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第四章 不定积分
一、原函数与不定积分
1、原函数的定义
x I??,有 () ()Fx fx? ? ,则称 ()Fx为 ()f x 在 I 上的一个原函数 .
注： (1) 存在性：连续函数必具有原函数 .
(2) 个数：原函数若存在必有无穷多个 .
(3) 同一个函数不同原函数之间的关系：
若 ()Fx, ()Gx为 ()f x 在 I 上的原函数 ? C? ,使得
() ()Gx Fx C? ? .
(4) 注意函数的几何特性与原函数概念相结合的概念题 .
2、不定积分的定义
在区间 I 上 ,函数 ()f x 的带有任意常数项的原函数称为 ()f x 在区间 I 上的不定积分 ,记作
?
.)( dxxf .
若 ()Fx是 ()f x 在 I 上的一个原函数 ,那么 ()Fx C? 就是 ()f x 的不定积分 ,即
?
?? CxFdxxf )()( .
注： (1) 求不定积分的过程就是求得一个原函数 ,再加上任意常数 C 即可 .
(2) 对于同一个不定积分 ,如果积分方法不同 ,则往往得到形式不同的结果 ,这些结果至多相差一个常数 ,但都
正确 .为判断这些结果的正确性 ,可对结果求导数进行验算 .
(3) 初等函数在其连续区间上必有原函数 ,但初等函数的原函数并不都是初等函数 .
(4) 有些初等函数的不定积分不能用初等函数表示 ,例如： ,
ln
dx
x
?
2
,
x
edx
?
sin
,
x
dx
x
?
2
cos
sin ,
x
x dx dx
x
??
等都不能用初等函数表示 ,或者习惯地说 “积不出来 ”.也就是说 ,可以 “积出来 ”的只是很小的一部分 ,而且形式
变化多样 .
【例 4.1】 设 ()f x 是连续函数 ,
? ?F x
是 ()f x 的原函数 ,则 ( )
(A) 当 ()f x 是奇函数时 ,
? ?F x
必是偶函数 .
(B) 当 ()f x 是偶函数时 ,
? ?F x
必是奇函数 .
(C) 当 ()f x 是周期函数时 ,
? ?F x
必是周期函数 .
(D) 当 ()f x 是单调增函数时 ,
? ?F x
必是单调增函数 .
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二、不定积分的性质和基本积分公式
1．不定积分的基本性质
（ 1) 线性性质
(() ()) () () .f x gx dx f xdx gxdx?? ?
???
() () ,( 0).kf x dx k f x dx k? ?
? ?
（ 2) 与导数 ,微分运算的互逆性
(()) ().f xdx f x??
?
(()) ().d f xdx f xdx?
?
() () .f xdx f x C? ? ?
?
() () .df x f x C? ?
?
2.基本积分公式
由微分与不定积分的关系 ,很容易从基本的求导公式得到基本积分公式 ,这些公式是同学们必须要熟记
的 .具体公式归纳如下：
1
1
x
x dx C
?
?
?
?
??
?
?
??
1? ??， 实常数
?
?? Cxdx
x
ln
1
?
?? Ca
a
dxa
xx
ln
1
? ?1,0 ?? aa
Cedxe
xx
??
?
?
?? Cxxdx sincos
?
??? Cxxdx cossin
Cxdx
x
xdx ???
??
tan
cos
1
sec
2
2
2
csc cotxdx x C???
?
Cxxdxx ??
?
secsectan
Cxxdxx ???
?
csccsccot
【例 4.2】 求不定积分
2
2
.
1
x
dx
x?
?
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三、积分方法
1.第一换元法 (凑微分法 )
设 ??f u 具有原函数 ? ?Fu, ? ?ux?? 存在连续导数 ,则有换元公式
? ? ? ?[()]()f xxdxFuCFxC?? ?
? ? ?? ???
???
．
注 :常见的凑微分形式
(1) ?? ??? ?
??
????
?
baxdbaxf
na
dxxbaxf
nnnn
1
1
? ?
0, 0 .an??
(2)
?? ? ?? ?
sin cos sin sin .f xxdxfxdx?
??
(3)
?? ????ln ln ln .
dx
f xfxdx
x
?
??
(4)
?? ????
2.
dx
f xfxdx
x
?
??
(5)
?? ????cos sin cos cos .f xxdx f xd x??
??
(6)
2
111
.
dx
ffd
x xxx
?? ????
??
?? ????
?? ????
??
【例 4.3】 计算
2
.
1
x
dx
x?
?
【例 4.4】
2
sin cos .x xdx
?
【例 4.5】
2
1
.
ln
dx
x x
?
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2.第二换元积分法
设 ??tx ?? 可导 ,且 ?? 0?? t? ,若 ? ???? ? ? ? CtGdtttf ???
?
?? ,则
??
??
?????? ?? ??? ? CxGCtGdtttf
tx
dxxf ?????
?
??
?1
???
?令
.
注 :常见的利用第二换元法计算不定积分的形式和所作的变量替换 .
(1) 被积函数含有积分变量的二次根式 ,这时要用第二换元积分 ,所做的换元是三角代换 ,主要常见的三
种类型如下：
根式的形式 所作替换 三角形示意图 (求反函数用 )
22
xa ?
tax sin?
22
xa ?
tax tan?
22
ax ?
tax sec?
(2) 被积函数含有 x与
n
bax ? 或 x与 n
dcx
bax
?
?
的有理式的积分 .
这时要用第二换元积分法 ,所做的换元分别为
n
taxb? ? 或者 n
ax b
t
cx d
?
?
?
以去掉根号 ,这种换元我们
称为幂代换 .
(3) 分式函数情形且分子的幂次低于分母的幂次的积分 .
这时可考虑用第二换元积分法 ,所做的换元为
1
t
x
? ,这样我们可以消掉被积函数分母中的变量因子 ,我
们把上面的这种代换称为倒代换 .
【例 4.6】 不定积分
? ?
ln 2
2
x
dx
xx
?
?
?
.
a
t
x
a
22
ax?
x
t
x
22
ax?
a
22
x a?
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【例 4.7】
82
(1 )
dx
I
x x
?
?
?
.
3.分部积分法
?? ?? ???? ? ? ? ?
??
?? xduxvxvxuxdvxu 或 ? ? ? ? ? ? ? ?????
? ?
???? dxxvxuxvxudxxvxu
注： 分部积分的难点是 ,uv的选择 .下面给出常见的利用分部积分的形式：
(1) ??
ax
n
exP , ?? axxP
n
sin , ?? axxP
n
cos 情形 , ? ?xP
n
为 n次多项式 ,a为常数 ,要进行 n次分部积分法 ,每次均
取
ax
e , axsin , axcos 为 ??xv? ；多项式部分为 ? ?xu .
(2) ?? xxP
n
ln , ?? xxP
n
arcsin , ?? xxP
n
arctan 情形 , ? ?xP
n
为 n 次多项式取 ??xP
n
为 ? ?xv? , 而
xln , xarcsin , xarctan 为 ? ?xu ,用分部积分法一次 ,被积函数的形式发生变化 ,再考虑其它方法 .
(3) bxe
ax
sin , bxe
ax
cos 情形 ,进行二次分部积分法后移项 ,合并可得 .
(4) 比较复杂的被积函数使用分部积分法 ,要用凑微分法 ,使尽量多的因子和 dx凑成 ??xdv .
【例 4.8】 求不定积分
2
.
x
x edx
?
?
【例 4.9】 计算不定积分 (I)
1
arctanI xdx?
?
, (II)
2
2
lnI xxdx?
?
.
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【例 4.10】 求 cos .
x
exdx
?
四、特殊类型函数的积分
1.有理函数的积分
这类积分的主旨想法：
2
2
1
,
1
(1),
()
()
()
,
.
()
k
k
dx
xa
dx k
xa
Px
dx
mx n
Qx
dx
xpxq
mx n
dx
xpxq
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? ?
?
?
?
???
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
分 解 为
部 分分式
2.三角函数有理式的积分
这类积分的一般方法是： (sin ,cos )Rx xdx??? ?
?
万能 公 式
有理函数积分.
3.简单无理函数积分
这类积分的主要转化思路：
??????
?
无理积分 三角代换化为三角函数有理式积分
去 根号化为有理积分
【例 4.11】 求不定积分 .
sin2 2sin
dx
x x?
?
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典型例题
【例 4.12】 求不定积分：
31
22
,( 0).
(1)
n
n
x
Idxn
x
?
? ?
?
?
【例 4.13】 求不定积分： (I)
1
2
ln(1 )xx
I dx
x
??
?
?
；
(II)
2
2
2
arctan
1
x
I xdx
x
?
?
?
.
【例 4.14】 计算不定积分： (I)
??
??
1
1
1,
1
n
Idxn
xx
??
?
?
正整 数 ；
(II)
??
2
arctan
.
1
x
I dx
x x
?
?
?
65 / 187
【例 4.15】 设 ( ) arcsinxfxdx x C??
?
,求不定积分
1
.
()
dx
fx
?
【例 4.16】 求下列不定积分： (I)
23
1
sin cosI xxdx?
?
；
(II)
24
2
sin cosI xxdx?
?
.
【例 4.17】 设 sin
n
n
I xdx?
?
,求证：
1
2
11
sin cos
n
nn
n
I xx I
?
?
?
?? ? .
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【习题精选】
一、选择题
1、设
12
1
,
(1 ) (1 )
x
x du
IdI
x xe u u
?
??
??
??
,则存在函数 ()uux? ,使 ( )
A．
12
I Ix?? B．
12
I Ix??
C．
21
I I?? D．
21
I I?
2、 (1 ln )
x
x xdx??
?
( )
A．
1
1
ln
1
n
x xC
x
?
??
?
B．
x
x C?
C． lnx xC? D．
1
ln
2
x
x xC?
3、
2
1ln
(ln)
x
dx
xa x
?
?
?
?
( )
A．
(ln)
x
C
ax a x
?
?
B．
(ln)
x
C
ax a x
? ?
?
C．
lnax
C
x
? D．
2
(1 ln )ax
C
x
?
?
4、 (cos sin )
22
xx
dx??
?
( )
A． 2(sin cos )
22
xx
C?? B． 2(cos sin )
22
xx
C? ?
C． sin cos
22
xx
C?? D． cos sin
22
xx
C? ?
5、若 ()f x 的导函数是 cos
x
ex
?
? ,则 ()f x 的一个原函数为 ( )
A． cos
x
ex
?
? B． sin
x
ex
?
??
C． cos
x
ex
?
?? D． sin
x
ex
?
?
6、下列命题错误的是 ( )
A．
2
sin2 cosxdx x C?? ?
?
B．
2
sin2 sinxdx x C? ?
?
C．
1
sin2 cos2
2
xdx x C??
?
D．
1
sin2 cos2
2
xdx x C???
?
7、设
2
1
1
2
x
ye? ,
2
x
yeshx? ,
3
x
yechx? ,则 ( )
A．
1
y ,
2
y ,
3
y 都没有相同的原函数
67 / 187
B．
2
y 与
3
y 有相同的原函数 ,但与
1
y 的原函数不相同
C．
1
y ,
2
y ,
3
y 有相同的原函数
x
e
chx shx?
D．
1
y ,
2
y ,
3
y 有相同的原函数
x
e
chx shx?
8、已知函数
2
3y x? 的一条积分曲线过 (1,1)点 ,则其积分曲线的方程为 ( )
A．
3
y x? B．
3
1yx? ?
C．
3
2yx?? D．
3
y xC? ?
9、若
2
()f xdx x C??
?
，则
2
(1 )xfxdx??
?
( )
A．
22
1
(1 )
2
x C?? ? B．
22
2(1 )x C? ??
C．
22
1
(1 )
2
x C?? D．
22
2(1 )x C? ?
10、 cos2x 的一个原函数是 ( )
A． 2cos2x B．
1
cos2
2
x C．
2
cos x? D．
1
sin2
2
x
11、若 ()f x? 为连续函数 ,则 (2 )f xdx? ?
?
( )
A． (2 )f xC? B． ()f xC?
C．
1
(2 )
2
f xC? D． 2(2)f xC?
12、 cos
2
x
?
的一个原函数是 ( )
A．
2
sin
2
x
?
?
B． sin
22
x
? ?
C．
2
sin
2
x
?
?
? D． sin
22
x
? ?
?
13、设 ()f x 有原函数 ,则 ()f x 的所有原函数图像在横坐标相同的点处切线 ( )
A．都平行于 x轴 B．都平行于 y 轴 C．相互平行 D．相互垂直
14、设 () tan2f xk x? 的一个原函数是
2
lncos2
3
x ,则 k ?( )
68 / 187
A．
2
3
? B．
3
2
C．
4
3
? D．
3
4
15、函数 () cosf xx? 在下列区间上有原函数的是 ( )
A． (,)?? ?? B． [0,1] C． [,]? ?? D． [1,0]?
16、设 ()f x 是 ()gx的一个原函数 , 则 ( )
A． () ()f xdx g x C??
?
B． () ()gxdx f x C? ?
?
C． () ()gxdx fx C? ??
?
D． () ()f xdx g x C? ? ?
?
二、填空题
17、设 ()f x 的一个原函数为
x
xe ,则 ()xfxdx? ?
?
_____________.
18、设
x
e
?
是 ()f x 的一个原函数 ,则 ()xfxdx?
?
_____________.
19、若
3
() 1fx
?
???
??
,则 ()f x ?_____________.
20、
2
max( , )x xdx?
?
_____________.
21、
2
ln(sin )
sin
x
dx
x
?
?
_____________.
22、若
2
sin
(1 2cos ) 1 2cos 1 2cos
dx A x dx
B
x xx
??
?? ?
??
,则 A ?__________,B ?___________.
23、设 ( ) arcsinxfxdx x C??
?
,则
()
dx
f x
?
?
_____________.
24、
(4 )
dx
x x
?
?
?
_____________.
25、
2
ln 1x
dx
x
?
?
?
_____________.
26、
1
x
dx
e
?
?
?
_____________.
27、
2
(1 )
x
xe
dx
x
?
?
?
_____________.
28、 sin cosx xxdx?
?
_____________.
29、
??
2
()
1()
fx
dx
fx
?
?
?
?
_____________.
69 / 187
三、解答题
30、若 ()f x 有原函数 lnx x ,求 ()xfxdx??
?
.
31、若
sin x
x
为 ()f x 的一个原函数 ,求 () .xfxdx?
?
32、设 1n ?? 时 , ln .
n
x xdx
?
33、
? ?
sin(ln ) cos(ln )
.
n
ax x
dx
x
?
?
34、
? ?
() ()f xxfxdx??
?
.
【参考答案】
一、选择题
1、 D 2、 B 3、 B 4、 A 5、 A 6、 C 7、 A 8、 A 9、 A 10、 D 11、 C
12、 A 13、 C 14、 C 15、 B 16、 B
二、填空题
17、
2 x
x eC? 18、 (1)
x
ex C
?
?? 19、
3
x C?
20、
3
2
3
/3 0
/2 1
/3 1/6
xC x
x Cx
xCx
? ? ?????????????? ?
?
? ???????????????? ?
?
?
? ? ???????
?
21、 cot ln(sin ) cotx xxxC???? 22、
2
3
,
1
3
?
23、
23/2
1
(1 )
3
x C?? ? 24、 2arcsin
2
x
C? 25、
ln x
C
x
? ? 26、 ln( 1)
x
eC
?
? ??
27、
1
x
e
C
x
?
?
28、
11
cos2 sin2
48
x xxC??? 29、 ? ?arctan ( )f xC?
三、解答题
30、 ln x C??
31、
2sin
cos
x
x C
x
??
32、
1
1
(ln )
11
n
x
x C
nn
?
??
??
33、
??
11
sin(ln )
1
n
axC
n
?
??
?
34、 ()xfx C?
|
|
