2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学（ 二 ）试题
一、选择题： 1～ 8小题，每小题 4分，共 32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1、当 0x→ 时，若 tanxx? 与 kx 是同阶无穷小，则 k=
A. 1. B. 2.
C. 3. D. 4.
2、设函数 π 3sin 2 c os ( π )22y x x x x= + ?的拐点
A. ππ( , ).22 B. (0,2).
C. (π, 2).? D. 3π 3π( , ).22?
3、 下列反常积分 发散 的 是
A.
0 edxxx+? ??
B. 2
0 edxxx+? ??
C.
20 arctan d1 x xx+? +?
D.
20 d1 x xx+? +?
4、 已知微分方程 ￠￠y + a ￠y + by = cex的通解为 y = (C 1 + C 2 x)e- x + e x，则 a、 b、 c依次为
A、 1,0,1 B、 1,0,2
C、 2,1,3 D、 2,1,4
5 、 已 知 积 分 区 域 π{( , ) | }2D x y x y=+， 22
1 ddDI x y x y=+??
，
222 s in d dDI x y x y=+?? ， 223 (1 c o s ) d dDI x y x y= ? +?? ，试 比较 1 2 3,,I I I 的大小
A. 3 2 1I I I?? B. 1 2 3I I I??
C. 213I I I?? D. 2 3 1I I I??
6、 已知 ( ) ( )f x g x 是二阶可导且在 xa= 处连续，请问 ( ) ( )f x g x 相切于 a 且曲率相等是
2( ) g( )lim 0()xa f x xxa→ ? =?
的什么条件？
A. 充分非必要条件 . B. 充分必要条件 .
C. 必要非充分条件 . D. 既非充分又非必要条件 .
7、 设 A 是四阶矩阵， A 是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax=0 的基础解系中只有 2 个
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
向量，则 A 的秩是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8、设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵 . 若 2 2+=A A E ，且 4=A ，则二次型
TxAx 规范形为
A. 2221 2 3.yyy++ B. 2 2 21 2 3.y y y+?
C. 2221 2 3.yyy?? D. 2221 2 3 .yyy? ? ?
二、填空题： 9～ 14小题，每小题 4分，共 24分．
9. 2
0lim( 2 )x xx x→ +=
___________.
10.曲线 sin
1 cosx t tyt=??? =??
在 32t ?= 对应点处切线在 y 轴上的截距 ___________.
11.设函数 ()fu可导， 2()yz yf x= ，则 2 zzxy
xy??+=
___________.
12.设函数 ln c os ( 0 )6y x x ?= 的弧长为 ___________.
13.已知函数 2
1
sin( ) dx tf x x tt= ? ，则 10 ( )df x x=? ___________.
14.已知矩阵
1 1 0 0
2 1 1 1
3 2 2 1
0 0 3 4
???
????
= ??
????
A ， ijA 表示 ||A 中 (, )ij 元的代数余子式，则
11 12AA?=___________.
三、解答题： 15～ 23小题，共 94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15、（本题满分 10分）
已知 2 , 0 ,()
e 1, 0 ,
x
x
xxfx ? ??= ? +
??
求 ()fx? ，并求 ()fx的极值 .
16、（本题满分 10分）
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
求不定积分
2236 d.( 1) ( 1)x xx x x+? + +?
17、（本题满分 10分）
()y yx= 是 微分方程 221 e2 xy xy x??= 满足 (1) ey = 的特解 .
（ 1）求 ()yx；
（ 2）设平面区域 { ( , } | 1 2 , 0 ( ) }D x y x y y x= ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体
积 .
18、 已知平面区域 D 满足 2 2 3 4, ( )x y x y y+ ，求
22ddD
xy xyxy++?? .
19、 设 n 为正整数 ， 记 nS 为曲线 e s in (0 π )xy x x n?= 与 x 轴所围图形的面积，求 nS ，
并求 lim
nn S→?
.
20、已知函数 ( , )uxy 满足 222 2 3 3 0u u u u
x y x y? ? ? ?? + + =? ? ? ?
，求 ,ab的值，使得在变换
( , ) ( , )e ax byu x y v x y += 下，上述等式可化为 ( , )vxy 不含一阶偏导数的等式 .
21、已知函数 ( , )f xy 在 [0,1] 上具有二阶导数，且 1
0( 0 ) 0 , (1 ) 1 , ( ) d 1f f f x x= = =?
，证明 ：
（ 1）存在 (0,1)?? ，使得 ( ) 0f ?? = ；
（ 2）存在 (0,1)?? ，使得 ( ) 2f ??? ?? .
22. 已知向量组（ Ⅰ ）
23
2
1 1 1
= 1 = 0 , = 2
4 4 3a
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?+
? ? ? ? ? ?
1α α α，
，
（ Ⅱ ）
2
1 2 3
1 0 1
1 , 2 , 3 ,
3 1 3a a a
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
= = =? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?+ ? +? ? ? ? ? ?
β β β，若向量组（ Ⅰ ）和向量组（ Ⅱ ）等价，
求 a 的取值，并将 3β 用 23,,1α α α 线性表示 . 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
23.已知矩阵 2 2 122
0 0 2
x
??????
=?
???
A 与
2 1 0
0 1 0
00 y
????
=?
????
B 相似，
（ Ⅰ ）求 ,xy；
（ Ⅱ ）求可逆矩阵 P 使得 1?P AP=B
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
|
|
