2018年全国硕士研究生入学统一考试
数学（ 二 ）试题
一、选择题： 1～ 8小题，每小题 4分，共 32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在 答题纸． ． ． 指定位置上．
（ 1） 若 212
0lim( e ) 1x xx ax bx→ + + =
， 则
（ A） 1 ,12ab= =? . （ B） 1 ,12ab=? =? .
（ C） 1,12ab==. （ D） 1 ,12ab=? = .
（ 2） 下列函数中 ， 在 0x= 处不可导的是
（ A） ( ) sinf x x x= . （ B） ( ) sinf x x x= .
（ C） ( ) cosf x x= . （ D） ( ) cosf x x= .
（ 3） 设函数 2 , 1 ,1 , 0 ,( ) ( ) , 1 0 ,
1 , 0 , , 0 .
a x xx
f x g x x xx
x b x
?????? ?
= = ? ? ???? ?
??
若 ( ) ( )f x g x+ 在 R 上连续 ，
则
（ A） 3, 1ab==. （ B） 3, 2ab==.
（ C） 3, 1ab=? = . （ D） 3, 2ab=? = .
（ 4） 设函数 ()fx在 [0,1] 上二阶可导 ， 且 1
0 ( )d =0f x x?
， 则
（ A） 当 ( ) 0fx? ? 时 ， 1( ) 02f ? . （ B） 当 ( ) 0fx?? ? 时 ， 1( ) 02f ? .
（ C） 当 ( ) 0fx? ? 时 ， 1( ) 02f ? . （ D） 当 ( ) 0fx?? ? 时 ， 1( ) 02f ? .
（ 5） 设 π 22
π 22 (1 ) d1 xMxx? += +?
， π2
π2 1 dexxNx? +=?
， π2
π2 (1 c o s )dK x x?=+?
， 则
（ A） M N K??. （ B） M K N??.
（ C） K M N??. （ D） K N M?? .
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
（ 6） 220 2 1 2
10d ( 1 ) d d ( 1 ) dxxx x y y x x y y???? ? + ? =? ? ? ?
（ A） 53 . （ B） 56 .
（ C） 73 . （ D） 76 .
（ 7） 下列矩阵中 ， 与矩阵 1 1 00 1 1
0 0 1
????
??
相似的为
（ A） 1 1 10 1 1
0 0 1
?????
??
. （ B） 1 0 10 1 1
0 0 1
?????
??
.
（ C） 1 1 10 1 0
0 0 1
?????
??
. （ D） 1 0 10 1 0
0 0 1
?????
??
.
（ 8） 设 ,AB为 n 阶矩阵 ， 记 ()rX 为矩阵 X 的秩 ， ()XY 表示分块矩阵 ， 则
（ A） ( ) ( )rr=A AB A. （ B） ( ) ( )rr=A BA A.
（ C） ( ) m a x { ( ) , ( ) }r r r=A B A B. （ D） TT( ) ( )rr=A B A B.
二、填空题： 9～ 14小题，每小题 4分，共 24分．请将答案写在 答题纸． ． ． 指定位置上．
（ 9） 2l im [ a r c ta n ( 1 ) a r c ta n ]
x x x x→ + ? + ? =
________.
（ 10） 曲线 2 2lny x x=+ 在其拐点处的切线方程是 ________.
（ 11）
25 1 d43xxx+? =?+?
________.
（ 12） 曲线 3
3
cos ,sinxtyt? =?? =
??
在 4t ?= 对应点 处 的曲率为 .
（ 13） 设函数 ( , )z z x y= 由方程 1ln ezz xy?+=确定 ， 则
1(2, )2
zx? =? .
（ 14） 设 A 为 3 阶矩阵 ， 1 2 3,,? ? ? 为线性无关的向量组 .若 1 1 2 32= + +A? ? ? ?，
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
2 2 32=+A? ? ?， 3 2 3A =? +? ? ?， 则 A 的 实 特征值为 .
三、解答题： 15～ 23小题，共 94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
案写在 答题纸． ． ． 指定位置上．
（ 15）（ 本题满分 10分 ）
求不定积分 2e arcta n e 1dxx x?? .
（ 16）（ 本题满分 10分 ）
已知连续函数 ()fx满足 2
00( ) d ( ) dxxf t t tf x t t a x+ ? =??
.
（ Ⅰ ） 求 ()fx；
（ Ⅱ ） 若 ()fx在区间 [0， 1]上的平均值为 1， 求 a 的值 .
（ 17）（ 本题满分 10分 ）
设平面区域 D 由曲线 s in , (0 2 )
1 c o sx t t tyt=?? ?? =??
与 x 轴围成 ， 计算 二重积分
( 2 )d dD x y x y+?? .
（ 18）（ 本题满分 10分 ）
已知常数 ln2 1k ? ， 证明 2( 1 ) ( l n 2 l n 1 ) 0x x x k x? ? + ?.
（ 19）（ 本题满分 10分 ）
将长为 2m的铁丝分成三段 ， 依次围成圆、正方形与正三角形 . 三个图形的面积之和是
否存在最小值 ? 若存在 ， 求出最小值 .
（ 20）（ 本题满分 11分 ）
已知曲线 24: ( 0)9L y x x= ， 点 (0,0)O ， 点 (0,1)A . 设 P 是 L 上的动点 ， S 是直线 OA
与直线 AP 及曲线 L 所围图形的面积 .若 P 运动到点 (3,4) 时沿 x 轴正向的速度是 4 ， 求此
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
时 S 关于时间 t 的变化率 .
（ 21）（ 本题满分 11分 ）
设数列 {}nx 满足 ： 11 0 , e e 1 ( 1 , 2 , )nnxxnx x n+? = ? =.证明 {}nx 收敛 ， 并求 lim
nn x→?
.
（ 22）（ 本题满分 11分 ）
设实二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x a x= ? + + + + +， 其中 a 是参数 .
（ Ⅰ ） 求 1 2 3( , , ) 0f x x x = 的解 ；
（ Ⅱ ） 求 1 2 3( , , )f x x x 的规范形 .
（ 23）（ 本题满分 11分 ）
已知 a 是常数 ， 且矩阵 121 3 0
27
a
a
????
=
???
A 可经初等变换化为矩阵
12
0 1 1
1 1 1
a????
=
???
B .
（ Ⅰ ） 求 a ；
（ Ⅱ ） 求满足 =AP B 的可逆矩阵 P .
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
|
|
