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2022数学考前全真模拟一答案解析测试时间：120分钟，满分100分一、选择题：1? 5小题，每小题4分，共20分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当0x?时，无穷小量( ) (1 ) 1xx x? ? ? ?，20( ) cos( )xx x t dt? ? ??，sin( ) x xx e e? ? ?，从低阶到高阶的排列顺序应为( )(A) ( ), ( ), ( )x x x? ? ? (B) ( ), ( ), ( )x x x? ? ? (C) ( ), ( ), ( )x x x? ? ? (D) ( ), ( ), ( )x x x? ? ?
【解析】由于ln(1 )0 0 0 02 2 20 0 0( ) (1 ) 1 1 ln(1 )lim lim lim lim( ) cos( ) cos( ) cos( )x x xx x xx x x xx x e x xx x t dt x t dt x t dt?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?2 2 30 0 0 02 40 2 2 4lim lim lim lim11 cos( )cos( ) 2xx x x xx x xx xx t dt x? ? ? ?? ? ? ? ?????，所以( )x?是( )x?的低阶无穷小，又2 20 0sin sin sin0 0 0cos( ) cos( )( )lim lim lim( ) ( 1)x xx x x x xx x xx t dt x t dtxx e e e e?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? 42 2 20
0 0 0 021cos( ) 1 cos( ) 2lim lim lim lim 01sin 1 cos 2xx x x xxx t dt x xx x x x? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ??，则( )x?是( )x?的高阶无穷小，而ln(1 )sin sin sin0 0 0 0( ) (1 ) 1 1 ln(1 )lim lim lim lim( ) ( 1) sinx x xx x x x xx x x xx x e x xx e e e e x x?? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?20 0 0 022 2 1lim lim lim 4lim1sin 1 cos 2x x x xx x xx x x xx? ? ? ?? ? ? ? ??? ?，所以( )x?是( )x?的低阶无穷小，
综上，由低阶到高阶的排列顺序为( ), ( ), ( )x x x? ? ?，故选(B).(2)设函数n nn xxf 31lim)( ?? ??，则( )f x在),( ????内( )
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(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点【考查分析】本题考查分段函数可导性的判断.【详解】当1?x时，11lim)( 3 ??? ?? n nn xxf；当1?x时，111lim)( ??? ?? nnxf；当1?x时，.)11(lim)( 3133 xxxxf nnn ??? ??
即.1 ,11 ,1,,1 ,)( 33 ? ??? ????????? x xxxxxf可见( )f x仅在1x ??时不可导，故应选(C).（3）已经幂级数0 nnn a x???的收敛区间为( 1,1)?，如果lim nn n a???存在（常数0? ?），则幂级数? ?0 31 nnn a xn?? ???的收敛域为（）(A) ? ?2,4 (B) [2,4) (C) (2,4] (D) [2,4]【解析】答案为D
由级数的性质可得，? ?0 31 nnn a xn?? ???的收敛半径也为1，收敛区间为(2,4)因为lim nn n a???存在，故nn a M? ?，即n Ma n??当2 4x ?或时，? ? 131 1 ( 1)n na a M Mxn n n n n? ??? ? ? ?? ? ?，故收敛(4)设20 cosI x dx???，2sin0 cos xJ xe dx???，则( )(A) 0, 0I J? ? (B) 0, 0I J? ? (C) 0, 0I J? ? (D) 0, 0I J? ?【解析】2 20 0 0 21 1 1 1 1cos cos [ cos cos ]2 2x uI x dx udu udu uduu u u?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?，
而2 20 02 1 1 1cos cos cosu tudu tdt uduu t u? ???? ? ?? ?? ? ??? ?? ? ?所以2 2 20 0 01 1 1 1 1 1[ cos cos ] ( )cos 02 2I udu udu uduu u u u? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?
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2 22sin cos20 2cos sin 0t xx tJ xe dx te dt? ?? ?? ? ?? ? ?? ?，故选(B).(5)（不考线代）设( , ) ( , )f x y x y?与均为可微函数，且( , ) 0y x y? ? ?，已知0 0( , )x y是( , )f x y在约束条件( , ) 0x y? ?下的一个极值点，下列选项正确的是( )(A)若0 0( , ) 0xf x y? ?，则0 0( , ) 0yf x y? ?(B)若0 0( , ) 0xf x y? ?，则0 0( , ) 0yf x y? ?(C)若0 0( , ) 0xf x y? ?，则0 0( , ) 0yf x y? ?
(D)若0 0( , ) 0xf x y? ?，则0 0( , ) 0yf x y? ?【详解】作拉格朗日函数( , , ) ( , ) ( , )F x y f x y x y? ??? ?，并记对应0 0,x y的参数?的值为0?，则0 0 00 0 0( , , ) 0( , , ) 0xyF x yF x y ??? ? ??? ? ???，即0 0 0 0 00 0 0 0 0( , ) ( , ) 0( , ) ( , ) 0x xy yf x y x yf x y x y????? ? ?? ??? ? ?? ??? .消去0?，得0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y y xf x y x y f x y x y? ?? ? ? ?? ?，整理得0 0 0 0 0 00 01( , ) ( , ) ( , )( , )x y xyf x y f x y x yx y ??? ? ?? ? .(因为( , ) 0y x y? ? ? )，
若0 0( , ) 0xf x y? ?，则0 0( , ) 0yf x y? ? .故选(D).(5)（考线代）设,A B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则( )(A) E A E B? ?? ? ? (B) A与B有相同的特征值和特征向量(C) A与B都相似于一个对角矩阵(D)对任意常数t，tE A?与tE B?相似【解析】因为由A与B相似不能推得A B?，所以(A)不正确；相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故(B)也不正确；对于选项(C)，因为由题设条件不能推知,A B是否相似于对角阵，所以(C)也不正确；
综上可知(D)正确.事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使1P AP B? ?，所以1 1( )P tE A P tE P AP tE B? ?? ? ? ? ?，可见对任意常数t，矩阵tE A?与tE B?相似.
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二、填空题：6? 10小题，每小题4分，共20分.请将答案写在答题纸指定位置上.(6)计算1 2lim ( 1 cos 1 cos 1 cos )n nn n n n? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ___________.【解析】1 2lim ( 1 cos 1 cos 1 cos )n nn n n n? ? ??? ? ? ? ? ? ??1 1 120 0 01 cos 2cos 2 cos2 2x xxdx dx dx? ??? ? ? ?? ? ?102 2 2 2sin 2x?? ?? ? .
(7)设连续函数( )y y x?满足12 3 ( )( ) 1 ( )x y ty x dty t t? ? ??，则y ? ___________.【解析】由12 3 ( )( ) 1 ( )x y ty x dty t t? ? ??可得23 ( ) 1( ) ( )y xy x x x yy x x y? ??? ? ? ???，所以1 12 31( ( ) ) 2dy dyy yx e y e dy C y Cy? ? ?? ?? ? ? ? ?? ??①，又由已知有1 1( ) 1 0 ( ) 12 2y y? ? ? ??，代入①可得0C ?，则312x y??，故3 2y x?? .
(8)向量场2 2( , , ) ln(1 )zu x y z xy i ye j x z k? ? ? ?? ? ? ?在点(1,1,0)P处的散度divu ?? __________.【解析】由已知可设2( , , )P x y z xy?，( , , ) zQ x y z ye?，2( , , ) ln(1 )R x y z x z? ?，所以2 221zP Q R xzdivu y ex y z z? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??，则(1,1,0) 1 1 2divu ? ? ?? .（9）已知级数1 ! nxnn n en? ???的收敛域为( , )a ??，则a ? .【答案】1?
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【解析】( 1)1 1( 1)! ( 1) 1 1( 1)lim lim ( ) lim 1! 11 1 (1 )n x xn n x x xn n nnx nnn e n e nn e e en n n een n? ? ?? ? ? ? ??? ?? ???? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?，故1, 1x a?? ?? .(10)（不考线代）设2 21( ) x tf x e dt???，则10 ( )xf x dx?? __________.【解析】由已知可得：2( ) 2 xf x xe?? ?，(1) 0f ?，则
21 112 200 01 1( ) ( ) 22 2 xxf x dx x f x x xe dx?? ? ?? ?4 4 11 3 10 01 1 1(1) ( 1)2 4 4x xf x e dx e e? ? ?? ? ? ? ?? .(10)（考线代）设二次型1 2 3( , , ) Tf x x x x Ax?的秩为1，A的各行元素之和为2，则f在正交变换x Qy?下的标准形为__________.【解析】因为A的各行元素之和为2，则1 11 2 11 1A? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，所以2? ?为矩阵A的一个特征根，
又因为二次型的秩为1，即A的秩为1，所以矩阵A的其余特征根均为0，因此f在正交变换x Qy?下的标准形为212f y? .三、解答题：11? 16小题，每小题10分，共60分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(11)(本题满分10分)设? ?f x在x a?的某邻域内可导,且? ? 0f a ?，求极限? ?? ?1lim .na nan n f x dxf a???? ?? ?? ?? ?? ??
【解析】因为? ?? ? ? ? ? ?? ?01 1lim0 1lim a xaxxa x f t dt f axa xf ax f t dtx ef a ???? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ??
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? ? ? ? ? ?201 lim a xax f t dt xf af a xe ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?01 lim 2 2 .x f a x f a f af a x f ae e?? ?? ?? ?令1 ,x n?有? ?? ? ? ?? ? 11 0 1lim limn xa xa n aan x f t dtn f x dx xf a f a? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???? ?? ?2 .f af ae ??(12)(本题满分10分)已知函数( , )f u v具有连续的二阶偏导数，(1,1) 2f ?是( , )f u v的极值，2 2[ , ( , )]z f x y f x y? ?，
求2 (1,1)zx y?? ? .【解析】因为(1,1) 2f ?是( , )f u v的极值，所以1 2(1,1) (1,1) 0f f? ?? ?，又因为函数( , )f u v具有连续的二阶偏导数，2 2[ , ( , )]z f x y f x y? ?，所以2 2 2 21 2 1[ , ( , )] 2 [ , ( , )] ( , )z f x y f x y x f x y f x y f x yx? ? ? ?? ? ? ? ? ??，2 2 2 2 211 12 2{ [ , ( , )] 2 [ , ( , )] ( , )} 2z f x y f x y y f x y f x y f x y xx y? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 221 22 2 1{ [ , ( , )] 2 [ , ( , )] ( , )} ( , )f x y f x y y f x y f x y f x y f x y?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 22 12[ , ( , )] ( , )f x y f x y f x y? ??? ? ?，2 11 12 2(1,1) { [2, (1,1)] 2 [2, (1,1)] (1,1)} 2z f f f f fx y? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ? 21 22 2 1 2 12{ [2, (1,1)] 2 [2, (1,1)] (1,1)} (1,1) [2, (1,1)] (1,1)f f f f f f f f f?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?11 2 124 (2,2) (2,2) (1,1)f f f?? ? ??? ? ? .(13)(本题满分10分)设函数( )f x在( , )?? ??内具有一阶连续导数，L是上半平面（0y ?）内的有向分段光滑曲线，其起
点为( , )a b，终点为( , )c d，记2 221[1 ( )] [ ( ) 1]L xI y f xy dx y f xy dyy y? ? ? ?? .（1）证明曲线积分I与路径L无关；
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（2）当ab cd?时，求I的值.【解析】（I）由已知有：21( , ) [1 ( )]P x y y f xyy? ?，22( , ) [ ( ) 1]xQ x y y f xyy? ?，则2 21( ( ) ) ( ) ( )Q xxf xy f xy xyf xyx x y y? ? ?? ? ? ? ?? ?，21 1( ( )) ( ) ( )P yf xy f xy xyf xyy y y y? ? ?? ? ?? ? ?? ?，于是( , )P x y，( , )Q x y满足：在0y ?时，Qx??，Py??连续，且Q Px y? ??? ?，所以曲线积分I与曲线L路
径无关；（II）由于曲线积分与路径无关，取L为从( , )a b到( , )c d的折线段，于是( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 1( , ) ( , ) [ ( )] [ ( ) ]c b c d c da b c b a b cI P x b dx Q c y dy bf xb dx cf cy dyb y? ? ? ? ? ?? ? ? ?( ) ( ) dcb cdab bc bc a c c a c c c af t dt f t dtb y b d b d b? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? .(14)(本题满分10分)讨论方程23( ) 2x a a? ? ?的实根个数，其中a为常数，并指出根所在的区间.
【解析】设23( ) ( ) 2 , ( , )f x x a a x? ? ? ? ? ?? ??，则32 1( ) 3f x x a? ? ? ?，显然( )f x无驻点，但当x a?时，( )f x?不存在，而当( , )x a? ??时，( ) 0f x? ?，当( , )x a? ??时，( ) 0f x? ?，所以( ) 2f a a?? ?是( )f x的极小值也是最小值，则当2a??时，( ) 0f a ?，此时( )f x无零点，原方程无实根；当2a ??时，( ) 0f a ?，此时( )f x有唯一零点，原方程有唯一实根x a?；
当2a ??时，( ) 0f a ?，而lim ( ) lim ( )x xf x f x??? ???? ???，由零点定理可知，( )f x在( , )a??与( , )a ??内各有一个零点，
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故此时原方程有两个实根，且分别位于区间( , )a??与( , )a ?? .(15)(本题满分10分)设函数( )f t在区间[0, )??上连续，且满足方程29 2 21( ) ( )3t Df t e f x y dxdy?? ? ???，其中2 2 2{( , ) 9 }D x y x y t? ? ?，求( )f t .【解析】由已知可得
29 2 21( ) ( )3t Df t e f x y dxdy?? ? ??? 2 22 3 39 90 0 01 1( ) 2 ( )3 3t tt te d f r rdr e f r rdr?? ?? ?? ? ? ?? ? ?，所以有(0) 1f ?，上式两边同时对t求导可得：29( ) 18 2 ( ) 3 3tf t t e f t t?? ?? ? ? ? ? ? ?，即29( ) 18 ( ) 18 tf t t f t t e ?? ?? ? ? ? ?，解方程可得2 218 189 9 2( ) ( 18 ) (9 )tdt tdtt tf t e t e e dt C e t C? ?? ?? ??? ?? ? ? ? ? ??，又由(0) 1f ?求得：1C ?，
所以29 2( ) (9 1)tf t e t? ?? ? .(16)（不考线代）(本题满分10分)设有级数212 (2 )!nn xn????，(I)求此级数的收敛域；(II)证明此级数的和函数( )y x满足微分方程1y y??? ??；(III)求微分方程1y y??? ??的通解，并由此确定该级数的和函数( )y x .
【解析】(I)由2 2 21 2( ) (2 2)!lim lim lim 0( ) (2 2)(2 1)(2 )!nn nn n nn xu x xnxu x n nn???? ?? ???? ? ?? ?，所以此级数的收敛域为( , )?? ??；(II)由已知21( ) 2 (2 )!nn xy x n??? ??，2 11( ) (2 1)!nn xy x n ???? ? ??，2 21( ) (2 2)!nn xy x n ????? ? ??，
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所以2 2 21 12(2 2)! (2 )!n nn nx xy y n n?? ?? ???? ? ? ??? ? 2 4 6 2 4 61 2 12! 4! 6! 2! 4! 6!x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?，故，题设得证；(III)求2 1 0r ? ?的特征根为1 21, 1r r? ??，则方程0y y??? ?的通解为1 1 2( ) x xy x C e C e?? ?，1 2,C C为任意常数，设微分方程1y y??? ??的特解为( )y x b?，代入原方程得1b?，所以原方程的通解为1 2( ) 1x xy x C e C e?? ? ?，
又由(II)可知(0) 2, (0) 0y y?? ?，代入整理得1 2 12C C? ?，故1 1( ) 12 2x xy x e e?? ? ?即为所求.(16)（考线代）(本题满分10分)已知线性方程组1 2 31 2 3
1 2 32 32 ( 4) 5 62 3x x xx a x xx x ax? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???有无穷多解，而A是某个3阶矩阵，1 (1,2 , 1)Ta? ? ?，2 ( , 1, 2)Ta a a? ? ? ?，3 ( 2, 1, 1)Ta a? ? ? ? ?分别是A属于特征值1, 1,0?的三个特征向量.求矩阵A.【解析】记方程组的系数矩阵为B，增广矩阵为B，用初等行变换化为阶梯形1 2 1 3 1 2 1 3( , ) 2 4 5 6 0 3 01 2 3 0 0 1 0B B b a aa a? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，当方程组有无穷多解，则有( ) ( ) 2 3r B r B? ? ?，所以1a ?或0a?，
当1a ?时，进一步有1 2 1 30 1 3 00 0 0 0B ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?，此时，1 2 3(1,2, 1) , (1,2, 1) , ( 1, 1,2)T T T? ? ?? ? ? ? ? ? ?，则1 2? ??，显然1 2 3, ,? ? ?线性相关，但由已知
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可得1 2 3, ,? ? ?线性无关(属于不同特征根的特征向量线性无关)，矛盾，故1a ?舍去.当0a?时，进一步有1 2 1 3 1 2 1 30 0 3 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 0B ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?，此时，1 2 3(1,0, 1) , (0,1, 2) , ( 2, 1,1)T T T? ? ?? ? ? ? ? ? ?线性无关，满足题意.令1 2 3 1 0 2( , , ) 0 1 11 2 1P ? ? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?，所以1 1 4 23 3 31 1 13 3 31 2 13 3 3P? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?，
由上述及题设有1 1 1 0P AP? ? ?? ???? ?? ?? ?? ?，所以1A P P?? ?，即1 1 4 2 1 4 23 3 3 3 3 31 0 2 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 3 3 3 3 3 31 2 1 0 1 2 1 1 2 03 3 3A P P? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? .
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