最全面的三角形面积公式
河北邯郸 贾敬堂
一提到三角形面积公式，大家都知道。
①已知三角形的底边长为 a , 高为 h ，则
A
ah三角形面积 S= 底 ? 高 ?2 ?
2
B D C
实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积
公式也不同。
A
r
r r
C lr B②已知三角形的周长为 l ，内切圆半径为 r ，则三角形面积 S ?
2
③已知三角形的三边长的乘积为 L，外接圆半径为 R，则三角形面积 S ? L 4R
A
O
RB
C
④已知三角形 AOB 中，向量 OA ? a， OB ? b ，则三角形面积 S ?
此公式也适用于空间三角形求面积。
1 |a|
2 |b|2 ?(a b)2 。2
⑤已知在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三顶点坐标分别为， A(x1, y1)， B(x2, y2)，
C(x
3
, y
3
),
则三角形面积 S ? 1 x22
x
3
x
1
y
1
1
y
2
1 的绝对值 ?
y
3
1
1 x
1
y
2
? x
2
y
3
? x
3
y
1
? x
1
y
3
? x
2
y
1
? x
3
y
2
。 2
1 x
1
y
2
? x
2
y
1
。 2
1⑥海伦（ Heran）公式，已知△ ABC 中， AB ? c, BC ? a, CA ? b, p ? (a ?b?c) ，则
2
特别地，当 C(0,0) ，或经过平移后 C(0,0) ，此时，三角形面积 S ?
三角形面积 S ? p(p?a)(p?b)(p?c) 。
我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式，即秦九韶公式，也叫三斜求积公式。
1 ?
2 2
? c2 ? a2 ?b2 ?S ? ?c a ?
? ?4 ? 2? ?
?
2 ?
?
??
⑦已知三角形两边及夹角，则三角形面积公式为
1 1 1S ? absinC ? bcsin A ? casin B
2 2 2
⑧已知三角形两角及夹边，则三角形面积公式为
c2 sin Asin B b2 sin AsinC a2 sin BsinCS ? ? ?
2sin( A? B) 2sin( A?C) 2sin( B ?C)
⑨已知三角形两角 A、 B 及其中一边的对边 a ，则三角形面积公式为
a2sin(A? B)sin B S ?
2sin A
⑩已知空间三角形 ABC 的顶点 A(x1, y1, z1), B(x2, y2,z2), C(x3, y3,z3)。
i j k1 1
则三角形面积 S ? AB? AC ? x
2
? x
1
y
2
? y
1
z
2
? z
1
的绝对值 2 2
x
3
? x
1
y
3
? y
1
z
3
? z
1
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