1 / 10
高数单元测试3答案：微分中值定理与导数的应用
测试时间：180分钟，满分150分
一、选择题：115小题，每小题4分，共60分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目
要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．
指定位置上.
（1）设，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
【解析】，
其中介于与之间（当时）
（2）设函数()f x可导，且() () 0fxf x
′ >
，则（ ）
(A) () ( )11ff>? (B) () ( )11ff? (D) () ()11ff
【答案】(C)
【解析】法一：令
2
() ()Fx f x=，则
() 2 () () 0Fx fxfx′′=>，故()Fx单调递增，故(1) ( 1)FF>?，
即
22
(1) ( 1)ff>?，则有
(1) ( 1)ff>?，故选C。
【法二】举特例，设() ,
x
f xe=可排除（B）（D）：设() ,
x
f xe=?可排除（A），故选C。
（3）设函数在区间上可导，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】（B）
【解析】法一：令，可排除（A）、（C）、（D）；
【法二】构造辅助函数，
由题知，，从而单增，因此，可得.故选（B）.
（4）设函数，则是的（ ）
(A) 可导点，极值点 (B)不可导点，极值点
(C) 可导点，非极值点 (D)不可导点，非极值点
【答案】B
?
()
lim
xa
fx a
b
xa
→
?
=
?
sin ( ) sin
lim
xa
f xa
xa
→
?
=
?
sinba cosba sin ( )bfa cos ( )bfa
sin ( ) sin cos [ ( ) ]
lim lim cos
xa xa
fx a fx a
ba
xa xa
ξ
→→
??
==
ξ ()f x
a x a→
()f xa→
()f x [2,2]? () () 0fx fx′ >>
(2)
1
(1)
f
f
?
>
?
(0)
(1)
f
e
f
>
?
2
(1)
(1)
f
e
f
<
?
3
(2)
(1)
f
e
f
<
?
2
()
x
f xe=
()
()
x
f x
Fx
e
=
2
() () () ()
()
xx
f xe f xe f x f x
Fx
ee
′′??
′ ==
() 0Fx′ > ()Fx (0) ( 1)FF>?
(0)
(1)
f
e
f
>
?
,0
()
ln , 0
xx x
fx
xxx
? ≤
=
?
>
?
0x =
()f x
2 / 10
【解析】由定义可得；
，故不存在；
另外直接对求导有：，可得是的极大值点
（5）设函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
【解析】，单减区间为：，单增区间为：（单增），
由题目可得，即，所有，答案为A
（6）设函数，在处的2次泰勒多项式为，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
【解析】由已知可得，，
则由泰勒公式可得：，，故答案为（D）
（7）设函数在处的3次泰勒多项式为，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】由，
00
() (0) ln
(0) lim lim
xx
fx f x x
f
x x
++
+
→→
?
′ ===?∞
2
00
() (0)
(0) lim lim 0
xx
fx f x
f
xx
??
?
→→
??
′ ===
(0)f ′
()f x
2, 0
()
ln 1, 0
xx
fx
xx
?<
?
′ =
?
+>
?
0x = ()f x
() ( )
ln 0fx axb xa=? >
b
a
()
,e +∞
()
0,e
1
0,
e
??
??
??
1
,
e
??
+∞
??
??
()
b
fx a
x
′ =? (0, )
b
a
(, )
b
a
+∞
() 0
b
f
a
< ln( ) 0
b
bb
a
?<
b
e
a
>
() secf xx=
0x =
2
1 ax bx++
1
1
2
ab==?，
1
1
2
ab==，
1
0
2
ab==?，
1
0
2
ab==，
() sec tanf xxx′ =
23
( ) sec tan secf xxxx′′ =+
(0)
0
1
f
a
′
==
(0) 1
2! 2
f
b
′′
==
()
2
sin
1
x
fx
x
=
+
0x =
23
ax bx cx++
7
1, 0,
6
abc== =?
7
1, 0,
6
abc== =
7
1, 1,
6
abc=? =? =?
7
1, 1,
6
abc=? =? =
3
3
sin ( )
6
x
x xox=? +
24 4
2
1
1()
1
x xox
x
=? + +
+
3 / 10
得
所以，答案为（A）
（8）曲线的拐点坐标为（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】，
，
令得或，
当，；所以不是拐点；
当时，；当时，，故为拐点.
（9）已知方程有个不同的实根，则的取值范围（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】令，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
而，，，，
故若有个不同的零点，则在区间，，分别具有一个实根，
所以需满足，，解得.
（10）设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有( )
(A)一个极小值点和两个极大值点
(B)两个极小值点和一个极大值点
(C)两个极小值点和两个极大值点
(D)三个极小值点和一个极大值点
【答案】(C)
()
33
3244 3
7
[()][1 ()] ()
66
xx
f x x ox x x ox x ox=? + ?++ =? +
7
1, 0,
6
abc== =?
3
sin 2cos ( )
22
yx x x x
ππ
=+ ?<<
(,)
22
ππ
(0,2) ( , 2)π ?
33
(, )
22
ππ
?
sin cos 2sin cos sinyxxx xxxx′ =+ ? = ?
cos sin cos sinyxxxxxx′′ =? ?=?
0y′′ =
0x =
x π=
(0, )xU δ∈
?
0y′′ < (0,2)
x π> 0y′′ > x π< 0y′′ < (,2)π ?
5
50xxk?+= 3 k
(,4)?∞ ? (4, )+∞ {4,4}? (4,4)?
5
() 5f xx xk=?+
4
() 5 5 0fx x′ =?= 1x =±
(,1)?∞ ? () 0fx′ >
()f x
(1,1)?
() 0fx′ <
()f x
(1, )+∞ () 0fx′ > ()f x
()f ?∞ = ?∞ (1) 4f k?=+ (1) 4f k=? + ()f +∞ = +∞
()f x 3 (,1)?∞ ? (1,1)? (1, )+∞
(1) 0f ?> (1) 0f < (4,4)k ∈?
()f x ),( +∞?∞ ()f x
4 / 10
【详解】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共个，是极大
值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有个，而则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的
点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在左侧一阶导数为正，
右侧一阶导数为负，可见为极大值点，故共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).
（11）曲线的拐点是（ ）
(A)(1, 0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(4,0)
【答案】(C)
【详解】由
可知分别是的一、二、三、四重根，
故由导数与原函数之间的关系可知，，，
，，故(3,0)是一拐点.
【法二】本题也可以用穿针引线法画图得到答案C
（12）设函数具有二阶导数，，则在区间上 ( )
(A)当时， (B)当时，
(C)当时， (D)当时，
【答案】(D)
【详解】令，则，
,.
若，则，在上为凸的.
又，所以当时，，从而.故选(D).
（13）下列曲线有渐近线的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】(C)
【详解】关于(C)选项：，又
，所以存在斜渐近线.故选(C).
（14）设，则( )．
4
30x =
0x =
0x =
()f x
()()()()
432
4321 ????= xxxxy
()()()()
432
4321 ????= xxxxy
1, 2, 3, 4
()()()()
234
12 3 40yx x x x=? ? ? ? =
(1) 0y′ ≠ (2) (3) (4) 0yyy′′′=== (2) 0y′′ ≠
(3) (4) 0yy′′ ′′== (3) 0, (4) 0yy′′′ ′′′≠=
()f x () (0)(1 ) (1)gx f x f x=?+ [0,1]
() 0fx′ ≥ () ()f xgx≥ () 0fx′ ≥ () ()f xgx≤
() 0fx′′ ≥ () ()f xgx≥ () 0fx′′ ≥ () ()f xgx≤
() () () (0)(1 ) (1) ()Fx gx fx f x f x fx=?= ?+ ? (0) (1) 0FF==
() (0) (1) ()Fx f f fx′′=? + ? () ()Fx fx′′ ′′=?
() 0fx′′ ≥ () 0Fx′′ ≤ ()Fx [0,1]
(0) (1) 0FF== [0,1]x∈ () 0Fx≥ () ()gx fx≥
sinyx x=+
2
siny xx=+
1
sinyx
x
=+
2
1
sinyx
x
=+
11
sin sin
lim lim1 lim 1 0 1
xxx
x
xx
→∞ →∞ →∞
+
=+ =+=
11
lim[ sin ] limsin 0
xx
xx
x x
→∞ →∞
+?= =
1
sinyx
x
=+
y x=
()
1
2
?
+=
x
x
xxf
5 / 10
(A) 是极值点，但不是拐点
(B) 不是极值点，但是拐点
(C) 不是极值点，但是拐点
(D) 是极值点，但不是拐点
【解析】答案为(D)
容易计算出以及，根据极值点和拐点的充分条件，
可知答案为(D)．
（15）曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】(C)
【详解】，，
，所以.故选(C).
二、填空题：16 25小题，每小题4分，共40分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
（16）曲线的渐近线方程是__________.
【答案】
【解析】，所以没有垂直渐近线.
，
0=x
(0,0)
3=x
?
?
?
?
?
?
?
?
2
33
,3
3?=x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
33
,3
3?=x
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
33
,3
()
()
()
22
2
2
3
1
xx
fx
x
?
′ =
?
()
()
()
2
3
2
23
1
xx
fx
x
+
′′ =
?
2
2
7
41
xt
yt t
? =+
?
?
=++
?
?
1t =
10
50
10
100
10 10 510
11
24
3
2
tt
dy t
dx t
==
+
22
2
1
11
2
1
2
t
tt
dy dy t
dx dx t
=
==
′ ?
== =?
33
2
22
1
(1 ) (1 )
y
k
yq
′′
==
′++
1
10 10R
k
==
?
()
1
ln 0yx e x
x
??
=+>
??
??
1
yx
e
=+
00
1
ln
lim lim
1xx
e
x
y
x
++
→→
??
+
??
??
=
()
1
ln
1
lim lim 0
t
x
tt
et
tet
=
→+∞ →+∞
+
===
+
1
lim lim ln 1
xx
y
e
→+∞ →+∞
??
=+=
??
??
6 / 10
.因此曲线有斜渐近线.
（17）曲线
2
(1 arcsin )yx
x
=+的斜渐近线方程为___________.
【答案】2yx=+
【详解】因为
2
(1 arcsin )
lim 1
x
x
x
k
x
→∞
+
==
，
22
lim (1 arcsin ) lim arcsin 2
xx
bx xx
xx
→∞ →∞
??
=+ ?= =
??
??
，
所以斜渐近线方程式为2yx=+
（18）曲线的拐点坐标为__________.
【答案】
【详解】
，时，；时，不存在，
在左右附近异号，在左右近旁，且，故曲线的拐点为.
（19）曲线上曲率为的点的坐标是________.
【答案】
【详解】将代入曲率计算公式，有
整理有，解得或，又，所以，这时，
故该点坐标为.
（20）函数在区间上的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为，令得驻点为.
又，得，
()
1
lim lim ln 1
xx
yx x e
x
→+∞ →+∞
??
??
?= + ?
????
??
??
1
lim ln ln
x
x ee
x
→+∞
? ?
??
=+?
??? ?
??
? ?
1
lim ln 1
x
x
ex
→+∞
??
=+
??
??
1
lim
x
x
ex
→+∞
=?
1
e
=
1
lnyx e
x
??
=+
??
??
1
yx
e
=+
2
3
(5)yx x=?
(1,6)??
53 23
5y xx=?
?
23 13
13
5 10 10( 2)
33 3
x
yx x
x
?
+
′ =? =
?
13 43
43
10 10 10( 1)
99 9
x
yx x
x
??
+
′′ =+=
1x =?
0y′′ =
0x =
y′′
1x =?
y′′
0x =
0y′′ > (1) 6y ?=? (1,6)??
2
(0)yx xx=+ <
2
2
()
1, 0?
21, 2yxy=+ =’” 323/2
2
2
|| 2 2
(1 ) 2
1(2 1)
y
K
y
x
′′
== =
′+
??++
??
2
(2 1) 1x += 0x = 1? 0x < 1x =?
0y =
()1, 0?
2x
y x= (0,1]
2
1
e
ye
e
?
??
=
??
??
()
2
2ln 2
x
yx x′ =+ 0y′ =
1
x
e
=
()
2
22
2
2ln 2
xx
yx x x
x
′′ =++?
2
1
1
20
e
ye
e
?+
??
′′ =>
??
??
7 / 10
故为的极小值点，此时，
又当时，；时，，故在上递减，在上递增.
而，，
所以在区间上的最小值为.
（21）___________.
【答案】
【解析】由拉格朗日中值定理可得：存在，使得，
所以原式.
（22）曲线在其拐点处的切线方程是___________.
【答案】
【解析】对导可得，令，有，故曲线的拐点为
而，所以其切线方程为，即.
（23）曲线在对应点处的曲率为___________.
【答案】
【解析】，，
所以当时，，
故.
1
x
e
=
2x
y x=
2
e
ye
?
=
1
0,x
e
??
∈
??
??
()
0yx′ <
1
,1x
e
??
∈
?
?
??
()
0yx′ > y
1
0,
e
??
??
??
1
,1
e
??
??
??
()
11y =
()
()
00
2
0
2
2ln
limlim
11
lim 2
22ln
00
0lim lim 1
xx
x
x x
x
xxx
xx
xx
yxeeee
++
→→
+
→
++
??
+
→→
== === =
2x
y x= (0,1]
2
1
e
ye
e
?
??
=
??
??
2
lim [arctan( 1) arctan ]
x
x xx
→+∞
+? =
1
(, 1)xxξ ∈+
2
1
arctan( 1) arctan
1
xx
ξ
+? =
+
2
2
lim 1
1
x
x
ξ
→+∞
==
+
2
2lny xx=+
43y x=?
2
() 2fx x
x
′ =+
2
2
() 2 0fx
x
′′ =? =
1x =
(1,1)
(1) 4f ′ = 14( 1)yx?= ? 43y x=?
3
3
cos
sin
x t
yt
? =
?
?
=
?
?
4
t
π
=
2
3
2
2
3sin cos
tan
3cos ( sin )
dy t t
t
dx t t
==?
?
22
22 4
sec 1
3cos ( sin ) 3cos sin
dy t
dx t t t t
?
==
?
4
t
π
=
2
2
42
1,
3
dy d y
dx dx
=? =
3
2
2
2
3
[1 ( ) ]
y
k
y
′′
==
′+
8 / 10
（24）设，且，则在内的符号为_______.
【答案】
【解析】，
当时，，
当时，.
所以当时，单调增加，又因，从而有时.
（25）已知函数
2
() ( 0)
1
x
fx x
x
=? <
+
，则曲线
()yfx=
的凸区间为_______.
【答案】(1,0)?
【解析】当0x <且1x ≠?时，
2
()
1
x
fx
x
=?
+
，则
2
2
2
()
(1 )
x x
fx
x
+
′ =?
+
，
3
2
()
(1 )
fx
x
′′ =?
+
①当1x
3
2
() 0
(1 )
fx
x
′′ =? >
+
，故()y fx=在(,1)?∞ ?上是凹的；
②当10x?< <时，
3
2
() 0
(1 )
fx
x
′′ =? <
+
，故()y fx=在(1,0)?上是凸的；
综上所述：曲线()y fx=的凹区间为：(,1)?∞ ?；凸区间为(1,0)?；
三、解答题：26 30小题，每小题10分，共50分.请将答案写在答题纸
．．．
指定位置上.
（26）（本题满分10分）
已知函数由方程确定，求的极值
【答案】极大值；极小值；
【解析】由两边对求导，得
从而
2
2
1
1
x
y
?
=
+
，令，得。
带入原方程可得，当时，，当时，。
又因为(1,1)x∈?；0y
′ >
，(,1)(1,)x∈?∞? +∞?；0y
′ <
，
所以极大值为(1) 1y =；极小值为(1) 0y ?=
（27）（本题满分10分）
设常数，求函数在内零点个数．
() ()
sinf xxx?=
() ()
0xx??′ +>
()
f x 0,
2
π
??
??
??
0>
() () ()sin cosf xxxxx??
′′=+
0,
4
x
π
??
∈
??
??
() () ()sin 0fx x x x??
′′>+ >??
??
,
42
x
ππ
??
∈
??
??
() () ()
cos 0fx x x x??′′>+ >??
??
0,
2
x
π
??
∈
??
??
()
f x
()
00f = 0,
2
x
π
??
∈
??
??
()
0fx>
?
()y x
33
3320xy xy+?+?= ()y x
(1) 1y = (1) 0y ?=
33
3320xy xy+?+?=
x
22
33 330xyy y′′+?+=
2
2
33
33
x
y
y
?
′ =?
+
0y′ =
1x =±
1x =
1y =
1x =?
0y =
0k > () ln
x
f xxk
e
=?+(0, )+∞
9 / 10
【解析】对函数两边对求导，得．
令，解得唯一驻点，即
所以是极大值点，也是最大值点，最大值为．
又因为，
由连续函数的介值定理知在与各有且仅有一个零点(不相同)．
故函数在内零点个数为2．
（28）（本题满分10分）
求曲线的斜渐近线方程.
【解析】，
，
故所求斜渐近线方程为.
（29）（本题满分10分）
已知，求，并求的极值。
【解析】当时，，
当时，，
() ln
x
f xxk
e
=?+
x
11
()fx
x e
′ =?
() 0fx′ = x e=
() 0,0 ; () ,
() 0, ; () ,
fx xe fx
fx ex fx
′ ><<
?
?
′ <<<+∞
?
严格单调增加
严格单调减少
x e=
() ln 0
e
fe e k k
e
=?+=>
00
lim ( ) lim(ln )
lim ( ) lim (ln )
xx
xx
x
fx x k
e
x
fx x k
e
++
→→
→+∞ →+∞
?
=?+=?∞
?
?
?
?
=?+=?∞
?
?
(0, )e (, )e +∞
() ln
x
f xxk
e
=?+(0, )+∞
1
(0)
(1 )
x
x
x
yx
x
+
=>
+
1
(1 )
1(1 )
11
lim lim lim lim(1 ) lim(1 )
(1 ) (1 ) 1 1
x
xx
x
x x
xx x x x
yx x
ke
xxx x
+
?+ ?
??+
→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
== = =? =? =
+++
1
lim( ) lim[ ] lim[ ]
1
(1 )
(1 )
x
x
xx x
x
x xx
bykx
x ee
x
+
→∞ →∞ →∞
=?= ?= ?
+
+
1
ln(1 )
22
11
(1 ) (1 )
lim lim lim [ ]
1
(1 )
xx
x
x
xxx
x
ex x ex x
x
ee
ee
e
x
+
→∞ →∞ →∞
?+ ?+
===?
+
11 11
1() ()
22
2
1
lim [ ] lim [1 ]
2
oo
xx xx
xx
ee e
e
?+ ?+
→∞ →∞
=? =? =
11
2
yx
ee
=+
2
,0
()
1, 0
x
x
xx
fx
xe x
? >
?
=
?
+≤
?
?
()f x′ ()f x
0x >
2ln 2ln 2
( ) ( ) (2ln 2) (2ln 2)
xx xx x
fx e e x x x′′== += +
0x <
() ( 1)
x xx
f xxe exe′′=+=+
10 / 10
，
，
所以不存在，
故，令，解得或，
当时，，当时，，故为极小值，；
当时，，当时，，故为极小值，；
当，；当，，故为极大值，.
（30）（本题满分10分）
设函数.
（1）证明：存在，使得；
（2）证明：存在，使得
【解析】（1）【法一】令，则，
由零点定理知，存在，使得，即；
【法二】令，则
由罗尔定理可得：至少存在一点，使得
即：，整理可得：
（2）【法一】令，则，由柯西中值定理知，存在，使得
，即，故.
【法二】令() ()ln2 (2)lnHx fx f x=?，则(1) (2) 0HH==，在区间[1, 2]使用罗尔定理可得，
存在，使得() 0H η′ =，即：
2 1
ln 2 (2)ef
η
η
=，整理可得
00
() (0) 11
(0) lim lim 1
0
x
xx
fx f xe
f
xx
??
?
→→
?+?
′ == = =
?
2
000
() (0) 1 2ln
(0) lim lim lim
0
x
xx
fx f x x x
f
xx
+++
+
→→→
??
′ == = = =?∞
?
(0)f ′
2
(2ln 2), 0
()
,0
x
xx
xxx
fx
exex
? +>
?
′ =
?
+<
?
?
() 0fx′ =
1
x
e
= 1x =?
1x
′ <
10x?< < () 0fx
′ >
1x =?
1
(1) 1f
e
?=?
1
0 x
e
<< () 0fx
′ <
1
x
e
> () 0fx
′ >
1
x
e
=
2
1
()
e
f e
e
?
=
10x?< <
() 0fx′ >
1
0 x
e
<< () 0fx
′ <
0x =
(0) 1f =
2
1
()
x
t
f xedt=
?
(1, 2)ξ ∈
2
() (2 )f e
ξ
ξξ=?
(1, 2)η ∈
2
(2) ln2f e
η
η=?
2
() () ( 2)
x
Fx fx x e=+? (1) 0Fe=? <
22
1
(2) 0
t
Fed=>
?
(1, 2)ξ ∈ () 0F ξ =
2
() (2 )f e
ξ
ξξ=?
() ( 2) ()Fx x fx=? (1) (2) 0FF==
(1, 2)ξ ∈ () 0F ξ′ =
() ( 2) () 0ffξξ ξ′+? =
2
() (2 ) () (2 )f fe
ξ
ξξξξ′=? =?
() lngx x=
1
() 0gx
x
′ =≠ (1, 2)η ∈
(2) (1) ( )
(2) (1) ( )
fff
gg g
η
η
′?
=
′?
2
(2)
1
ln 2
f e
η
η
=
2
(2) ln2f e
η
η=?
(1, 2)η ∈
2
(2) ln2f e
η
η=?
|
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