概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
第 1 章 随机事件及其概率
nP
m
?
（ 1）排列
组合公式
nC
m
?
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
(m?n)!
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
n!(m?n)!
（ 2）加法
和 乘 法 原
理
加法原理（两种方法均能完成此事） ： m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n
种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ： m× n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n
种方法来完成，则这件事可由 m× n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试
验。
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下， 不管事件有多少个， 总可以从其中找出这样一组事件， 它具有
如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ?来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ?表示。
一个事件就是由 ?中的部分点（基本事件 ?）组成的集合。通常用大写字母
A， B， C， …表示事件，它们是 ?的子集。
?为必然事件，? 为不可能事件。
不可能事件 （?） 的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件； 同理，
必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （ A 发生必有事件 B 发生） ：
（ 3）一些
常见排列
（ 4）随机
试 验 和 随
机事件
（ 5）基本
事件、样本
空 间 和 事
件
A? B
（ 6）事件
的 关 系 与
运算
如果同时有 A? B， B? A，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。
A、 B 中至少有一个发生的事件： A? B，或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
表示为 A-AB或者 AB，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、 B 同时发生： A?B，或者 AB。 A?B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
1
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?-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算：
结合率： A(BC)=(AB)C A∪ (B∪ C)=(A∪ B)∪ C
分配率： (AB)∪ C=(A∪ C)∩ (B∪ C) (A∪ B)∩ C=(AC)∪ (BC)
德摩根率： i?1
?A ??A
i
i?1
? ?
i
A?B ? A?B， A?B ? A?B
设 ? 为样本空间， A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤ 1，
2° P(Ω ) =1
（ 7）概率
的 公 理 化
定义
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
? ? ? ?P?
??Ai?? ??P(Ai)?
i?1 ? i?1
常称为可列（完全）可加性。
则称 P(A)为事件 A的概率。
?
1
,?
2
? ?
n
?， 1° ? ??
2° P(?1) ? P(?2 ) ?? P(?n ) ?
（ 8）古典
概型
1 。
n
设任一事件 A，它是由 ?1,?2 ? ?m 组成的，则有
P(A)=?(?
1
)?(?
2
)?? ?(?
m
)? =P(?
1
) ? P(?
2
) ?? ? P(?
m
)
? m A所包含的基本事件数? 基本事件总数n
（ 9）几何
概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何
概型。对任一事件 A，
P(A) ?
（ 10）加法
公式
（ 11）减法
公式
L(A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。
L(?)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)＝ 0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B? A 时， P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时， P(B )=1- P(B)
定义 设 A、 B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P(AB) 为事件 A 发生条件下，事P(A)
（ 12）条件
P(AB)概率 件 B 发生的条件概率，记为 P(B/ A) ? 。
P(A)
1
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（ 13）乘法
公式
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω /B)=1? P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P(AB) ? P(A)P(B/ A)
更一般地，对事件 A1， A2，… An，若 P(A1A2… An-1)>0，则有
P(A1A2 … An) ? P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)…… P(An | A1A2 …
An ? 1)。
①两个事件的独立性
设事件 A、 B 满足 P(AB) ? P(A)P(B)， 则称事件 A、 B 是相互独立的。
若事件 A、 B 相互独立，且 P(A) ? 0 ，则有
P(B | A) ? P(AB) P(A)P(B)? ? P(B)P(A) P(A)
（ 14）独立
性
若事件 A、 B 相互独立， 则可得到 A与 B 、 A与 B 、 A与 B 也都相互独
立。
必然事件 ?和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。
? 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)； P(BC)=P(B)P(C)； P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、 B、 C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1,B2,? ,Bn 满足
1° B1,B2,? ,Bn 两两互不相容， P(Bi) ? 0(i ?1,2,? ,n) ，
（ 15）全概
公式 2°
则有
A? ? Bi
i?1
n
，
P(A) ? P(B1)P(A | B1)? P(B2)P(A | B2) ?? ? P(Bn)P(A | Bn) 。
设事件 B 1， B2 ，…， Bn 及 A满足
1° B1， B2 ，…， Bn 两两互不相容， P(Bi) >0， i ?1， 2，…， n，
2°
则
（ 16）贝叶
斯公式
nA? ? B
i
i?1 ，
P(A) ? 0 ，
P(B
i
/ A) ? P(Bi )P(A/ Bi )
? P(B )P(A/ B )
j j
j?1
n
， i=1， 2，… n。
此公式即为贝叶斯公式。
P(B
i
) ， （ i ?1， 2 ， …， n） ， 通常叫先验概率。 P(B
i
/ A) ， （ i ?1， 2 ， …，
n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（ 17）伯努
利概型
1
“由果朔因”的推断。
我们作了 n次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， A发生或 A不发生；
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?n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；
?每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发生与
否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。
用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 1? p ? q ，用 Pn(k) 表
示 n重伯努利试验中 A出现 k(0 ? k ? n) 次的概率，
Pn(k) ? C
n
pkqn?kk ， k ? 0,1,2,?,n 。
第二章随机变量及其分布
（ 1）离散
型 随 机 变
量 的 分 布
律
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,… )且取各个值的概率，即事
件 (X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk， k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形
式给出：
X x1,x2,?,xk,?|
P(X ? xk) p1, p2,?, pk,?。
显然分布律应满足下列条件：
（ 1） pk ? 0 ， k ?1,2,?， （ 2） k?1
（ 2）连续
型 随 机 变
量 的 分 布
密度
? p?
k ?1
。
设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数， 若存在非负函数 f (x) ， 对任意实数 x， 有
F(x) ? ?x
??
f (x)dx
，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数， 简称概
率密度。
密度函数具有下面 4 个性质：
1° f (x) ? 0。
2°
???
??
f (x)dx ?1
。
（ 3）离散
与 连 续 型
随 机 变 量
的关系
P(X ? x) ? P(x ? X ? x ? dx) ? f (x)dx
积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X ? xk) ? pk 在离
散型随机变量理论中所起的作用相类似。
1
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（ 4）分布
函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) ? P(X ? x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
P(a ? X ? b) ? F(b) ? F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b]的概率。分布
函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞， x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 ? F(x) ?1, ??? x ???；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 ? x2时，有 F(x1) ? F(x2)；
3° F(??) ? lim F(x) ? 0， F(??) ? lim F(x) ?1；
x??? x???
4° F(x? 0) ? F(x) ，即 F(x) 是右连续的；
5° P(X ? x) ? F(x) ? F(x?0) 。
对于离散型随机变量， F(x) ?
xk?x
x
? p
k ；
对于连续型随机变量， F(x) ?
（ 5）八大
分布
0-1 分布
二项分布
??
? f (x)dx 。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为 p 。事件 A发生
的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,?,n 。
kP(X ? k) ? Pn(k) ?C
n
pkqn?k ， 其 中
q ?1? p,0 ? p ?1,k ? 0,1,2,?,n ，
则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为
X ~ B(n, p) 。
当 n ?1时， P(X ? k) ? p qk 1?k ， k ? 0.1，这就是（ 0-1）分
布，所以（ 0-1）分布是二项分布的特例。
1
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泊松分布 设随机变量 X 的分布律为
P(X ? k) ? ?kk! e??， ? ? 0， k ? 0,1,2?，
则称随机变量 X 服从参数为 ? 的泊松分布，记为 X ~ ?(?) 或
者 P(? )。
泊松分布为二项分布的极限分布（ np=λ， n→∞） 。
超几何分布 k n?k k ? 0,1,2?,lC
M
?C
N?M P(X ? k) ? ,
n l ? min(M,n)C
N
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。
几何分布 P(X ? k) ? qk?1 p,k ?1,2,3,?，其中 p≥ 0， q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
设随机变量 X 的值只落在 [a， b]内， 其密度函数 f (x) 在 [a， b]
上为常数
均匀分布
1 ，即
b ? a
? 1 a≤ x≤ b,?
f (x) ? ?b ? a
其他， ??0,
则称随机变量 X 在 [a， b]上服从均匀分布，记为 X~U(a， b)。
分布函数为
0， x
x ?a ,
b?a a≤ x≤ b
xF(x) ? ? f (x)dx ?
??
1， x>b。
当 a≤ x1
P(x
1
? X ? x
2
) ? x2 ? x1 。 b ? a
1
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指数分布
f (x) ?
?e??x , x ? 0,
0, x ? 0,
其中 ? ? 0，则称随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布。
X 的分布函数为
1?e
??x ,
x ? 0,
F(x) ?
0, x<0。
记住积分公式：
n ?xx? e dx ? n!
0
??
正态分布 设随机变量 X 的密度函数为
2???
?? ? 0为常数，其中 、 则称随机变量 X 服从参数为 ? 、
2X ~ N(?,? )。 的正态分布或高斯（ Gauss）分布，记为
f (x) ? 1 e?(x??)
2
2? 2 ， ??? x ? ??，
f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x ? ?对称的；
2° 当 x ? ?时， f (?) ? 12??
2 2X ~ N(?,? ) (t??)X 的分布函数为 若
?x，则1
2? 2F(x) ? e dt2
??
?
?? 。 。
为最大值；
参数 ? ? 0 、 ? ?1时的正态分布称为标准正态分布，记为
X ~ N(0,1) ，其密度函数记为 x2
?1 2?(x) ? e
2? ， ?? ? x ? ??，
分布函数为
?(x) ? 1 x
2?
???(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
?e?t22 dt 。
1 。
2X ? ?
2如果 X ~ N(?,? ) ，则 ~ N(0,1) 。 ?
? x ? ?? ? x ? ??P(x
1
? X ? x
2
) ? ?? 2 ???? 1 ?。 ? ?
? ? ? ?
Φ( -x)＝ 1-Φ(x)且 Φ( 0)＝
1
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（ 6）分位
数
（ 7）函数
分布
下分位表： P(X ? ?? )＝ ? ；
上分位表： P(X ? ?? )＝ ? 。
离散型 已知 X 的分布列为
x1, x2, ? , xn, ?X
， P(X ? x
i) p1, p2, ? , pn, ?Y ? g(X)
的分布列（ yi ? g(xi )互不相等）如下：
g(x1), g(x2), ? , g(xn), ?Y
， P(Y ? y
i
) p
1, p2, ? , pn, ?若有某些 g(x
i)相等，则应将对应的 pi 相加作为 g(xi)的概率。
连续型 先利用 X 的概率密度 f
X(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)＝ P(g(X)≤
y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。
第三章二维随机变量及其分布
（ 1）联合
分布
离散型 如果二维随机向量 ? （ X， Y）的所有可能取值为至多可列
个有序对（ x,y） ，则称 ? 为离散型随机量。
设 ? =（ X， Y）的所有可能取值为 (xi , y j )(i, j ?1,2,? ) ，
且事件 {? =(xi , y j ) }的概率为 pij,,称
P{(X,Y) ? (x
i
, y
j
)}? p
ij
(i, j ?1,2,? )
为 ? =（ X， Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分
布有时也用下面的概率分布表来表示：
Y
X y1
p11
p21
y
2
p12
p22
…
…
…
…
yj
p1j
p2j
…
…
…
x1
x2
?
xi
?
pi1
?
?
p
ij
?
…
? ? ? ? ?
这里 pij具有下面两个性质：
（ 1） pij≥ 0（ i,j=1,2,…） ；
（ 2） ??
i j
p
ij
?1.
1
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连续型 对 于 二 维 随 机 向 量 ? ? (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)(?? ? x ? ??,?? ? y ? ??) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a
有
P{(X,Y)?D}? ?? f (x, y)dxdy,
D
则称 ? 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 ? =（ X， Y）的分布
密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。
分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：
（ 1） f(x,y)≥ 0;
（ 2）
（ 2）二维
随 机 变 量
的本质
（ 3）联合
分布函数
? ??? ??
?? ??
f (x, y)dxdy ?1.
?(X ? x,Y ? y) ??(X ? x Y ? y)
设（ X， Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数
F(x, y) ? P{X ? x,Y ? y}
称为二维随机向量（ X， Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函
数。
分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件
{(?
1
,?
2
) |?? ? X(?
1
) ? x,?? ?Y(?
2
) ? y}的概率为函数值的一个实值函
数。分布函数 F(x,y)具有以下的基本性质：
（ 1） 0 ? F(x, y) ?1;
（ 2） F（ x,y）分别对 x 和 y 是非减的，即
当 x2>x1时，有 F（ x2,y）≥ F(x1,y);当 y2>y1时，有 F(x,y2) ≥ F(x,y1);
（ 3） F（ x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即
F(x, y) ? F(x ? 0, y),F(x, y) ? F(x, y ? 0);
（ 4） F(??,??) ? F(??, y) ? F(x,??) ? 0,F(??,??) ?1.
（ 5）对于 x1 ? x2， y1 ? y2，
F(x
2
， y
2
) ? F(x
2
， y
1
) ? F(x
1
， y
2
) ? F(x
1
， y
1
) ? 0 .
（ 4）离散
型 与 连 续
型的关系
P(X ? x， Y ? y) ? P(x ? X ? x ? dx， y ?Y ? y ? dy) ? f (x， y)dxdy
1
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（ 5）边缘
分布
离散型 X 的边缘分布为
P
i?
? P(X ? x
i
) ? ? p
ij
(i, j ?1,2,?)；
j
Y 的边缘分布为
P
? j
? P(Y ? y
j
) ? ? p
ij
(i, j ?1,2,?)。
i
连续型 X 的边缘分布密度为
f
X
(x) ? ?
f
Y
(y) ? ?
（ 6）条件
分布
离散型
??
??
f (x, y)dy；
Y 的边缘分布密度为
??
??
f (x, y)dx.
在已知 X=xi的条件下， Y 取值的条件分布为
P(Y ? y
j
| X ? x
i
) ? pijp
i?
p
ij
p
? j
；
在已知 Y=yj的条件下， X 取值的条件分布为
P(X ? x
i
|Y ? y
j
) ?
连续型
,
在已知 Y=y 的条件下， X 的条件分布密度为
f (x | y) ? f (x, y) ； f
Y
(y)
在已知 X=x 的条件下， Y 的条件分布密度为
f (y | x) ?
（ 7）独立
性
一般型
离散型
f (x, y)
f
X
(x)
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
p
ij
? p
i?
p
? j
有零不独立
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
连续型
二维正态分
布 f (x, y) ? 1
2??
1
?
2
1? ? 2
?e
?? x?? ?2 2?(x?? )( y?? ) ? y??
1 ? 1 2 2?? ???
? ? ? ? ?? ?2(1??2 )? 1 2 2??? 1 ?
1 ??
??
2 ?
?
?? ,
? ＝ 0
1
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随机变量的
函数
若 X1,X2,… Xm,Xm+1,… Xn相互独立， h,g 为连续函数，则：
h（ X1， X2,… Xm）和 g（ Xm+1,… Xn）相互独立。
特例：若 X 与 Y 独立，则： h（ X）和 g（ Y）独立。
例如：若 X 与 Y 独立，则： 3X+1 和 5Y-2 独立。
（ 8）二维
均匀分布
设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为
? 1
?S
? Df (x, y) ? ?
?0,
??
(x, y)?D
其他
其中 SD为区域 D 的面积，则称（ X， Y）服从 D 上的均匀分布，记为（ X， Y）～
U（ D） 。
例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。
y
1
D
1
O 1
图 3.1
x
y
1
O
图 3.2
1
D2
2 x
y
d
D3
c
O a b x
图 3.3
1
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（ 9）二维
正态分布
设随机向量（ X， Y）的分布密度函数为
f (x, y) ? 1
2??
1
?
2
1? ?2
e
?? x?? ?2 2?(x?? )(y?? ) ? y??
1 ? 1 2 2??? ???
? ? ? ? ??1?22(1??2 )? 1 2? ? ??
1 ??
??
2 ?
?
?? ,
其中 ?1,?2,?1 ? 0,? 2 ? 0,| ? |?1是 5 个参数，则称（ X， Y）服从二维正态分
布，
2 2记为（ X， Y）～ N（ ?
1
,?
2,
?
1
,?
2
,?).
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分
布，
2 2即 X～ N（ ?
1
,?
1
),Y ~ N(?
2,
?
2
).
2 2但是若 X～ N（ ?
1
,?
1
),Y ~ N(?
2,
?
2
) ， (X， Y)未必是二维正态分布。
（ 10）函数
分布
Z=X+Y 根据定义计算： F
Z(z) ? P(Z ? z) ? P(X ?Y ? z)
??
对于连续型， fZ(z)＝
??
? f (x,z ? x)dx
2 2两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ?
1
? ?
2
,?
1
??
2 ） 。
n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
? ? ?C
i
?
i ，
? 2 ? ?C
i
2?
i
2
i i
Z=max,min(
X1,X2,… Xn) 若
X
1
, X
2
?X
n 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
F
x1
(x)， F
x2
(x)?F
xn
(x) ，则 Z=max,min(X1,X2,… Xn)的分布
函数为：
F
max
(x) ? F
x1
(x)? F
x2
(x)?F
xn
(x)
F
min
(x) ?1?[1? F
x1
(x)]?[1? F
x2
(x)]?[1? F
xn
(x)]
1
概率论与数理统计 公式（全）
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? 2 分布 设 n 个随机变量 X
1
, X
2
,?, X
n
相互独立，且服从标准正态分
布，可以证明它们的平方和
W ??X
i
2
i?1
n
的分布密度为
n u?1 ?? 1 u
2 e 2?
n? n?f (u) ? ?2
2 ?
?? ?
? ? 2?
??0,
2
u ? 0,
u ? 0.
2我们称随机变量 W服从自由度为 n的 ? 分布， 记为 W～ ? (n) ，
其中
?n? ?? ?1?? ? ? ? x
2 e?xdx.? 2?
0
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量
分布中的一个重要参数。
n
? 2 分布满足可加性：设
Y
i
? ? 2 (n
i
),
则
Z ??Y
i
~ ? 2 (n
1
? n
2
??? n
k
).
i?1
k
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
t 分布 设 X， Y 是两个相互独立的随机变量，且
X ~ N(0,1),Y ~ ? 2 (n),
可以证明函数
T ?
的概率密度为
X
Y / n
?n ?1??? ?
t 22? ? ??f (t) ? 1?
?n n? ?
n? ?? ? ?
? 2?
t
1??
(n) ? ?t
?
(n)
F 分布
??
??
?n?12
(?? ? t ? ??).
我们称随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T～ t(n)。
设 X ~ ? (n1 ),Y ~ ? (n2 ) ，且 X 与 Y 独 立，可 以 证明2 2
F ? X / n1 的概率密度函数为 Y / n
2
? ?n
1
? n
2
??? ??
n
1
2? ? ?? ??
f (y) ? ? ? n
1
? ? n
2
? ?? n
2? ?? ? ? ??
? ? 2 ? ? 2 ??
?
??
? y?
n1
2 n1 ?1
2
? n
1
??1? y?
? n
2
?? ?
?n1?n22
, y ? 0
0, y ? 0
我们称随机变量 F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2
的 F 分布，记为 F～ f(n1, n2).
F
1??
(n
1
,n
2
) ? 1 F
?
(n
2
,n
1
)
第四章随机变量的数字特征
（ 1） 离散型 连续型
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
一 维
随 机
变 量
的 数
字 特
征
期望
期望就是平均值
设 X 是离散型随机变量， 其分布
律 为 P( X ? xk ) ＝ pk ，
k=1,2,… ,n，
设 X 是连续型随机变量， 其概率密
度为 f(x)，
??E(X) ?
E(X ) ??x
k
p
k
k?1
n ??
?xf (x)dx
（要求绝对收敛）
（要求绝对收敛）
函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)
nE(Y) ??g(x
k
)p
k
k?1
??E(Y) ?
??
?g(x) f (x)dx
??
方差
2D(X)=E[X-E(X)] ，
标准差
D(X ) ??[x
k
? E(X )]2 p
k
k
D(X) ? ?[x? E(X)]2 f (x)dx
??
? (X) ? D(X) ，
矩
①对于正整数 k，称随机变量 X
的 k 次幂的数学期望为 X 的 k
阶原点矩，记为 vk,即
ν k=E(X )=k
①对于正整数 k， 称随机变量 X 的
k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶原点
矩，记为 vk,即
ν k=E(X )=k?x
i
k
i
p
i , ?
??
??
xk f (x)dx,
k=1,2, … .
②对于正整数 k，称随机变量 X
与 E（ X）差的 k 次幂的数学期
k=1,2, … .
②对于正整数 k， 称随机变量 X 与
E（ X）差的 k 次幂的数学期望为 X
望为 X 的 k 阶中心矩， 记为 ?k ， 的 k 阶中心矩，记为 ?k ，即
即
?
k
? E(X ? E(X ))
.
=
i
k
?
k
? E(X ? E(X ))k
，
.
=
?(x
i
? E(X ))k p
i
? ??
??
(x ? E(X ))k f (x)dx,
k=1,2, … .
k=1,2, … .
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（ X） =μ，方差 D（ X） =σ ，则对于
任意正数ε，有下列切比雪夫不等式
2
? 2P( X ? ? ? ?) ?
2
?
切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率
P( X ?? ??)
的一种估计，它在理论上有重要意义。
（ 2）
期 望
的 性
质
（ 1） E(C)=C
（ 2） E(CX)=CE(X)
（ 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， E(?C Xi
i?1
n
i
) ? ?C
i
E(X
i
)
i?1
n
（ 4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和 Y 不相关。
（ 3）
方 差
的 性
质
（ 1） D(C)=0； E(C)=C
2（ 2） D(aX)=a D(X)； E(aX)=aE(X)
2（ 3） D(aX+b)= a D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b
2 2（ 4） D(X)=E(X )-E (X)
（ 5） D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件： X 和 Y 独立；
充要条件： X 和 Y 不相关。
D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
0-1 分布 B(1, p)
二项分布 B(n, p)
泊松分布 P(? )
期望 方差 （ 4）
常 见
分 布
的 期
望 和
方差
p
np
p(1? p)
np(1? p)
?
1
p
?
1? p
2p几何分布
G(p)
超几何分布 H(n,M,N) nM N
a ?b
2
1
?
nM
N
? M ?? N ?n??1? ?? ?
N ?? N ?1 ??
均匀分布 U(a,b) (b?a)2 12
指数分布 e(? ) 1?2
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
正态分布 N(?,? ) 2 ?
n
0
? 2
2n? 2分布
t 分布
（ 5）
二 维
随 机
变 量
的 数
字 特
征
期望 n
n (n>2)
n ? 2
??E(X) ? ? x
i
p
i?
i?1
E(X) ?
??
??
?xf
X
(x)dx
E(Y) ? ? y
j
p
? j
j?1
n E(Y) ?
??
? yf
Y
(y)dy
函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝
?? G(x , y
i
i j
j
)p
ij ?? ??
－ ? － ?
? ?G(x, y) f (x, y)dxdy
??方差
D(X ) ? ? [x
i
? E(X )]2 p
i?
i
D(X) ? ?[x ? E(X)]2 f
X
(x)dx
??
??D(Y) ??[xj ?E(Y)]2 p? j
j D(Y) ? ?[y ? E(Y)]2 fY (y)dy
??
协方差 对于随机变量 X 与 Y， 称它们的二阶混合中心矩 ?
11为 X 与 Y 的协方
差或相关矩，记为 ? XY或 cov(X,Y)，即
?
XY
? ?
11
? E[(X ?E(X))(Y ?E(Y))].
与记号 ? XY 相对应， X 与 Y 的方差 D（ X） 与 D（ Y） 也可分别记为 ? XX
与 ? YY 。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（ X） >0, D(Y)>0，则称
? XY
D(X) D(Y)
为 X 与 Y 的相关系数，记作 ? XY（有时可简记为 ? ） 。
| ? |≤ 1， 当 | ? |=1 时， 称 X 与 Y 完全相关： P(X ? aY ? b) ?1
完全相关 ?
?正相关，当 ? ?1时 (a ? 0)，
?负相关，当 ? ? ?1时 (a ? 0)，
而当 ? ? 0 时，称 X 与 Y 不相关。
以下五个命题是等价的：
① ?XY ? 0；
② cov(X,Y)=0;
③ E(XY)=E(X)E(Y);
④ D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤ D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵 ??
XX???
? YX
?
XY
??
??
YY ?
k l混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有 E(X Y )存在，则称之为 X 与 Y 的
k+l阶混合原点矩，记为 ?
kl ；
k+l阶混合中心矩记为：
u
kl
? E[(X ? E(X ))k (Y ? E(Y))l ].
（ 6）
协 方
差 的
性质
（ 7）
独 立
和 不
相关
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
（ i）
（ ii）
cov (X, Y)=cov (Y, X);
cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 ?XY ? 0；反之不真。
若（ X， Y）～ N（ ?1,?2 ,?1 ,? 2 , ? ） ，
则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。
2 2
第五章大数定律和中心极限定理
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 1）大数定律
X ? ?
切比雪
夫大数
定律
设随机变量 X1， X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一
常数 C 所界： D（ Xi）
? 1 n ?1 n ?lim P? X ? E(X ) ??? ?
i i ?
?1.
n??
? n n
i?1? i?1 ?
特殊情形：若 X1， X2，…具有相同的数学期望 E（ XI） =μ，
则上式成为
? 1 n ??lim P? X ?? ???
i ?
?1.
n??
? n?
i?1 ?
伯努利
大数定
律
设μ是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 在
每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有
? ? ??lim P? ? p ??
? ?1.
n??
? n? ?
伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生
的频率与概率有较大判别的可能性很小，即
? ? ??lim P? ? p ??
? ? 0.
n??
? n? ?
这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大 设 X1， X2，…， Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且 E
数定律 （ Xn） =μ，则对于任意的正数ε有
? 1 n ??lim P? X ?? ???
i ?
?1.
n??
? n?
i?1 ?
（ 2）中心极限定
理
列维－ 设随机变量 X1， X2，…相互独立，服从同一分布，且具有
林德伯 相 同 的 数 学 期 望 和 方 差 ：
格定理 E(X
k
) ? ?, D(X
k
) ?? 2 ? 0(k ?1,2, ) ，则随机变量 X ? N(?,? 2
n )
Y
n
?
? X
k?1
n
k
? n?
n?
的分布函数 Fn(x)对任意的实数 x，有
? n ?X ? n??
k? ? 1?
k?1 ?lim F
n
(x) ? lim P? ? x? ?
n?? n?? n? 2?? ?
? ?? ?
此定理也称为 独立同分布 的中心极限定理。
?x
??
e?t
2
2 dt.
1
概率论与数理统计 公式（全）
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棣莫弗
－拉普
拉斯定
理
设随机变量 Xn 为具有参数 n, p(0
任意实数 x,有
? ? 1? X
n
? np ?? lim P? ? x??
n?? 2?? ?? np(1? p) ?
? x
??
e?t
2
2 dt.
（ 3）二项定理 若当 N ??时 , M ? p(n,k不变 ) ，则
N
(N ??). k n?kCMCN k k n?k?M ?C p (1? p)
nnC
N
超几何分布的极限分布为二项分布。
（ 4）泊松定理 若当 n ??时 ,np ? ? ? 0，则
C p (1? p)k
n
k n?k ?
?k
k! e?? (n ??).
其中 k=0， 1， 2，…， n，…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章样本及抽样分布
（ 1）数 理
统 计 的 基
本概念
总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全
体称为总体 （或母体） 。 我们总是把总体看成一个具有分布的随
机变量（或随机向量） 。
总体中的每一个单元称为样品（或个体） 。
我们把从总体中抽取的部分样品 x1, x2 ,?, xn 称为样本。样本
中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示。 在一般情况下，
总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机
变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结
果时， x1, x2 ,?, xn 表示 n 个随机变量 （样本） ； 在具体的一次
抽取之后， x1, x2 ,?, xn 表示 n 个具体的数值 （样本值） 。 我们
称之为样本的两重性。
样本函数和
统计量 设
x
1
, x
2
,?, x
n
为总体的一个样本，称
个体
样本
? ? ? （ x
1
, x
2
,?, x
n
）
为样本函数，其中 ?为一个连续函数。如果 ?中不包含任何未
知参数，则称 ? （ x1, x2 ,?, xn ）为一个统计量。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
常见统计量
及其性质 样本均值
样本方差
2
1 nx ? ?xi.n
i?1
1 n
2S ? (x ? x) .
?
in ?1
i?1
样本标准差 1 n 2S ? (x ? x) .? in ?1
i?1
样本 k 阶原点矩
1 n
kM
k
? ?x
i
,k ?1,2,?.n
i?1
样本 k 阶中心矩
1 n? ? ?(x
i
? x)k ,k ? 2,3,?.M
k n
i?1
E(X ) ? ? ， D(X) ? ? 2n ，
E(S 2 ) ?? 2， E(S 2 ) ?
2
n ?1
2? ,n
1 n
2其中 S ? ?(X
i
? X) ，为二阶中心矩。 n
i?1
（ 2）正 态
总 体 下 的
四大分布
正态分布 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? ) 的一个样本，则样
本函数
2
u
t 分布
def x ? ?
? / n ~ N(0,1).
2设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? ) 的一个样本，则样
本函数
tdef x ? ?s/ n ~ t(n ?1),
其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
? 2分布 设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,? ) 的一个样本，则样
本函数
2
w
2
def (n ?1)S 2
? 2 ~ ? 2 (n ?1),
2其中 ? (n ?1) 表示自由度为 n-1 的 ? 分布。
F 分布 2设 x
1
, x
2
,?, x
n
为来自正态总体 N(?,?
1
) 的一个样本，而
2y
1
, y
2
,?, y
n
为来自正态总体 N(?,?
2
) 的一个样本，则样本
函数
F
其中
def S12 /?12
S /?2
2
2
2
~ F(n
1
?1,n
2
?1),
1 n1S ? (x
i
? x)2 ,?n
1
?1 i?121
1 n2S ? (y
i
? y)2;?n
2
?1 i?122
F(n
1
?1,n
2
?1) 表示第一自由度为 n
1
?1，第二自由度为
n
2
?1的 F 分布。
（ 3）正 态
总 体 下 分
布的性质
X 与 S 2独立。
第七章参数估计
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
（ 1） 点
估计
矩估计 设总体 X 的分布中包含有未知数 ?
1
,?
2
,?,?
m
， 则其分布函数可以表成
F(x;?
1
,?
2
,?,?
m
).它的 k 阶原点矩 v
k
? E(X k )(k ?1,2,?,m) 中也
包 含 了 未 知 参 数 ?1,?2 ,?,?m ， 即 vk ? vk (?1,?2 ,?,?m ) 。 又 设
x
1
, x
2
,?, x
n
为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为
1 n
k? x
i
(k ?1,2,?,m).n
i?1
这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”
的原则建立方程，即有
? 1 n? ? ??v
1
(?
1
,?
2
,?,?
m
) ? n?x
i
,
i?1?
?
? ? ? 1 n 2?v
2
(?
1
,?
2
,?,?
m
) ? ?x
i
,? n
i?1? ?
?
??????????
?
?
n? ? ??v (? ,? ,?,? ) ? 1 x
i
m.?
m 1 2 m? n
i?1?
由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 (?1,?2 ,?,?m ) 即为参数
（ ?1,?2 ,?,?m ）的矩估计量。
? ? ?
) 为 g(? )的矩估计。 若 ? 为 ? 的矩估计， g(x) 为连续函数，则 g(??
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
极 大 似
然估计
当 总 体 X 为 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 密 度 为
f (x;?
1
,?
2
,?,?
m
) ， 其 中 ?
1
,?
2
,?,?
m
为 未 知 参 数 。 又 设
x
1
,x
2
,?,x
n
为总体的一个样本，称
L(?
1
,?
2
,?,?
m
) ?? f (x
i
;?
1
,?
2
,?,?
m
)
i?1
n
为样本的似然函数，简记为 Ln.
当 总 体 X 为 离 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 律 为
P{X ? x}? p(x;?
1
,?
2
,?,?
m
)，则称
L(x
1
,x
2
,?,x
n
;?
1
,?
2
,?,?
m
) ??p(x
i
;?
1
,?
2
,?,?
m
)
i?1
n
为样本的似然函数。
若似然函数 L(x1,x
2
,?,x
n
;?
1
,?
2
,?,?
m
) 在 ?1,? ,?,? m 处取2? ? ?
到最大值，则称 ?1,? ,?,? m 分别为 ?1,?
2
,?,?
m
的最大似然估计值，2? ? ?
相应的统计量称为最大似然估计量。
?ln L
n?
?
i
?
? 0,i ?1,2,?,m
?i??i?
)为 g(? )的极大若 ? 为 ? 的极大似然估计， g(x) 为单调函数，则 g(?
似然估计。
（ 2） 估
计量的
评选标
准
无偏性
设 ? ??(x1, x2 ,?, xn ) 为未知参数 ? 的估计量。若 E （ ? ） =? ，则称 ? ? ?
? 为 ? 的无偏估计量。
E（ X ） =E（ X） ， E（ S ） =D（ X） 2
?
有效性
设 ?1 ??1(x1, x,2 ,?, xn ) 和 ? 2 ?? 2 (x1, x,2 ,?, xn ) 是未知参数 ?
的两个无偏估计量。若 D(?1) ? D(? 2 )，则称 ?1比 ? 2 有效。 ? ?
? ? ? ?
? ?
1
概率论与数理统计 公式（全）
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一致性
设 ? n是 ? 的一串估计量，如果对于任意的正数 ? ，都有
n??
?
?
limP(|? n?? |??) ? 0,?
则称 ?n 为 ? 的一致估计量（或相合估计量） 。
? ) ? 0(n??), 则 ? 为 ? 的一致估计。 若 ? 为 ? 的无偏估计，且 D(?
只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相
应总体的一致估计量。
（ 3） 区 置 信 区
间估计 间 和 置
信度
设总体 X含有一个待估的未知参数 ? 。 如果我们从样本 x1,x,2 ,?,xn出
发 ， 找 出 两 个 统 计 量
?
?
1
??
1
(x
1
, x,
2
,?, x
n
) 与
?
2
??
2
(x
1
, x,
2
,?, x
n
) (?
1
??
2
) ， 使 得 区 间 [?
1
,?
2
] 以
1??(0 ?? ?1)的概率包含这个待估参数 ? ，即
P{?
1
?? ??
2
}?1??,
那么称区间 [?1,?2 ]为 ? 的置信区间， 1?? 为该区间的置信度（或置
信水平） 。
单 正
总 体
期 望
方 差
区 间
计
态
的
和
的
估
2设 x
1
,x,
2
,?,x
n
为总体 X ~ N(?,? ) 的一个样本，在置信度为 1??
下，我们来确定 ?和 ? 的置信区间 [?1,?2 ]。具体步骤如下：
（ i）选择样本函数；
（ ii）由置信度 1?? ，查表找分位数；
（ iii）导出置信区间 [?1,?2 ]。
2
1
概率论与数理统计 公式（全）
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已知方差，估计均值 （ i）选择样本函数
u ? x ? ??
0
/ n
~ N(0,1).
(ii) 查表找分位数
? ?x ? ?P??? ? ? ?? ?1??.
? ??
0 / n? ?
（ iii）导出置信区间
?
0
?
0
??x ? ? , x ? ?
? ? n n??
未知方差，估计均值 （ i）选择样本函数
t ?
x ? ?
S / n
~ t(n ?1).
(ii)查表找分位数
? ?x ? ??P
?? ? ? ? ?? ?1??.?S / n? ?
（ iii）导出置信区间
? S S ?x ? ? , x ? ?
? ? n n??
方差的区间估计 （ i）选择样本函数
w ? (n ?1)S 2?
2
~ ? 2 (n ?1).
（ ii）查表找分位数
? ?(n ?1)S 2 ?P?? ? ? ?
2 ?
?1??.
2? 1 ?? ?
（ iii）导出 ? 的置信区间
? n ?1 n ?1 ?S, S
? ? ? ?
2 1? ?
第八章假设检验
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是
不会发生的，即小概率原理。
为了检验一个假设 H0是否成立。 我们先假定 H0是成立的。 如果根据这个假
定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定 H0是不正确的，我们拒
绝接受 H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受 H0，我们称 H0是
相容的。与 H0相对的假设称为备择假设，用 H1表示。
这里所说的小概率事件就是事件 {K ?R?}，其概率就是检验水平α，通
常我们取α =0.05，有时也取 0.01 或 0.10。
基本步骤 假设检验的基本步骤如下：
(i)提出零假设 H0；
(ii)选择统计量 K；
(iii)对于检验水平α查表找分位数λ；
(iv)
?
由样本值 x1, x2 , , xn 计算统计量之值 K；
? ?将 K与 ? 进行比较，作出判断：当 | K |??(或 K ??) 时否定 H
0，否则认为
H
0
相容。
两类错误
第一类错误 当 H0 为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的
检验法则，应当否定 H0。这时，我们把客观上 H0 成立判为
H
0 为不成立（即否定了真实的假设） ，称这种错误为“以真
当假” 的错误或第一类错误， 记 ? 为犯此类错误的概率， 即
P{否定 H0|H0为真 }=? ；
此处的α恰好为检验水平。
当 H1 为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的
检验法则，应当接受 H0。 这时，我们把客观上 H0。 不成立判
为 H0成立（即接受了不真实的假设） ，称这种错误为“以假
当真”的错误或第二类错误，记 ? 为犯此类错误的概率，
即
P{接受 H0|H1为真 }=? 。
两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。 但是， 当
容量 n 一定时， ? 变小， 则 ? 变大； 相反地， ? 变小， 则 ?
变大。取定 ? 要想使 ? 变小，则必须增加样本容量。
在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概
率， 即给定显著性水平α。 α大小的选取应根据实际情况而
定。当我们宁可“以假为真” 、而不愿“以真当假”时，则
应把α取得很小，如 0.01，甚至 0.001。 反之， 则应把α取
得大些。
第二类错误
1
概率论与数理统计 公式（全）
2011-1-1
单正态总体均值和方差的假设检验
条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域
H
0
:? ? ?
0
已知 ? 2
|u |?u
U ? x ? ?0
1??2
H
0
:? ? ?
0
H
0
:? ? ?
0
H
0
:? ? ?
0
?
0
/ n N（ 0， 1） u ? u1??
u ? ?u
1??
|t |?t
T ? x ? ? 0
S / n
1??2
(n?1)
未知 ? 2 H0 :? ? ?0
H
0
:? ? ?
0
t(n ?1) t ?t
1??
(n ?1)
t ? ?t
1??
(n ?1)
2w ??
?
(n?1)或
H
0
:? 2 ?? 2
未知 ? 2
2
w?
H
0
:? ??2 2
0
(n ?1)S
2?
0
2
w ??
2
1??2
(n?1)
? 2 (n ?1)
w ? ?
1
2
??
(n?1)
2w ?? ?(n ?1) 2H
0
:? 2 ??
0
1
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2011-1-1
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