1、已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120 C?的物体在20 C?的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30 C?，若要将该物体的温度继续降至21 C?，还需冷却多长时间？【分析】本题考查微分方程的物理应用.【答案解析】设t时刻物体温度为( )x t，比例常数为( 0)k ?，介质温度为m，则( )dx k x mdt ?? ?，从而( ) ktx t Ce m?? ?，(0) 120, 20x m? ?，所以100C ?，即( ) 100 20ktx t e?? ?，又1( ) 30,2x ?所以2ln10k ?，所以11( ) 20100tx t ?? ?，当21x?时，t ?１，所以还需要冷却30min.
2、有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(( ?? yyx ?绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m .根据设计要求，根据设计要求，当以min/3 3m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m?的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y?之间的关系式；(2)求曲线)(yx ??的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】液面的面积将以min/2m?的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：t?? ?22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与)(y?之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.
【答案解析】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为ty ???? ??4)(2，从而.4)(2 ?? yt ?(2)液面的高度为y时，液体的体积为.12)(33)(0 22 ???? ytduuy ???上式两边对y求导，得)()(6)(2 yyy ???? ??，即).(6)( yy ??? ??解此微分方程，得yCey 6)( ?? ?，其中C为任意常数，由2)0( ??知2C?，故所求曲线方程为62 yx e?? .3、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700 /km h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总
阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.6 6??k问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【评注】kg表示千克，/km h表示千米/小时.【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可.【答案解析】解法一：由题设，飞机的质量9000m kg?，着陆时的水平速度hkmv /7000 ? .从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为( )x t，速度为( )v t .
根据牛顿第二定律，得kvdtdvm ?? .又dxdvvdtdxdxdvdtdv ???，由以上两式得dvkmdx ??，积分得.)( Cvkmtx ???由于0)0(,)0( 0 ?? xvv，故得0vkmC ?，从而)).(()( 0 tvvkmtx ??当0)( ?tv时，).(05.1100.6 7009000)( 60 kmkmvtx ?????所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.
解法二：根据牛顿第二定律，得kvdtdvm ??，所以.dtmkvdv ??两端积分得通解tmkCev ??，代入初始条件00tv v? ?，解得0vC ?，故.)( 0 tmkevtv ??飞机滑行的最长距离为).(05.1)( 0000 kmkmvekmvdttvx tmk ????? ??????或由tmkevdtdx ?? 0，知)1()( 00 0 ???? ??? tmkt tmk emkvdtevtx，故最长距离为当??t时，).(05.1)( 0 kmmkvtx ??
解法三：根据牛顿第二定律，得dtdxkdt xdm ??22，所以022 ?? dtdxmkdt xd，其特征方程为02 ?? ?? mk，解之得mk??? 21 ,0 ??，故.21 tmkeCCx ???由002000 ,0 vemkCdtdxvx ttmkttt ????? ?????，得,021 kmvCC ???于是).1()( 0 tmkekmvtx ???当???t时，).(05.1)( 0 kmkmvtx ??
所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.【评注】本题求飞机滑行的最长距离，可理解为???t或0)( ?tv的极限值，这种条件应引起注意.
121? 1? 112O y x2 2 2x y y? ?2 2 1x y? ?4、一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2 2 12 ( )2x y y y? ? ?与2 2 11( )2x y y? ? ?连接而成的．(I)求容器的容积；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为2/gm s，水的密度为3 310 /kg m )．【分析】本题考查定积分的物理应用.【答案解析】(I)如图：容器的容积即旋转体体积分为两部分1 2V V V? ? ? ? ? ?12 2 221 12 2 1y y dy y dy? ? ?? ? ? ?? ?232 123yy?? ?? ?? ?? ? + 13 213yy? ?? ??? ?? ? ?? 15 34? ?? ?? ?? ? ? 94?．(II)所做的功为2 2(2 )(1 ) (2 )(2 )dw g y y dy g y y y dy?? ??? ? ? ? ? ?1 22 22 11 2(2 )(1 ) (2 )(2 )w g y y dy g y y y dy?? ???? ? ? ? ? ?? ?1 23 2 3 22 11 2( 2 2) 4 4 )g y y y dy y y y dy?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?
1 1 1 2 24 3 2 2 312 2 2 222 11 1 1 21 1 1 2 22 42 24 3 2 4 3y y y y yg y y?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?327 10 33758 g g? ??? ?．5、有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(( ?? yyx ?绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m .根据设计要求，根据设计要求，当以min/3 3m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m?的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1)根据t时刻液面的面积，写出t与)(y?之间的关系式；(2)求曲线)(yx ??的方程.
(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】液面的面积将以min/2m?的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：t?? ?22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与)(y?之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【答案解析】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为ty ???? ??4)(2，从而.4)(2 ?? yt ?
(2)液面的高度为y时，液体的体积为.12)(33)(0 22 ???? ytduuy ???上式两边对y求导，得)()(6)(2 yyy ???? ??，即).(6)( yy ??? ??解此微分方程，得yCey 6)( ?? ?，其中C为任意常数，由2)0( ??知2C?，故所求曲线方程为62 yx e?? .6、某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为, 0k k ? ).汽锤第一次击打将桩打进地下am .根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(0 1)r r? ? .问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？
(注：m表示长度单位米.)【分析】本题考查用定积分的物理应用以及数列极限的计算.【答案解析】本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.(1)设第n次击打后，桩被打进地下nx，第n次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( ??nWn .由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以22101 221 akxkkxdxW x ????，).(2)(2 22221222 21 axkxxkkxdxW xx ??????由12 rWW ?可得2222 raax ??，即.)1( 222 arx ?? ].)1([2)(2 22322233
32 arxkxxkkxdxW xx ???????由1223 WrrWW ??可得22223 )1( ararx ???，从而arrx 23 1 ???，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下amrr 21 ?? .(2)由归纳法，设arrrx nn 121 ?????? ?，则)(2 22 11 1 nnxxn xxkkxdxW nn ??? ?? ? ? ? ].)1([2 212 1 arrxk nn ?? ???? ?由于1121 WrWrrWW nnnn ???? ?? ?，故得2212 1 )1( ararrx nnn ????? ?? ? ,从而.111 11 arrarrx nnn ??????? ?? ?
于是arxnn ????? 11lim 1，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下ar?11 m.
傅里叶级数(1)周期为2l的傅里叶级数设函数)(xf是周期为2l的周期函数，且在[ , ]l l?上可积，则称1 ( )cos ( 0,1,2, )ln l na f x xdx nl l??? ?? ?? ? ,1 ( )sin )ln l nb f x xdx nl l??? ??? ???????? ?为)(xf的傅里叶系数；称级数0 1( cos sin )2 n nna n na x b xl l? ???? ??为)(xf的傅里叶级数，记作
0 1( ) ( cos sin )2 n nna n nf x a x b xl l? ???? ???．(2)收敛定理设)(xf是周期为2l的周期函数，如果它满足：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点．则)(xf的傅立叶级数收敛，并且当x是)(xf的连续点时，级数收敛于)(xf；当x是)(xf的间断点时，级数收敛于? ?)0()0(21 ??? xfxf．(3)正弦级数和余弦级数( )f x在[ , ]l l?上是可积奇函数，则称其傅里叶级数为正弦级数1( ) sin .nn n xf x b l?????( )f x在[ , ]l l?上是可积偶函数，则称其傅里叶级数为余弦级数0 1( ) cos .2 nna n xf x a l??????(4)定义在[0, ]l上的函数的傅里叶级数展开
要先对)(xf进行奇(或偶)延拓，再周期延拓可将)(xf展开成正弦级数(或余弦级数)．1)正弦级数展开1( )~ sinnn nf x b xl????，[0, ]x l?，其中02 ( )sinln nb f x xdxl l?? ?，( 1,2,...)n?2)余弦级数展开0 1( ) cos , [0, ]2 nna nf x a x x ll???? ???，其中02 ( )cos ,( 0,1,2,...)ln na f x xdx nl l?? ??【题型点拔】对于傅里叶级数，主要考查以下三个方面的内容．【点拨一】求函数( )f x的傅里叶级数与傅里叶系数，先确定( )f x的周期2l，利用公式求出傅里叶系数．11
111 ( )cos ( 0,1,2, )1 ( )sin ( 0,1,2, )nn n xa f x dx nl ln xb f x dx nl l????? ?? ??? ??再由傅里叶系数得到傅里叶级数：0 1( )~ ( cos sin )2 n nna n x n xf x a bl l? ???? ??．【点拨二】求傅里叶级数的和．这类问题主要考查傅里叶级数的收敛定理，即狄利克雷定理，设( )f x在[ , ]l l?上满足狄利克雷定理的条件，则( )f x的以2l为周期的傅里叶级数0 1( )~ ( cos sin )2 n nna n x n xf x a bl l? ???? ??的和函数为：( ), ( ) , ( , )1( ) [ ( 0) ( 0)], ( ) , ( , )21[ ( 0) ( 0)],2f x x f x x l lS x f x f x x f x x l lf l f l x l? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????为的连续点为的间断点
.【点拨三】求函数( )f x的傅里叶级数展开式．
设( )f x在[ , ]l l?上有定义，且满足狄利克雷定理的条件．(1)若( )f x在( , )l l?内连续，则有：0 1( ) ( cos sin ),( )2 n nna n x n xf x a b l x ll l? ???? ? ? ? ? ??；(2)若( )f x在[ , ]l l?上连续，且( ) ( )f l f l? ?，则有：0 1( ) ( cos sin ),( )2 n nna n x n xf x a b l x ll l? ???? ? ? ? ? ??．除以上三个方面的内容外，本部分还会考查将函数( )f x展开成正弦级数或余弦级数的方法．【例1】设101( ) , 2 ( )sin ( 1,2, )2 nf x x b f x n xdx n?? ? ? ?? ?．令1( ) sinnns x b n x??? ??，则9( )4s ? ?( )
(A) 34 (B) 14 (C) 14? (D) 34?【解析】答案为(C)因为1 1, 0,2 21( )= =2 1 1, ,12 2x xf x x x x? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ?? ? ??，将( )f x作奇延拓，得周期函数( )F x，周期2T ?．则( )F x在点9= 4x ?处连续，从而9 9 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 4 4s F F F f? ? ? ? ? ?? ?? ??，故选(C)．【例2】设函数( ) sin ( )f x x x x? ?? ? ? ? ?的傅里叶级数展开式为0 1( cos sin )2 n nna a nx b nx??? ??，
则其中系数3a ?．【解析】直接代入公式可得：? ?3 01 2 4= cos3 cos3 9a f x xdx x xdx? ??? ? ?? ? ??? ?．【例3】设)(cos02 ?? ??????? xnxax n n，则2a ?．【解析】根据余弦级数的定义，有xdxxdxxa 2sin12cos2 0 20 22 ?? ??? ?? ?? ? ? ?? ??? 002 ]22sin2sin[1 xdxxxx? ?? ?? ??? ?? 000 ]2cos2cos[12cos1 xdxxxxxd 1?．
【例4】设, 0( ) 1,0xe xf x x? ?? ? ? ??? ? ??则其以2?为周期的傅里叶级数在x ??处收敛于，在2x ??处收敛于．【解析】根据狄利克雷定理可知，( )f x的以2?为周期的傅里叶级数在x ??处收敛于
? ? ? ?0 0 1( )= 2 2f f eS ?? ?? ?? ? ? ??；( )f x的以2?为周期的傅里叶级数在2x ??处收敛于(0 0) (0 0) 1 1(2 ) (0) 12 2f fS S? ? ? ? ?? ? ? ?．【例5】设21, 0( ) 1 ,0 xf x x x? ?? ? ? ???? ? ? ??，则其以2?为周期的傅里叶级数在点x ??处收敛于_______．【解析】由狄利克雷定理可得，傅里叶级数在x ??处收敛于2 21 1 1[ ( 0) ( 0)] [ 1 1 ]2 2 2f f? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?．
【例6】将函数2( ) 1 (0 )f x x x ?? ? ? ?展开成余弦级数，并求级数11 ( 1)nn n ??? ??的和．【解析】将( )f x作偶周期延拓，则有0, 1,2,nb n? ? ?．220 02 (1 ) 2 1 3a x dx? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ??．02 ( )cosna f x nxdx??? ? 20 0 02 cos cosnxdx x nxdx ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?220 00 02 2 sin 2 sin0 cos x nx x nxx nxdx dxn n??? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?1 12 22 2 ( 1) 4 ( 1)n nn n?? ? ?? ? ?? ? ?．
所以2 12 0 21 1 ( 1)( ) 1 cos 1 4 cos ,02 3 nnn naf x x a nx nx xn? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?．令0x?，有2 121 ( 1)(0) 1 43 nnf n? ??? ?? ? ? ?，又(0) 1f ?，所以1 221 ( 1) 12nn n ???? ? ??．【例7】将函数? ? 2 ( 1 1)f x x x? ? ? ? ?展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数21 1n n???的和．【解析】按傅里叶级数公式，先求( )f x的傅里叶系数na与nb .因( )f x为偶函数，所以1 ( )sin 0 ( 1,2,3, )ln l nb f x xdx nl l??? ? ??? ?? ?
01 2( )cos ( )cosl ln l n na f x xdx f x xdxl l l l? ??? ?? ?
1 1 10 0 022 (2 )cos 4 cos sinx n xdx n xdx xd n xn? ? ??? ? ? ?? ? ?1 2 202 2(cos 1)sin ( 1,2,3, )nn xdx nn n ??? ? ??? ? ???? ?? ?10 02 (2 ) 5a x dx? ? ??因为( ) 2 | |f x x? ?在区间( 1 1)x? ? ?上满足狄利克雷收敛定理的条件，所以0 1( ) 2 | | cos sin2 n nna n nf x x a x b xl l? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ??2 215 2(cos 1)cos2 n n n xn ? ???? ?? ??2 215 4 1 cos(2 1) ( 1 1)2 (2 1)n n x xn ?? ??? ? ? ????? ? ? ???
令0x?，有2 215 4 1(0) 2 0 cos02 (2 1)nf n? ??? ? ? ? ??所以，221 1(2 1) 8n n ??? ???，又2 2 2 2 21 1 1 11 1 1 1 1 1(2 1) (2 ) (2 1) 4n n n nn n n n n? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?所以，2213 14 8n n ??? ??，即221 1 6n n ??? ?? .【例8】设( )f x在[ , ]? ??上可积，nn ba ,为( )f x的傅里叶系数，试证：? ? ? ?? ?? ???? Nn nn dxxfbaa 1 22220 12 ??? .
【解析】只需证明对任意正整数N都有? ? ? ?? ?? ???? Nn nn dxxfbaa 1 22220 12 ???．令? ? ? ??? ??? Nn nnN nxbnxaaxS 10 sincos2，则有：? ? ? ?? ? ? ??? ?? ??? ???? dxxfdxxSxf N 220 ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ?? ?? dxxSdxxSxf NN 22? ? ? ? ? ??????? ????????? ???? ??? ??? Nn nnNn nn baabaadxxf 1 22201 22202 222 ????．? ? ? ?? ?? ????? Nn nn dxxfbaa 1 22220 12 ???．
|
|
