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微积分预备知识一、多项式分解1. 2 2 2( ) 2a b a ab b? ? ? ?2. 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b? ? ? ? ?3. 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b? ? ? ? ?4. 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b? ? ? ? ?5. 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b? ? ? ? ?6. 1 2 2 1( )( )n n n n n na b a b a a b ab b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??（ n 为 正 整 数 ）
7. 1 2 3 2 2 1( )( )n n n n n n na b a b a a b a b ab b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??（ n 为 正 偶 数 ）8. 1 2 3 2 2 1( )( )n n n n n n na b a b a a b a b ab b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??（ n 为 正 奇 数 ）二、常用不等式1. 绝 对 值 不 等 式 ： a b a b a b? ? ? ? ?2. 均 值 不 等 式 ： 调 和 平 均 数 ≤几 何 平 均 数 ≤算 术 平 均 数即 ： 1 21 21 2 + +1 1 1+ nn nn x x xn x x x nx x x ?? ?? ????其 中 ： 0( 1,2, , )ix i n? ??
3. 1 ( 0)xe x x? ? ?4. sin ( 0)x x x? ? ； 特 殊 地 有 ： 0 sin tan (0, )2x x x x ?? ? ? ? .三、对数1. logNaa N? ； ln lnb aa b? （ 其 中 , 0a b? ）2. log log logMN M Na a a? ?3. log log logM M NNa a a? ?4. 1log logba ab?
， log lognmb baa nm?四、数列1.等差数列1) 通 项 公 式 ： 1 ( 1) ( )n ma a n d a n m d? ? ? ? ? ?
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2) 前 n 项 和 ： 1 1 ( 1)( )2 2n nn n n dS a a na ?? ? ? ?2.等比数列1) 通 项 公 式 ： 11 nna aq ??2) 前 n 项 和 ： 11(1 ), 11, 1nn a q qS qna q? ? ??? ??? ??3) 无 穷 项 和 ： 1lim ( 1)1nn aS S qq??? ? ??3.常用数列前n项和公式
1) ( 1)1 2 2n nn ?? ? ? ??2) 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 6n n nn ? ?? ? ? ??3) 2 23 3 3 2 ( 1)1 2 =(1 2 ) 4n nn n ?? ? ? ? ? ? ???4.排列与组合1) 排 列 （ 有 序 ） !( 1) ( 1) ( )!m mn n nA P n n n m n m? ? ? ? ? ? ??
2) 组 合 （ 无 序 ） ( 1) ( 1) !! ! ( )! !mm n m nn nn A n n n m nC Cm m m n m m?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ??3) 二 项 式 定 理 ： 0( ) ( )nn k n k knka b C a b n N??? ? ??五、根与系数关系1.一元二次方程2 0 ( 0)ax bx c a? ? ? ?1 2 1 2,b cx x x xa a? ?? ?2.一元三次方程3 2 0 ( 0)ax bx cx d a? ? ? ? ?
1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3,b c dx x x x x x x x x x x xa a a? ? ?? ? ? ? ??，
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六、三角函数1.三角函数的基本关系式1) 倒 数 关 系 ： 1cscsin ?? ?? ， 1seccos ?? ?? ， 1cottan ?? ?? ．2) 商 的 关 系 ：??? cossintan ? ， ??? sincoscot ? ．3) 平 方 关 系 ： 1cossin 22 ?? ?? ， ?? 22 sectan1 ?? ， ?? 22 csccot1 ?? ．
2.和角公式和差角公式1) ?????? sincoscossin)sin( ?????2) ?????? sincoscossin)sin( ?????3) ?????? sinsincoscos)cos( ?????4) ?????? sinsincoscos)cos( ?????5) ?? ???? tantan1 tantan)tan( ?? ???6) ?? ???? tantan1 tantan)tan( ?? ???3.二倍角公式
1) ??? cossin22sin ?2) ????? 2222 sin211cos2sincos2cos ??????3) ??? 2tan1 tan22tan ??4) 21 sin2 (sin cos )? ? ?? ? ?4.半角公式2 2cos1cos2 ?? ?? ， 2 1 cos2sin 2 ?? ?? ， ????? 2cos1 2sin2sin 2cos1tan ???? ．5.万能公式???
2tan1 tan22sin ?? ， ??? 22tan1 tan12cos ??? ， ??? 2tan1 tan22tan ?? ．
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6.和差化积公式1) 2cos2sin2sinsin ?????? ????2) 2sin2cos2sinsin ?????? ????3) 2cos2cos2coscos ?????? ????4) 2sin2sin2coscos ?????? ?????7.积化和差公式
1) ? ?)sin()sin(21cossin ?????? ?????2) ? ?)sin()sin(21sincos ?????? ?????3) ? ?)cos()cos(21coscos ?????? ?????4) ? ?)cos()cos(21sinsin ?????? ??????8.辅助角公式)sin(cossin 22 ????? xbaxbxa 其 中 ： 角 ?的 终 边 所 在 的 象 限 与 点 ),( ba 所 在 的 象 限 相 同 ，
22sin ba b??? ， 22cos ba a??? ， ab??tan ．9.正弦定理RCcBbAa 2sinsinsin ??? （ R为 ABC? 外 接 圆 半 径 ）10.余弦定理1) Abccba cos2222 ????2) Baccab cos2222 ????3) Cabbac cos2222 ????11.三角形面积公式
1) 12ABCS? ?? ?底 高2) 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C bc A ac B? ? ? ? （ 两 边 一 夹 角 ）
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3) 海 伦 公 式 ： ))()(( cpbpappS ABC ????? ， 其 中 ： 2 cbap ??? ， , ,a b c为 三 角 形 的 各 边 长 .4) RabcS ABC 4?? （ R 为 ABC? 外 接 圆 半 径 ）5) rcbaS ABC ????? 2 （ r 为 ABC? 内 切 圆 半 径 ）七、初等几何1.圆1) 方 程 ： 2 2 2 ( 0)x y R R? ? ?
2) 周 长 ： 2l R??3) 面 积 ： 2S R??4) 弧 长 ： l R?? ， 其 中 ? 为 圆 心 角 ， R 为 半 径5) 扇 形 面 积 ： 21 12 2S lR R?? ?2.椭圆1) 方 程 ： 2 22 2 1( , 0, )x y a b a ba b? ? ? ?且2) 面 积 ： S ab??3.双曲线
方 程 ： 2 22 2 1( 0)x y aba b? ?? ?4.抛物线方 程 ： 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?对 称 轴 ： 2bx a??顶 点 ： 24,2 4b ac ba a? ???? ?? ?5.圆柱体
设 R为 底 面 圆 半 径 ， H 为 高1) 侧 面 积 ： 2S RH??2) 全 面 积 ： 2 ( )S R H R?? ?3) 体 积 ： 2V R H??
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6.圆锥体设 R为 底 面 圆 半 径 ， H 为 高 ， 母 线 2 2l R H? ?1) 侧 面 积 ： S Rl??2) 全 面 积 ： ( )S R l R?? ?3) 体 积 ： 213V R H??7.圆台设 1 2R R, 为 上 、 下 底 面 圆 半 径 ， H 为 高
1) 侧 面 积 ： 1 2( + )S R R l??2) 全 面 积 ： 1 1 2 2( ) ( )S R l R R l R? ?? ? ? ?3) 体 积 ： 22 21 2 11 ( )3V H R R RR?? ? ? 其 中 ： 2 21 2( )l R R H? ? ?8.球设 R为 球 体 的 半 径1) 全 面 积 ： 24S R??2) 体 积 ： 343V R??
9.棱柱与棱锥设 S 为 底 面 积 ， H 为 高1) 棱 柱 体 积 ： V SH?2) 棱 锥 体 积 ： 13V SH?10.长方体设 长 方 体 三 条 棱 长 分 别 为 , ,a b c， 则 有 ：1) 对 角 线 ： 2 2 2l a b c? ? ? ；2) 表 面 积 ： 2 2 2S ab ac bc? ? ? ；
3) 体 积 ： V abc? .11.正方体设 正 方 体 的 边 长 为 a ， 则 有 ：1) 对 角 线 ： 3l a? ；2) 表 面 积 ： 26S a? ；
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3) 体 积 ： 3V a? .12.两点间的距离公式设 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 则 ,A B两 点 间 的 距 离 为 ： 2 22 1 2 1( ) ( )AB x x y y? ? ? ?13.点到直线的距离公式直 线 外 一 点 0 0( , )P x y 到 直 线 0Ax By C? ? ? 的 距 离 为 ： 0 02 2Ax By Cd A B? ?? ?14.直线到直线的距离公式（两平行直线）
直 线 1 0Ax By C? ? ? 到 直 线 2 0Ax By C? ? ? 的 距 离 为 ： 1 22 2C Cd A B?? ?八、数学归纳法1.第一数学归纳法一 般 地 ， 证 明 一 个 与 自 然 数 n有 关 的 命 题 ( )P n ， 有 如 下 步 骤 ：1） 证 明 当 n取 第 一 个 值 0n 时 命 题 成 立 ． 0n 对 于 一 般 数 列 取 值 为 0 或 1， 但 也 有 特 殊 情 况 ；2） 假 设 当 n k? （ 0k n? ， k 为 自 然 数 ） 时 命 题 成 立 ， 证 明 当 1n k? ? 时 命 题 也 成 立 ．综 合 1） 2） ， 对 一 切 自 然 数 n（ 0n? ） ， 命 题 ( )P n 都 成 立 ．2.第二数学归纳法
对 于 某 个 与 自 然 数 有 关 的 命 题 ( )P n ，1） 验 证 0 1,n n n n? ? 时 命 题 ( )P n 成 立 ；2） 假 设 n k? 时 命 题 成 立 ， 并 在 此 基 础 上 ， 推 出 1n k? ? 命 题 也 成 立 ．综 合 1） 2） ， 对 一 切 自 然 数 n（ 0n? ） ， 命 题 ( )P n 都 成 立 ．
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