2?，
则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布， 记
为 X ~ ?(?)或者 P(? )。
泊松分布为二项分布的极限分布（ np=λ， n
→∞） 。
k n?k超 几 何 P(X ? k) ? C
M
?C
N?M ,
k ? 0,1,2?,l
n
分布 CN
l ? min(M,n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，
记为 H(n,N,M)。
1
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几 何 分
布
P(X ? k) ? qk?1 p,k ?1,2,3, ，其中 p≥ 0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为
G(p)。
均 匀 分 设随机变量 X 的值只落在 [a， b]内，其密度
1函数 f (x) 在 [a， b]上为常数 ，即
b ? a布
? 1 a≤ x≤ b,?
f (x) ? ?b ? a 其他，
?0,?
则称随机变量 X 在 [a， b]上服从均匀分布，
记为 X~U(a， b)。
分布函数为
0， x
x ?a ,
b?a a≤ x≤ b
F(x) ? ? f (x)dx ?
??
x
当 a≤ x
1
2
≤ b 时， X 落在区间（ x1,x2）内的
概率为
P(x
1
? X ? x
2
) ? x2 ? x1b ? a
1， x>b。
。
1
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指 数 分
布
f (x) ?
?e??x , x ? 0,
0, x ? 0,
其中 ? ? 0， 则称随机变量 X 服从参数为 ? 的
指数分布。
X 的分布函数为
1?e??x , x ? 0,
F(x) ? 0,
x<0。
记住积分公式：
??? x
0
ne?xdx ? n!
1
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正 态 分 设随机变量 X 的密度函数为
(x??)?1f (x) ? e
2? ， ??? x ? ??， 布 2??
其中 ?、 ? ? 0为常数，则称随机变量 X 服
2
2
从参数为 ?、 ? 的正态分布或高斯（ Gauss）
分布，记为 X ~ N(?,? 2)。
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x ? ?对称的；
2° 当 x ? ?时， f (?) ?
若 X
参数 ? ? 0、 ? ?1时的正态分布称为标准正态
Xx ~ N(0,1)，其密度函数记为 分布，记为 1
? 22
1
2??
为最大值；
~ N(?,? )，则 (t??) X 的分布函数为
x ?1 2? 2F(x) ? e dt?
??2?? 。 。
22
?(x) ? 2?
x
e ，
?? ? x ? ??，
?t22
分布函数为
?(x) ? 1
2??(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成
??
? e dt。
表可供查用。
1
2X ??
2如果 X ~N(?,? ) ，则 ~N(0,1) 。 ?
? x
2
? ?? ? x
1
? ??P(x
1
? X ? x
2
) ? ?? ??? ? ?。
? ? ? ? ? ?下分位表：
P(X ? ?
?
)＝ ? ；
Φ( -x)＝ 1-Φ(x)且 Φ( 0)＝ 。
（ 6） 分
位数 上分位表： P(X ? ?? )＝ ? 。
1
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（ 7） 函 离散型
数分布
已知 X 的分布列为
x1, x2,?, xn,?X ，
P(X ? xi) p1, p2,?, pn,?
Y ? g(X)的分布列（ y
i
? g(x
i
)互不相等）如下：
g(x1), g(x2),?, g(xn),?Y ，
P(Y ? y
i
) p
1, p2,?, pn,?若有某些 g(x
i)
相等，则应将对应的 p
i
相加作
为 g(x
i)
的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数
F
Y
(y)＝ P(g(X)≤ y)，再利用变上下限积分的
求导公式求出 f
Y
(y)。
第三章二维随机变量及其分布
1
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（ 1）联 离散型
合分布
如果二维随机向量 ?（ X， Y）的所有可能
取值为至多可列个有序对（ x,y） ，则称 ? 为
离散型随机量。
设 ? = （ X ， Y ） 的 所 有 可 能 取 值 为
(x
i
, y
j
)(i, j ?1,2,? ) ，且事件 {? =(x
i
, y
j
) }的概率
为 pij,,称
P{(X ,Y) ? (x
i
, y
j
)}? p
ij
(i, j ?1,2,? )
为 ? =（ X， Y） 的分布律或称为 X 和 Y 的联合
分布律。联合分布有时也用下面的概率分布
表来表示：
Y
X
x
1
x
2
?
y
1
y
2
… yj …
p
11
p
12
p
21
p
22
? ?
…
…
…
p
1j
p
2j
?
p
ij
…
…
?
x
i
?
p
i1
?
?
…
??
这里 pij具有下面两个性质：
（ 1） pij≥ 0（ i,j=1,2,…） ；
（ 2） ?? p
ij
?1.
i j
1
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连续型 对于二维随机向量 ? ? (X,Y)，如果存在非负
函数 f (x, y)(?? ? x ? ??,?? ? y ? ??) ，使对任意
一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域
D，即 D={(X,Y)|a
P{(X,Y)?D}? ?? f (x, y)dxdy,
D
则称 ?为连续型随机向量； 并称 f(x,y)为 ? =
（ X， Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分
布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
（ 1） f(x,y)≥ 0;
（ 2） ?
??
?
??
f (x, y)dxdy ?1.
（ 2）二 ?(X ? x,Y ? y) ??(X ? x Y ? y)
维 随 机
变 量 的
本质
?? ??
1
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（ 3）联 设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元
合 分 布 函数
函数 F(x, y) ? P{X ? x,Y ? y}
称为二维随机向量（ X， Y）的分布函数，或称为随机
变量 X 和 Y 的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件
{(?
1
,?
2
) |?? ? X(?
1
) ? x,?? ?Y(?
2
) ? y}的概率为函数值的一
个实值函数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
（ 1） 0 ? F(x, y) ?1;
（ 2） F（ x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x
2
>x
1
时， 有 F（ x
2
,y） ≥ F(x
1
,y);当 y
2
>y
1
时， 有 F(x,y
2
)
≥ F(x,y
1
);
（ 3） F（ x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即
F(x, y) ? F(x ? 0, y),F(x, y) ? F(x, y ? 0);
（ 4） F(??,??) ? F(??, y) ? F(x,??) ? 0,F(??,??) ?1.
（ 5）对于 x
1
? x
2
， y
1
? y
2
，
F(x
2
， y
2
) ? F(x
2
， y
1
) ? F(x
1
， y
2
) ? F(x
1
， y
1
) ? 0.
（ 4）离
散 型 与
连 续 型
的关系
P(X ? x， Y ? y) ? P(x ? X ? x ? dx， y ?Y ? y ? dy) ? f (x， y)dxdy
1
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（ 5）边 离散型
缘分布
X 的边缘分布为
P
i?
? P(X ? x
i
) ? ? p
ij
(i, j ?1,2,?)；
j
Y 的边缘分布为
P
? j
? P(Y ? y
j
) ? ? p
ij
(i, j ?1,2,?)。
i
连续型 X 的边缘分布密度为
f
X
(x) ? ? ??
??
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
f
Y
(y) ? ? ??
??
f (x, y)dx.
（ 6）条 离散型
件分布
在已知 X=xi的条件下， Y 取值的条件分布为
P(Y ? y
j
| X ? x
i
) ? pijp
i?
；
在已知 Y=yj的条件下， X 取值的条件分布为
P(X ? x
i
|Y ? y
j
) ? pijp
? j
,
连续型 在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (x | y) ? f (x, y) ； f
Y
(y)
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为
f (y | x) ? f (x, y) f
X
(x)
（ 7）独 一般型
立性 离散型
F(X,Y)=F
X
(x)F
Y
(y)
p
ij
? p
i?
p
? j
有零不独立
1
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连续型 f(x,y)=f
X
(x)f
Y
(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二 维 正
态分布
f (x, y) ? 1
2??
1
?
2
1? ? 2
?e
?? x?? ?2 2?(x?? )( y?? ) ? y??
1 ? 1 2 2?? ???
? ? ? ? ?? ?2(1??2 )? 1 2 2??? 1 ?
1 ??
??
2 ?
?
?? ,
? ＝ 0
随 机 变 若 X
1
,X
2
,… X
m
,X
m+1
,… X
n
相互独立， h,g 为连
量 的 函 续函数，则：
数 h（ X
1
， X
2
,… X
m
）和 g（ X
m+1
,… X
n
）相互独立。
特例：若 X 与 Y 独立，则： h（ X）和 g（ Y）
独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独
立。
1
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（ 8）二 设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为
维 均 匀 ? 1
? (x, y)?D
分布 f (x, y) ? ?
SD
?
?
?0, 其他?
其中 S
D
为区域 D 的面积，则称（ X，
匀分布，记为（ X， Y）～ U（ D） 。
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1
D
1
O 1 x
图 3.1
y
1
D2
1
O 2 x
1 图 3.2
Y）服从 D 上的均
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（ 9）二 设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为
维 正 态
分布 f (x, y) ?
1
2??
1
?
2
1? ? 2
?e
?? x?? ?2 2?(x?? )(y?? ) ? y??
1 ? 1 2 2?? ? ??? ?
2 ?? ? ?1?22(1?? )?? 1 ? ? ?2
1 ??
??
2 ?
?
?? ,
其中 ?
1
,?
2,
?
1
? 0,?
2
? 0,| ? |?1是 5 个参数，则称（ X， Y）
服从二维正态分布，
记为（ X， Y）～ N（ ?
1
,?
2,
?
1
2,?
2
2,?).
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两
个边缘分布仍为正态分布，
即 X～ N（ ?
1
,?
1
2 ),Y ~ N(?
2,
?
2
2 ).
但是若 X～ N（ ?
1
,?
1
2 ),Y ~ N(?
2,
?
2
2 )， (X， Y)未必是二维正
态分布。
（ 10 ） Z=X+Y
函 数 分
布
（ ?
1
? ?
2
,?
1
2 ??
2
2） 。
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服
从正态分布。
? ? ?C
i
?
i
i
根据定义计算： F
Z(z) ? P(Z ? z) ? P(X ?Y ? z)
对于连续型， fZ(z)＝ ? f (x,z ? x)dx
??
??
两个独立的正 态 分布的和仍为 正 态分布
， ? 2 ??C
i
2?
i
2
i
1
概率论与数理统计公式（全）
2011-1-1
Z=max,
min(X1,
若X
1
, X
2
?X
n
相互独立，其分布函数分别为
F
x1
(x)，F
x2
(x)?F
xn
(x)，则Z=max,min(X1,X2,…
X2,…Xn) Xn)的分布函数为：
F
max
(x) ? F
x1
(x)? F
x2
(x)?F
xn
(x)
F
min
(x) ?1?[1? F
x1
(x)]?[1? F
x2
(x)]?[1? F
xn
(x)]
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
? 2 分布 设 n 个随机变量 X
1
, X
2
,?, X
n
相互独立，且服
从标准正态分布，可以证明它们的平方和
W ??X
i
2
i?1
n
的分布密度为
n u?1 ?? 1
2u e 2?
n? n?f (u) ? ?2
2 ?
?? ?
? ? 2?
??0,
u ? 0,
u ? 0.
我们称随机变量 W 服从自由度为 n 的 ? 2 分
布，记为 W～ ? 2 (n)，其中
?n? ??
2?1 ?x?? ? ? ? x e dx.? 2?
0
n
所谓自由度是指独立正态随机变量的个
数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
? 2 分布满足可加性：设
Y
i
? ? 2 (n
i
),
则
Z ??Y
i
~ ? 2 (n
1
? n
2
??? n
k
).
i?1
k
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
t 分布 设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N(0,1),Y ~ ? 2(n),
可以证明函数
T ? X
Y / n
的概率密度为
? n ?1??? ?
t 2? 2 ? ??f (t) ? 1?
? n? n?
n? ?? ? ?
? 2?
??
??
?n?12
(?? ? t ? ??).
我们称随机变量 T服从自由度为 n的 t分布，
记为 T～ t(n)。
t
1??
(n) ? ?t
?
(n)
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
F 分布 设 X ~ ? 2 (n
1
),Y ~ ? 2 (n
2
)，且 X 与 Y 独立，可以
证明 F ? X / n1
Y / n
2
的概率密度函数为
? ? n
1
? n
2
??? ??
n
1
2? ? ?? ??
f (y) ? ? ? n
1
? ? n
2
? ?? n
2? ?? ? ? ??
? ? 2 ? ? 2 ??
?
??
? y?
n1
2 n1 ?1
2
? n
1
??1? y?
? n
2
?? ?
?n1?n22
, y ? 0
0, y ? 0
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n
1
，
第二个自由度为 n
2
的 F 分布， 记为 F～ f(n
1
,
n
2
).
F
1??
(n
1
,n
2
) ? 1 F
?
(n
2
,n
1
)
第四章随机变量的数字特征
（ 1）
一 维 期望
随 机 期望就是平均值
变 量
的 数
字 特
征
离散型 连续型
设 X 是离散型随机变 设 X 是连续型随机变
量 ， 其 分 布 律 为 量， 其概率密度为 f(x)，
P( X ? x
k
) ＝ p
k
， E(X) ? ??xf (x)dx?
??k=1,2,… ,n，
E(X) ? ? x
k
p
k
k?1
n
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
函数的期望 Y=g(X)
E(Y) ? ? g(x
k
)p
k
k?1
n
Y=g(X)
??E(Y) ?
??
?g(x) f (x)dx
方差
D(X)=E[X-E(X)] ，
标准差
? (X) ? D(X) ，
2
D(X) ? ? [x
k
? E(X)]2 p
k
k
D(X) ? ?[x? E(X)]2 f (x)dx
??
??
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
矩 ①对于正整数 k，称 ①对于正整数 k，称随
随机变量 X 的 k 次幂 机变量 X 的 k 次幂的数
的数学期望为 X 的 k 学期望为 X 的 k 阶原点
阶原点矩，记为 v
k
, 矩，记为 v
k
,即
即
k
ν
k
=E(X )=?
??
xk f (x)dx, k ??
ν
k
=E(X )= ?x
i
k p
i
, k=1,2, … .
i
k=1,2, … . ②对于正整数 k，称随
②对于正整数 k，称 机变量 X 与 E（ X）差的
随机变量 X 与 E（ X） k 次幂的数学期望为 X
记为 ?
k
，差的 k 次幂的数学期 的 k 阶中心矩，
望为 X的 k阶中心矩， 即
记为 ?
k
，即
?
k
? E(X ? E(X ))
.
k
?
k
? E(X ? E(X ))k
.
=
?
??
(x ? E(X ))k
， k=1,2, … .
?? f (x)dx,
= ?(x
i
i
? E(X ))k p
i
k=1,2, … .
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（ X） =μ， 方差 D
（ X） =σ ，则对于任意正数ε，有下列切比雪
夫不等式
? 2P( X ?? ??) ?
2
?
2
切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况
下，对概率
P( X ?? ??)
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（ 2）
期 望
的 性
质
（ 4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和 Y 不相关。
（ 1） E(C)=C
（ 2） E(CX)=CE(X)
（ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E(?C
i
X
i
) ??C
i
E(X
i
)
i?1 i?1
n n
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 3）
方 差
的 性
质
（ 1） D(C)=0； E(C)=C
（ 2） D(aX)=a D(X)； E(aX)=aE(X)
（ 3） D(aX+b)= a D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
（ 4） D(X)=E(X )-E (X)
（ 5） D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和 Y 不相关。
D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件
成立。
而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
2 2
2
2
（ 4）
常 见
分 布
的 期
望 和
方差
超几何分布
H(n,M,N)
期望
0-1 分布 B(1, p)
二项分布 B(n, p)
泊松分布 P(? )
几何分布 G(p)
方差
p(1? p)
np(1? p)
p
np
?
1
p
?
1? p
p2
nM
N
nM ? M ?? N ?n??1? ?? ?
N ? N ?? N ?1 ?
均匀分布 U(a,b)
指数分布 e(? )
正态分布 N(?,? 2)
? 2分布
a ?b
2
1
?
(b?a)2
12
1
?2
? ? 2
n 2n
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
t 分布
（ 5） 期望
二 维
随 机
变 量 函数的期望
的 数
字 特
征
方差
n
0
E(X ) ? ? x
i
p
i?
i?1
n
n (n>2)
n ? 2
??E(X) ?
??
??
? xf
X
(x)dx
E(Y) ? ? y
j
p
? j
j?1
E(Y) ?
??
? yf
Y
(y)dy
E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝
?? G(x , y
i
i j
j
)p
ij
?? ??
－ ?－ ?
? ?G(x, y) f (x, y)dxdy
??
D(X ) ? ? [x
i
? E(X )]2 p
i?
i
D(X) ? ?[x ? E(X)]2 f
X
(x)dx
??
D(Y) ? ? [x
j
?E(Y)] p
? j
2
j
D(Y) ? ?[y ? E(Y)]2 f
Y
(y)dy
??
??
协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心
矩 ?
11
为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为
?
XY
或 cov(X,Y)，即
?
XY
? ?
11
? E[(X ?E(X))(Y ?E(Y))].
与记号 ?
XY
相对应， X 与 Y 的方差 D（ X） 与 D（ Y）
也可分别记为 ?
XX
与 ?
YY
。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（ X） >0, D(Y)>0，
则称
? XY
D(X) D(Y)
为 X 与 Y 的相关系数， 记作 ?
XY
（有时可简记为
。 ?）
|?|≤ 1，当 |?|=1 时，称 X 与 Y 完全相关：
P(X ? aY ? b) ?1
完全相关 ??正相关，当 ? ?1时 (a ? 0)，
?负相关，当 ? ? ?1时 (a ? 0)，
而当 ? ? 0时，称 X 与 Y 不相关。
以下五个命题是等价的：
① ?
XY
? 0；
② cov(X,Y)=0;
③ E(XY)=E(X)E(Y);
④ D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵
混合矩
??
XX???
? YX
?
XY
??
??
YY ?
对于随机变量 X 与 Y，如果有 E(X kY l )存在，则
称之为 X 与 Y 的 k+l阶混合原点矩，记为 ?
kl
；
k+l阶混合中心矩记为：
u
kl
? E[(X ? E(X ))k (Y ? E(Y))l ].
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 6） (i)cov (X, Y)=cov (Y, X);
协 方 (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
差 的 (iii)cov(X
1
+X
2
, Y)=cov(X
1
,Y)+cov(X
2
,Y);
性质 (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（ 7） （ i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ?
XY
， 独 立 （ ii） 若（ X， Y）～ N（ ?
1
,?
2
,?
1
2 ,?
2
2 , ? ）
和 不
相关
第五章大数定律和中心极限定理
（ 1） 大数定 切 比 设随机变量 X
1
， X
2
，…相互独立，均具有有
律
X ? ?
? 0；反之不真。
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
雪 夫 限方差，且被同一常数 C 所界： D（ X i）
大 数
定律 ? 1 n ?1 n ?lim P? X ? E(X ) ?? ?1.? ?
i i ?n?? ? n n
i?1? i?1 ?
特殊情形：若 X
1
， X
2
，…具有相同的数学
期望 E（ X
I
） =μ，则上式成为
? 1 n ??lim P? X ?? ???
i ?
?1.
n??
? n?
i?1 ?
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
伯 努 设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次
利 大 数， p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，
数 定 则对于任意的正数ε，有
律 ? ? ??lim P? ? p ??
? ?1.
n??
? n? ?
伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很
大时， 事件 A 发生的频率与概率有较大判别
的可能性很小，即
? ? ??lim P? ? p ??
? ? 0.
n??
? n? ?
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定
性。
辛 钦 设 X
1
， X
2
，…， X
n
，…是相互独立同分布的
大 数 随机变量序列，且 E（ X
n
） =μ，则对于任意
定律 的正数ε有
? 1 n ??lim P? X ?? ???
i ?
?1.
n??
? n?
i?1 ?
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 2） 中心极 列 维
限定理
X ? N(?,
设随机变量 X
1
， X
2
，…相互独立，服从同
－ 林 一分布，且具有相同的数学期望和方差：
? 2
n
德 伯)
格 定
理
E(X
k
) ? ?,D(X
k
) ?? 2 ? 0(k ?1,2, )，则随机变量
Y
n
?
? X
k?1
n
k
?n?
n?
的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
? n ?X ? n??
k? ? 1?
k?1 ?lim F
n
(x) ? lim P? ? x??
n?? n?? n? 2?? ?
? ?? ?
x ?t
2
2?
??
e dt.
此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。
棣 莫 设随机变量 X
n
为具有参数 n, p(0
弗 － 项分布，则对于任意实数 x,有
拉 普
拉 斯
定理
（ 3） 二项定
理
若当 N ??时 , M ? p(n,k不变 ) ，则
N
(N ??).
? ?? X
n
? np ?? lim P? ? x??
n?? ? ?? np(1? p) ?
1
2?
? x
??
e?t
2
2 dt.
k n?kC
M
C
N k k?M ?C
n
p (1? p)n?k
nC
N
超几何分布的极限分布为二项分布。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 4） 泊松定
理
若当 n??时 ,np ?? ? 0，则
C p (1? p)k
n
k n?k ?
?k
k! e?
? (n??).
其中 k=0， 1， 2，…， n，…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（ 1）数 总体
理 统 计
的 基 本
概念
个体
样本
在数理统计中，常把被考察对象的某一个
（或多个）指标的全体称为总体（或母体） 。
我们总是把总体看成一个具有分布的随机
变量（或随机向量） 。
总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。
我们把从总体中抽取的部分样品 x
1
, x
2
,?, x
n
称为样本。样本中所含的样品数称为样本容
量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把
样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同
分布的随机变量，这样的样本称为简单随机
样 本 。 在 泛 指 任 一 次 抽 取 的 结 果 时 ，
x
1
, x
2
,?, x
n
表示 n 个随机变量（样本） ；在具
体的一次抽取之后， x
1
, x
2
,?, x
n
表示 n 个具体
的数值（样本值） 。我们称之为样本的两重
性。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
样 本 函 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为总体的一个样本，称
数 和 统
计量
? ? ? （ x
1
, x
2
,?, x
n
）
为样本函数， 其中 ? 为一个连续函数。 如果 ?
中不包含任何未知参数， 则称 ?（ x
1
, x
2
,?, x
n
）
为一个统计量。
常 见 统 样本均值
计 量 及
样本方差
其性质
1 nx ? ? x
i
.n
i?1
n1
2S 2 ? (x ? x) . ?
in ?1
i?1
样本标准差 1 nS ? (x
i
? x)2.?n ?1
i?1
样本 k 阶原点矩
1 n
kM
k
? ?x
i
,k ?1,2,?.n
i?1
样本 k 阶中心矩
1 n? ? ?(x
i
? x)k ,k ? 2,3,?.M
k n
i?1
E(X ) ? ? ， D(X) ? ? 2n ，
n ?1
2? ,nE(S 2 ) ?? 2， E(S 2 ) ?
2
1 n其中 S ? ?(X
i
? X)2n
i?1
，为二阶中心矩。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 2）正 正 态 分 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? 2 ) 的一个
态 总 体 布
下 的 四
大分布
t 分布
样本，则样本函数
udef x ???
/ n
~ N(0,1).
设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? 2 ) 的一个
样本，则样本函数
tdef x ? ?s / n ~ t(n ?1),
其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。
? 2分布 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? 2 ) 的一个
样本，则样本函数
wdef (n ?1)S 2?
2
~ ? 2 (n ?1),
其中 ? 2 (n ?1) 表示自由度为 n-1 的 ? 2 分布。
F 分布 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,?
1
2 ) 的一个
样本，而 y
1
, y
2
,?, y
n
为来自正态总体 N(?,?
2
2 )
的一个样本，则样本函数
F def S12 /?12S /?
2
2
2
2
~ F(n
1
?1,n
2
?1),
其中
1 n1S ? (x
i
? x)2 ,?n
1
?1 i?121
1 n2S ? (y
i
? y)2 ;?n
2
?1 i?122
F(n
1
?1,n
2
?1) 表示第一自由度为 n
1
?1， 第二自
由度为 n
2
1
?1的 F 分布。
概率论与数理统计公式（全）
2011-1-1
（3）正X与S 2独立。
态总体
下分布
的性质
1
第七章参数估计
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 1） 矩 估 设总体 X 的分布中包含有未知数 ?
1
,?
2
,?,?
m
，则其
点 估 计
计
分布函数可以表成 F(x;?
1
,?
2
,?,?
m
).它的 k阶原点矩
v
k
? E(X k )(k ?1,2,?,m) 中 也 包 含 了 未 知 参 数
?
1
,?
2
,?,?
m
， 即 v
k
? v
k
(?
1
,?
2
,?,?
m
) 。 又设 x
1
, x
2
,?, x
n
为
总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为
1 n
k (k ?1,2,?,m).? x
i
n i?1
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体
矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有
? 1 n? ? ??v
1
(?
1
,?
2
,?,?
m
) ? n?x
i
,
i?1?
?
? ? ? 1 n 2?v
2
(?
1
,?
2
,?,?
m
) ? ?x
i
,? n
i?1? ?
?
??????????
?
?
n? ? ??v (? ,? ,?,? ) ? 1 x
i
m.?
m 1 2 m? n
i?1?
由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数
(?
1
,?
2
,?,?
m
) 即为参数（ ?
1
,?
2
,?,?
m
）的矩估计量。 ? ? ?
若 ? 为 ? 的矩估计， g(x) 为连续函数， 则 g(? )为 g(? )
的矩估计。
?
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
极 大 当总体 X 为连续型随机变量时， 设其分布密度
2 2
其中 ?
1
,? ,?,?
m
为未知参数。 又似 然 为 f (x;?
1
,? ,?,?
m
) ，
估计 设 x
1
,x ,?,x
n
为总体的一个样本，称
2
L(?
1
,?
2
,?,?
m
) ?? f (x
i
;?
1
,?
2
,?,?
m
)
i?1
n
为样本的似然函数，简记为 Ln.
当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律
为 P{X ? x}? p(x;?
1
,? ,?,?
m
)，则称
2
L(x
1
,x
2
,?,x
n
;?
1
,?
2
,?,?
m
) ??p(x
i
;?
1
,?
2
,?,?
m
)
i?1
n
为样本的似然函数。
若 似 然 函 数
? ? ?
2
L(x
1
, x
2
,?, x
n
;?
1
,?
2
,?,?
m
)
? ? ?
2
在
?1,? ,?,? m 处取到最大值，则称 ?1,? ,?,? m 分别为
?
1
,? ,?,?
m
的最大似然估计值，相应的统计量称为
2
最大似然估计量。
?ln L
n?
?
i
? 0,i ?1,2,?,m
?i ??i?
若 ? 为 ? 的极大似然估计， 则 g(? )g(x) 为单调函数，
为 g(? )的极大似然估计。
（ 2） 无 偏 设 ? ??(x
1
, x
2
,?, x
n
) 为未知参数 ? 的估计量。若 E
估 计 性
量 的
1
? ?
?
（ ?） =?，则称 ?为 ?的无偏估计量。
E（ X ） =E（ X） ， E（ S ） =D（ X） 2
? ?
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
评 选 有 效 设 ?
1 ??1(x1, x,2 ,?, xn )
和 ?
2 ?? 2 (x1, x,2 ,?, xn )
是 未 知
标准 性 参数 ? 的两个无偏估计量。若 D(?
1) ? D(? 2 )
，则称
?1比 ? 2 有效。 ? ?
? ?
? ? ? ?
一 致 设 ?
n
是 ?的一串估计量，如果对于任意的正数 ? ，
性 都有
n??
?
?
lim P(|? n?? |??) ? 0,?
则称 ?
n
为 ?的一致估计量（或相合估计量） 。
若 ? 为 ?的无偏估计，且 D(? ) ? 0(n??),则 ? 为 ?的
一致估计。
只要总体的 E(X)和 D(X)存在， 一切样本矩和样本
矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。
（ 3） 置 信 设总体 X 含有一个待估的未知参数 ?。 如果我们从
区 间 区 间 样 本 x
1
,x,
2
,?,x
n
? ?
出 发 ， 找 出 两 个 统 计 量
估计 和 置 ?
1
??
1
(x
1
, x,
2
,?, x
n
) 与 ?
2
??
2
(x
1
, x,
2
,?, x
n
) (?
1
??
2
) ，使
信度 得区间 [?
1
,?
2
]以 1??(0 ?? ?1)的概率包含这个待估
参数 ?，即
P{?
1
?? ??
2
}?1??,
那么称区间 [?
1
,?
2
]为 ? 的置信区间， 1?? 为该区间
的置信度（或置信水平） 。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
单 正 设 x
1
, x,
2
, , x
n
为总体 X ~ N(?,? 2 )的一个样本，在置
态 总 信 度为 1?? 下，我们 来确定 ?和 ? 2 的置信区 间
体 的 [?
1
,?
2
]。具体步骤如下：
期 望 （ i）选择样本函数；
和 方 （ ii）由置信度 1?? ，查表找分位数；
差 的 （ iii）导出置信区间 [?
1
,?
2
]。
区 间 已知方差， 估计均值
估计
（ i）选择样本函数
u ? x ? ??
0 / n
~ N(0,1).
(ii) 查表找分位数
? ?x ? ?P?? ? ? ? ?? ?1??.
? ??
0 / n? ?
（ iii）导出置信区间
?
0
?
0
??x ? ? , x ? ?
? ?n n??
未知方差， 估计均值 （ i）选择样本函数
t ? x ? ?
S / n
~ t(n ?1).
(ii)查表找分位数
? ?x ? ? ? ?1??.P?? ? ? ? ?? ?
S / n? ?
（ iii）导出置信区间
? S S ?x ? ? , x ? ?
? ?n n??
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
方差的区间估计 （ i）选择样本函数
w ? (n?1)S 2?
2
~ ? 2 (n?1).
（ ii）查表找分位数
? ?(n ?1)S 2 ?P?? ? ? ?
2 ?
?1??.
2? 1 ?? ?
（ iii）导出 ? 的置信区
间
? n ?1 n ?1 ?S, S
?? ?
1 ??
?
2
第八章假设检验
基本思
想
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试
验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。
为了检验一个假设 H
0
是否成立。我们先假定 H
0
是成
立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发
生， 那就表明原来的假定 H
0
是不正确的， 我们拒绝接受
H
0
；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受
H
0
， 我们称 H
0
是相容的。 与 H
0
相对的假设称为备择假设，
用 H
1
表示。
这里所说的小概率事件就是事件 {K ?R
?}
，其概率就
是检验水平α，通常我们取α =0.05，有时也取 0.01 或
0.10。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
基本步 假设检验的基本步骤如下：
骤 (i)提出零假设 H
0
；
(ii)选择统计量 K；
(iii)对于检验水平α查表找分位数λ；
(iv)由样本值 x
1
, x
2
, , x
n
计算统计量之值 K；
将 K与 ? 进行比较，作出判断：当 | K |??(或 K ??) 时否定? ? ?
H
0
，否则认为 H
0
相容。
两类错 第一类错误 当 H
0
为真时，而样本值却落入了否定域，
误
按照我们规定的检验法则，应当否定 H
0
。
这时， 我们把客观上 H
0
成立判为 H
0
为不成
立（即否定了真实的假设） ，称这种错误
为“以真当假”的错误或第一类错误，记
?为犯此类错误的概率，即
P{否定 H
0
|H
0
为真 }=?；
此处的α恰好为检验水平。
1
概率论与数理统计 公式（全）
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第二类错误 当 H
1
为真时，而样本值却落入了相容域，
按照我们规定的检验法则，应当接受 H
0
。
这时，我们把客观上 H
0
。不成立判为 H
0
成立（即接受了不真实的假设） ，称这种
错误为 “以假当真” 的错误或第二类错误，
记 ?为犯此类错误的概率，即
P{接受 H
0
|H
1
为真 }=?。
两类错误的
关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时
都很小。 但是， 当容量 n 一定时， ?变小，
则 ?变大；相反地， ?变小，则 ?变大。取
定 ?要想使 ?变小， 则必须增加样本容量。
在实际使用时，通常人们只能控制犯
第一类错误的概率，即给定显著性水平
α。α大小的选取应根据实际情况而定。
当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真
当假”时，则应把α取得很小，如 0.01，
甚至 0.001。反之，则应把α取得大些。
单正态总体均值和方差的假设检验
对应样本
条件 零假设 统计量
函数分布
否定域
1
概率论与数理统计 公式（全）
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H
0
:? ? ?
0
|u |?u
U ? x ? ?0
1??2
已知 ? 2 H
0
:? ? ?
0
H
0
:? ? ?
0
H
0
:? ? ?
0
?
0
/ n
N （ 0， 1） u ? u
1??
u ? ?u
1??
|t |?t
T ? x ? ? 0S / n
1??2
(n?1)
未知 ? 2 H
0
:? ? ?
0
H
0
:? ? ?
0
t(n ?1) t ?t
1??
(n ?1)
t ? ?t
1??
(n ?1)
2w ??
?
(n?1)或
H
0
:? 2 ?? 2 2
未知 ? 2 w?
H
0
:? ??2 2
0
(n ?1)S
2?
0
2
w ?? 2
1??2
(n?1)
? (n ?1)2
w ??
1
2
??
(n ?1)
2w ?? ?(n?1)2H
0
:? 2 ??
0
1
|
|
