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第五章 定积分及其应用
一、定积分
1.定积分的定义
设函数 ()f x 在 ? ?,ab上有界 ,在 ? ?,ab中任意插入若干个分点
0
ax?
1
x? ??
1n
x
?
?
n
x b??把区间
? ?
,ab分成 n个小区间
? ?
01
,x x
? ?
12
,,x x
? ?
1
,, , ,
nn
x x
?
? 各个小区间的长度依次为
110
,x xx???
221
x xx???,,?
1
.
nnn
x xx
?
??? 在每个小区间
? ?
1
,
ii
x x
?
上任取一点
i
? ??
1iii
x x?
?
?? ,作函
数值 ()
i
f ? 与小区间长
i
x? 的乘积 ()
ii
f x? ? ? ?1,2, ,in? ? ,并作出和
1
() .
n
ii
i
Sfx?
?
? ?
?
记
? ?
12
max , , ,
n
x xx?????? ,如果不论对
? ?
,ab怎样划分 ,也不论在小区间
? ?
1
,
ii
x x
?
上点
i
? 怎样选取 ,只要当
0?? 时 ,和 S 总趋于确定的极限 I ,那么称这个极限 I 为函数 ()f x 在区间
? ?
,ab上的定积分 (简称积分 ),记
作 () ,
b
a
f xdx
?
即
0
1
() lim () ,
n
b
ii
a
i
f xdx I f x
?
?
?
?
? ??
?
?
其中 ()f x 叫做被积函数 , ()f xdx叫做积分表达式 ,x叫
做积分变量 ,a叫做积分下限 ,b叫做积分上限 ,
? ?
,ab叫做积分区间 .
注： 定积分定义中的两个 “任意 ”—— 分法任意 ,
i
? 的取法任意 .
2.定积分的几何意义
设 ()
b
a
f xdx
?
存在 ,则 ()
b
a
f xdx
?
的值等于由曲线 ()yfx? 、直线 x a? 、 x b? 及 x 轴所围成曲边
梯形面积的代数和 .
3.可积的条件
(1) 可积的必要条件：可积函数必有界 .
(2) 可积的充分条件：
1) 闭区间上的连续函数必可积 .
2)
若
()f x 在 [,]ab上只有有限个第一类间断点则必可积 .
4.积分的性质
(1) ?? ??
??
??
b
a
a
b
dxxfdxxf .
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(2) ?? 0.
a
a
fxdx?
?
(3) ?? ?? ?? ??
11 22 1 1 2 2
.
bbb
aaa
kfx kfxdxk fxdxk fxdx?? ???
?????
(4) ?? ?? ??
???
??
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf (c也可以在 ? ?ba, 之外 ).
(5) 设 ba ? , ?? ??xgxf ? ??bxa ?? ,则 ?? ?? .
bb
aa
f xdx gxdx?
??
(6) 设 ba ? , ?? Mxfm ?? ??bxa ?? ,则
?? ?? ??
.
b
a
mb a f xdx M b a?? ? ?
?
注： 结合定积分的几何意义理解 “估值 ”性质 .
(7) 设 ba ? ,则
?? ?? .
bb
aa
f xdx f x dx?
??
(8) 定积分中值定理 设 ? ?xf 在 ??ba, 上连续 ,则存在 ? ?ba,?? ,使
?? ??? ?
.
b
a
f xdx f b a???
?
定义：我们称 ??
?
?
b
a
dxxf
ab
1
为 ??xf 在 ? ?ba, 上的积分平均值 .
(9) 奇偶函数的积分性质
?? 0?
?
?
a
a
dxxf ( f 奇函数 ).
?? ??
??
?
?
aa
a
dxxfdxxf
0
2 ( f 偶函数 ).
(10) 周期函数的积分性质
设 ??xf 以 T 为周期 ,a为常数 ,则 ?? ??
0
.
aT T
a
f xdx f xdx
?
?
??
二、微积分基本定理
1.变上限积分的函数
设 ??xf 在 ??ba, 上连续 ,则 ?? ??
?
?
x
a
dttfxF , ? ?bax ,? 称为变上限积分的函数 .
2.变上限积分函数的性质
(1) 若 ??xf 在 ??ba, 上可积 ,则 ?? ??
?
?
x
a
dttfxF 在 ? ?ba, 上连续 .
(2) 若 ??xf 在 ??ba, 上连续 ,则 ?? ??
?
?
x
a
dttfxF 在 ? ?ba, 上可导 ,且 ? ? ? ?xfxF ??
.
72 / 187
注： 1) 推广形式：设 ?? ??
??
??
?
?
x
x
dttfxF
2
1
?
?
, ? ? ? ?xx
21
,?? 可导 , ? ?xf 连续 ,则
?? ?? ?? ?? ? ?
22 11
.Fx f x x f x x?? ????????? ??
?? ??
2) 若 ??xf 连续 , ()Fx是 ? ?xf 的一个原函数 .
3) 有关函数的所有问题都可以对变限积分函数实行 .
4)
??xf 连续 ,变上限积分函数 ?? ??
?
?
x
a
dttfxF 是 ? ?xf 的一个原函数 ,在对应区间上是连续的可导的 ,一个
抽象函数要找其原函数首选是变限积分函数 .
3.牛顿一莱布尼兹公式
设 ??xf 在 ??ba, 上连续 , ??xF 为 ??xf 在 ? ?ba, 上任意一个原函数 ,
则
?? ?? ?? ??
.
b
a
b
f xdx F x Fb Fa
a
???
?
三、定积分的计算方法
1.定积分的换元积分法
设 ??xf 在 ??ba, 上连续 ,若变量替换 ? ?tx ?? 满足
(1) ??t?? 在 ????, (或 ????, )上连续；
(2) ?? a??? , ?? b??? ,且当 ?? ?? t 时 , ? ? bta ??? ,则
?? ?? ??
b
a
f xdx f t tdt
?
?
???? ??
????
注： 定积分换元法要注意上下限的对应关系 ,且定积分还原后无需还原 .
【例 5.1】 求
1
32
0
1.I xxdx??
?
73 / 187
【例 5.2】
3
2
1
.
ln
I dx
x x
?
?
2.分部积分法
设 ?? ??xvxu ?? , 在 ??ba, 上连续 ,则
???? ???? ????dxxvxuxvxudxxvxu
b
a
b
a
b
a
??
????
或 ?? ?? ???? ?? ??
??
??
b
a
b
a
b
a
xduxvxvxuxdvxu .
注： 定积分的分部积分法中的 ?? ??,ux vx的选择原则和不定积分的分部积分法中的 ?? ??,ux vx的选择原则
相同 .
【例 5.3】
1
2
0
arctan .x xdx
?
四、反常积分
1.无穷区间上的广义积分的定义
(1) ?? ??dxxfdxxf
b
aba
??
???
??
? lim ,若上述极限存在 ,则称广义积分 ??
?
??
a
dxxf 是收敛的 ,它的极限值即为函数
在积分区域上的反常积分；若极限不存在 ,则称广义积分 ??
?
??
a
dxxf 是发散的 .
(2) ?? ??lim ,
bb
aa
f xdx f xdx
?? ???
?
??
若上述极限存在 ,则称广义积分 ??
?
??
a
dxxf 是收敛的 , 它的极限值即为
函数在积分区域上的反常积分；若极限不存在 ,则称广义积分 ??
?
??
a
dxxf 是发散的 .
(3) ?? ?? ??
???
??
??
??
??
??
c
c
dxxfdxxfdxxf
?? ??lim lim ,
cb
acab
f xdx f xdx
??? ???
??
??
若上述两个极限都存在 ,则称广义积分 ??f xdx
??
??
?
是收敛的 ,它的两个极限值之和即为函数在积分区域上
的反常积分；反之 ,则称广义积分 ??f xdx
??
??
?
是发散的 .
74 / 187
2.无界函数的广义积分 (瑕积分 )定义
瑕点：设 ??xf 在 ? ?ba, 内连续 ,且 ? ? ??
?
?
xf
bx
lim ,则称 b为 ? ?xf 的瑕点 .
同样的 ,设 ??xf 在 ? ?ba, 内连续 ,且 ? ? ??
?
?
xf
ax
lim ,则称 a为 ? ?xf 的瑕点 .
(1) 已知 b 为函数 ??xf 的唯一瑕点 ?? ??
0
lim
bb
aa
f xdx f xdx
?
?
?
?
?
?
??
,若上述极限存在 ,则称广义积分
??
b
a
f xdx
?
是收敛的 ,它的极限值即为函数在积分区域上的瑕积分；若极限不存在 ,则称广义积分
??
b
a
f xdx
?
是发散的 .
(2) 已知 a 为函数 ??xf 的唯一瑕点 , ?? ??
0
lim
bb
aa
f xdx f xdx
?
?
?
?
?
?
??
若上述极限存在 ,则称广义积分
??
b
a
f xdx
?
是收敛的 , 它的极限值即为函数在积分区域上的瑕积分；若极限不存在 ,则称广义积分
??
b
a
f xdx
?
是发散的 .
(3) 已知 c为瑕点 ,如果 ?? ??lim
ct
aa
tc
f xdx f xdx
?
?
?
??
与 ?? ??lim
bb
ct
tc
f xdx f xdx
?
?
?
??
都收敛时 ,则定义反常积分
?? ?? ??
bcb
aac
f xdx f xdx f xdx??
???
收敛 ,否则就称反常积分 ??
b
a
f xdx
?
发散．
【例 5.4】 计算反常积分
2
0
d
48
x
xx
??
?
??
?
.
五、定积分的应用
1.求平面图形的面积
(1) 直角坐标系下求面积
X 型区域：由直线 x a? ， x b? ， (), ()yfxygx? ? 所围成的图形 (见图 5-1)的面积为
() () .
b
a
Sfxgxdx??
?
Y 型区域 :由直线 y ?? , y ?? , (), ()x yx y? ?? ? 所围成的图形 (见图 5-2)的面积为
75 / 187
o
x
y y=f(x)
y=g(x)
6-1
o x
y
()x y??()x y??
?
?
5-2
a b
() () .Syydy
?
?
????
?
(2) 极坐标系下求面积
由曲线
1
()rr?? ,
2
()rr?? ()? ???? 所围成平面图形 (见图 5-3)的面积为
22
21
1
() () .
2
Srrd
?
?
? ??????
???
2.求体积
(1) 旋转体的体积
由连续曲线 ()yfx? 、 直线 x a? 、 x b? 与 x轴围成的平面图形绕 x轴旋转一周而成的旋转体体积 (如
图 5-4)为
??
2
() .
b
a
Vfxdx??
?
F
2
5-4
o
x
y
5-3
1
()rr??
2
()rr??
?
?
76 / 187
(2)平行截面面积已知的立体体积
立体在过点 ,x ax b??且垂直于 x 轴的两平面之间 .以 ()A x 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面
积 . ()A x 为连续函数，则所求的立体体积公式为： () .
b
a
VAxdx?
?
3.求平面曲线的弧长
(1) 设平面曲线
?
AB 由方程 ()( )yfxaxb???给出 ,其中 ()f x 在 ? ?,ab上具有一阶连续的导数 ,则曲线的
弧长为
2
1()
b
a
sfxd???
?
.
(2) 设平面曲线
?
AB 由参数方程 (), ()x xt y yt??? ?t? ??? 给出 , 其中 (),x xt?
()yyt? ? ?t? ??? 具有一阶连续的导数 ,则曲线的弧长为
22
() () .sxtytdt
?
?
????
?
(3) 设平面曲线
?
AB 由极坐标方程 ??rr?? ? ?? ???? ,其中 ? ?rr?? 在 ? ?,? ? 上具有连续的导数 ,则曲
线的弧长为 ?? ??
22
rrd
?
?
? ????
?
.
4.旋转面的侧面积问题
在 x轴上方有一平面曲线绕 x轴旋转一周得旋转曲面 ,面积记为 S .
(1) 设
?
AB 的参数方程为 (), ()x xt y yt? ? ? ?t? ??? ,
则
22
2()()(),Sytxtytd
?
?
? ????
?
其中 (), ()x tyt在
? ?,? ?
上有连续偏导数 .
(2) 设
?
AB 的方程为 ()yfx? ? ?axb?? ,
则
2
2()1()
b
a
Sfxfxdx? ???
?
, 其中 ()f x 在 ? ?,ab上有连续的导数 .
(3) 设
?
AB 由极坐标方程 ??rr?? ??? ???? 给出 ,
则
22
2 ()sin () () .Sr rrd
?
?
? ??? ?????
?
其中 ? ?rr?? 在 ? ?,? ? 有连续的导数 .
77 / 187
5.定积分的物理应用
(1) 变力作功
设一物体沿 x轴运动 ,在运动过程中始终有力 F 作用于物体上 .力 F 的方向或与 x轴方向一致 (此时 F
取正值 )或与 x轴方向相反 (此时 F 取负值 ).物体在 x处的力为 ()Fx,则物体从 a移到 b时变力 ()Fx作的功
为 ()
b
a
WFxdx?
?
.
(2) 水压力
设一薄板垂直放在均匀的静止液体中 ,则液体对薄板的侧压力 ()
b
a
Pxfxdx??
?
.其中 ? 为液体的密
度 , ()f x 在 ? ?,ab连续 , ()f x 为薄板的函数 .
(3) 引力
质量分别为
12
,mm相距为 r 的两质点间的引力的大小为
12
2
,
mm
Fk
r
? 其中 k为引力常数 ,引力的方向沿
着两质点的连线方向 .
典型例题
【例 5.5】
222 22
11 1
lim( ) .
414 4
n
nn nn
??
??? ?
?? ?
?
【例 5.6】 设
2
sin
() e sind,
x
t
x
F xtt
??
?
?
则 ()F x ( )
(A)为正常数 . (B)为负常数 . (C)恒为零 . (D)不为常数 .
【例 5.7】 设
4
4
8
4
tan
()d,
1
x
M xx
x
?
?
?
??
?
?
4
4
82
(sin ln( 1))d ,N xxx x
?
?
?
????
?
78 / 187
4
4
4
(tan e cos e cos )d .
xx
Pxxx
?
?
?
?
??
?
则有 ( )
(A) .P NM?? (B) .NPM??
(C) .NMP?? (D) .P MN??
【例 5.8】 设 ()f x 连续且
1
22
0
() 3 1 ()d,f xx x fxx???
?
求 ().f x
【例 5.9】 下列运算正确的是 ( )
(A) 因为
2
1
x
x?
是奇函数 ,所以
2
d0.
1
x
x
x
??
??
?
?
?
(B)
222 2
00 0
d1d1
dtan
1+cos sec 1cos 2 tan
xx
x
x x
?? ?
??
??
?? ?
0
1tan
arctan( ) 0 0 0.
22
x
?
? ???
(C) 设
2
1
sin , 0,
()
0, 0.
xx
fx x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
因为 ()f x 是奇函数 ,所以
1
1
()d 0.fx x
?
?
?
(D)
1
1
2
1
1
d1
(1 ( 1)) 2.
x
x
x
?
?
?? ?? ? ? ??
?
79 / 187
【例 5.10】 设 ()f x 在 (,)?? ?? 内连续 ,
0
() (2 )( )d.
x
F xuxfxuu???
?
证明： (I) 若 ()f t 为偶函数 ,则 ()F x 为 x的偶函数；
(II) 若 ()f t 为 t 的单调减函数 ,则 ()F x 为 x 的单调增函数 .
【例 5.11】 设 f(x)在 [,]ab有二阶连续导数 , 0)()( ??? afaf ,
证明：
2
1
()d ()( )d.
2
bb
aa
f xx fxxb x????
??
【例 5.12】 过坐标原点作曲线 lnyx? 的切线 ,该切线与曲线 lnyx? 及 x轴围成平面图形 D.求：
(I) D 的面积 A;
(II) 求 D 绕直线 x e? 旋转一周所得旋转体的体积 V .
80 / 187
【例 5.13】 求心脏线 (1 cos )a? ??? 的全长 .
【例 5.14】 计算定积分
4
0
ln(1 tan )x dx
?
?
?
81 / 187
【巩固练习】
一、选择题
1、 已知 ??yfx? 对一切 x满足
?? ? ?
2
2()1
x
xfx xfx e
?
?? ???,若
??
0
0fx? ? (
0
0x ? ),则 ( )
A． ??
0
f x 是
??
f x 的极大值 B．
? ?
0
f x 是
? ?
f x 的极小值
C． ??
??
00
,x fx 是曲线
??
yfx? 的拐点
D． ??
0
f x 不是
??
f x 的极值 ,
????
00
,x fx 也不是曲线
? ?
yfx? 的拐点
2、若已知 (0)1 (2)3 (2)5ff f??? ?，， ,则
1
0
(2 )xfxdx?? ?
?
( )
A． 0 B． 1 C． 2 D．－ 2
二、填空题
3、
222 22
11 1
lim( )
414 4
n
nn nn
??
??? ?
?? ?
? .
4、
1
sin
0
0
0
(1 )
lim
sin
x
t
x
x
tdt
t
dt
t
?
?
?
?
?
.
三、解答题
5、已知
22
(2 cos ) sin tanf xxx? ???,求 ()f x 表达式 .
6、证明：
4
4arctan 3 0
3
xx ??? ? ?恰好有 2个实根．
7、求不定积分
2
(1 )
x
xe
dx
x?
?
.
【参考答案】
一、选择题
1、 B 2、 C
二、填空题
3、 /6? 4、 e
三、解答题 5、
2
(2) 1
32
x
C
x
?
???
?
6、转化成函数零点个数问题 7、
1
x
e
C
x
?
?
82 / 187
【习题精选】
一、选择题
1、设 ()f x 是以 l为周期的连续函数 ,则
(1)
()
ak l
akl
f xdx
??
?
?
之值 ( )
A．仅与 a有关 B．仅与 a无关
C．与 a及 k 均无关 D．与 a和 k 都有关
2、若 0x ? 时 ,
22
0
() ( ) ()
x
Fx x t f tdt????
?
的导数与
2
x 是等价无穷小 ,则必有 ( )
(其中 f 有二阶连续导数 )
A． (0) 1f ?? ? B．
1
(0)
2
f ?? ?
C． (0) 0f ?? ? D． (0)f ?? 不存在
3、若
2
2
1
() lim
1
n
n
n
x
f xx
x
??
?
?
?
,且设
2
0
()f xdx k?
?
,则必有 ( )
A． 0k ? B． 1k ? C． 1k ?? D． 2k ?
4、设
2
sin
() sin
x
t
x
f xetd
??
?
?
,则 ()f x ?( )
A．正常数 B．负常数 C．恒为 0 D．不是常数
5、已知 ()f t 是 ()?? ??， 内的连续函数 ,则
3
11
() ()
xx
f tdt tdt??
??
恒成立时 ,必有 ()t? ?( )
A．
2
()f t B．
33
()tft C．
23
()tft D．
23
3()tft
6、设 ()f x 在 []aa? ， 上连续且为偶函数 ,
0
() ()
x
x ftdt? ?
?
,则 ( )
A． ()x? 是奇函数 B． ()x? 是偶函数
C． ()x? 是非奇非偶函数 D． ()x? 可能是奇函数 ,也可能是偶函数
7、设 y 是由方程
0
2
sin 0
yx
t
edt tdt
?
??
??
所确定的 x的函数 ,则
dy
dx
? ( )
A．
sin
1cos
x
x?
B．
sin
cos 1
x
x
?
?
C．
cos
y
y
e
D．
cos
y
y
e
?
8、
2
2
2
(1 )
dx
x
?
?
?
?
( )
A．
4
3
? B．
4
3
C．
2
3
? D．不存在
83 / 187
9、设
636
22
2
-
sin
cos (sin cos )
1
x
M xdx N x x dx
x
??
?
???
?
??
，，
23 6
2
2
(sin cos)Pxxxdx
?
?
?
??
?
则有 ( )
A． NPM?? B． M PN? ?
C． NMP?? D． PM N? ?
10、下列广义积分发散的是 ( )
A．
1
1
sin
dx
x
?
?
B．
1
21
1
dx
x
?
?
?
C．
2
0
x
edx
??
?
?
D．
2
2
ln
dx
x x
??
?
11、若 ()f x 是具有连续导数的函数 ,且 (0) 0f ? ,设
0
2
()
0
()
00
x
tf t dt
x
x
x
x
?
?
?
????? ?
?
?
?
?????? ????????????? ?
?
?
,则 (0)?? ?( )
A． (0)f ? B．
1
(0)
3
f ? C． 1 D．
1
3
12、若 ()x xt? 是由方程
21
1
0
x
t
tedt
?
?
??
?
所确定 ,则
2
2
0t
dx
dt
?
之值
为 ( )
A． 0 B． 1 C．
2
e D．
2
2e
13、若设
0
( ) sin( )
x
d
f xtxdt
dx
??
?
,则必有 ( )
A． () sinf xx?? B． () 1cosf xx???
C． () sinf xx? D． () 1sinf xx? ?
14、设
2211
(1 )
00
xx
aedxbedx
?
??
??
， ,则 ( )
A． ab? B． ab? C． ab? D． be?
15、设
0
() ( ) ()
x
Fx xf x tdt f x??
?
， 为连续函数 ,且 (0) 0 ( ) 0ffx?? ?， ,则 ()yFx? 在 (0 )??， 内是 ( )
A．单调增加且为向上凹的 B．单调增加且为单调凸的
C．单调减少且为向上凹的 D．单调减少且为向上凸的
16、设 ()f x 在 ()?? ??， 内连续 ,则正确的是 ( )
84 / 187
A．若 ()f x 为偶函数 ,则 () 0
a
a
fxdx
?
?
?
B．若 ()f x 为奇函数 ,则
0
() 2 ()
aa
a
f xdx f xdx
?
?
??
C．若 ()f x 为非奇非偶函数 ,则 () 0
a
a
fxdx
?
?
?
D．若 ()f x 为以 T 为周期的奇函数 ,则
0
() ()
x
Fx ftdt?
?
也是以 T 为周期的函数
17、下列式中正确的是 ( ),其中
2
1
sin 0
()
00
xx
fx
x
x
?
?????? ?
?
?
?
?
???? ???????????? ?
?
.
A．
0
1sin 0xdx
?
??
?
B．
2
1
x
dx
x
??
??
?
?
C．
1
3
1
0
dx
x
?
?
?
D．
1
1
() 0fxdx
?
?
?
18、设 ()f x 连续 ,且
1
0
()f tx dt x?
?
,则 ()f x ?( )
A．
2
x B． x C． 2x D．
2
x
二、填空题
19、
? ?
2
2
2
max 1,x dx
?
?
?
.
20、设
2
0
cos
()
1sin
x
t
f xd
t
?
?
?
,则
2
2
0
()
1()
fx
dx
fx
?
?
?
?
?
.
21、设 ()f x 在 [0,4]上连续 ,且
2
2
1
() 3
x
ftdt x
?
??
?
,则 (2)f ? .
22、
2
0
4
0
sin ln 1
lim
x
x
tdt x
x
?
??
?
?
.
23、已知
2
(2 )
x
f xxe? ,则
1
1
()f xdx
?
?
?
.
24、
??
1
1
2
ln ( ) ( )
2
x
f xfxdx
x
?
?
?? ?
?
?
,其中 ()f x 连续 .
25、当 0x ? 时 ,
cos
2
() ,()
0
2
xx
fx xgx
x
?
?
?
??????? ?
?
?
??
?
?
?????????????? ?
?
?
，则
0
() ( )
x
f tgx tdt? ?
?
.
26、
2
(7) 2
dx
xx
??
?
??
?
.
85 / 187
27、设
1
0
2() () 0fxdx fx x???
?
,则
1
0
()f xdx?
?
.
28、若 ()f x 在 12x ? 的邻域内为可导函数 ,且
12 12
lim ( ) 0,lim ( ) 1000
xx
fx f x
??
?? ? ,则
12
12
3
12
()
lim
(12 )
x
t
x
tfddt
x
??
?
??
??
??
?
?
??
.
29、若
1
0
sin
1
x
dx b
x
?
?
?
,则
1
2
0
cos
(1 )
x
dx
x
?
?
?
.
30、若 ()f x 连续 ,则
22
0
()
x
d
tf x t dt
dx
??
?
.
31、
2
0
2
cos
x
d
x tdt
dx
?
?
.
32、设
2
0
() ,(1)
x
t
f xedtfa
?
??
?
,则
1
0
()fx
dx
x
?
?
.
33、
2
22
sin cosx xdx
?
?
??
?
.
34、
1
2
1
sin
12cos
dx
x x
?
?
?
?
??
?
.
35、
0
2
(1 )
x
x
xe
dx
e
?
?
??
?
?
?
.
36、
2
0
(cos )cos (cos )sinf xxf x xdx
?
?????
???
.
三、解答题
37、求抛物线 ()(0)yxxaa?? ?与直线 y x? 所围图形的面积 .
38、已知
1
() (1||) ( 1)
x
fx t dtx
?
?? ??
?
,求曲线 ()yfx? 与 x轴所围图形的面积 .
39、求曲线 (0)
x
yex??, 0x ? , 0y ? 所围图形绕 Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积 .
40、求摆线
(sin)
(1 cos )
x at t
y at
??
?
?
??
?
的一拱与 x轴所围图形的面积 .
41、求曲线 2sinr ?? 与
2
cos2r ?? 所围图形的公共部分的面积 .
42、求星形线
3
3
cos
(0)
sin
xa t
a
ya t
? ?
?
?
?
?
?
?
绕 Ox 轴旋转所得旋转曲面的面积 .
43、正椭圆锥高为 h,底面边界是椭圆
22
22
1
xy
ab
??
,求此正椭圆锥的体积 .
86 / 187
44、求由曲线
1
yx
x
??, 2x ? 及 2y ? 所围图形的面积 .
45、求双纽线
22
cos2 ( 0)ra a???所围图形的面积 .
46、设 ()Va是由曲线
x
y xe
?
? , 0x ? , 0y ? , x a? 所围图形绕 Ox 轴旋转一周的立体的体积 ,求 lim ( )
a
Va
???
.
47、求曲线 3cosr ?? , 1cosr ??? 所围图形的公共部分面积 .
48、求函数
2
2
1
x
y
x
?
?
在区间
13
,
22
??
??
??
上的平均值 .
【参考答案】
一、选择题
1、 C 2、 B 3、 C 4、 A 5、 D 6、 A 7、 B 8、 D 9、 D 10、 A 11、 B 12、
D 13、 A 14、 C 15、 A 16、 D 17、 D 18、 C
二、填空题
19、
20
3
20、 arctan
4
?
21、
1
4
22、
5
24
23、
1
4
2( 1)e ? 24、 0 25、
1cos /2
/2 1 /2
xx
x x
?
??
? ??????????? ?
?
?
? ? ?????? ?
?
26、
3
?
27、
1
6
28、 2000 29、
cos1
1
2
b? ? 30、
2
()xfx
31、
2
0
224
cos 2 cos
x
tdt x x?
?
32、
1
21ae
?
? ? 33、 2
34、
2
?
35、 ln2? 36、 0
三、解答题
37、
3
1
(1 )
6
a? 38、
22
1
3
? 39、
2
?
40、
2
3 a?
41、
13
622
?
?? 42、
2
12
5
a?
43、
3
abh
?
44、
1
12
2
n ?
45、
2
a 46、
4
?
47、
5
4
?
48、
31
12
?
?
|
|
