2013 年考研数学 (一 )试题答案速查
一、选择题
（ 1） D （ 2） A （ 3） C （ 4） D （ 5） B （ 6） B
（ 7） A （ 8） C
二、填空题
（ 9） 1 （ 10） 3212e e ex x xC C x+? （ 11） 2
（ 12） 2ln （ 13） 1? （ 14） 11e?
三、解答题
（ 15） 4ln2 8 2π? + ? .
（ 16） （Ⅰ） 略 .（Ⅱ） ( ) e 2exxSx ?=+.
（ 17）有极小值 134(1, ) e3f ?? =? .
（ 18）略 .
（ 19） （Ⅰ） 2 2 2 2(1 )x y z z+ = ? +.（Ⅱ） )57,0,0( .
（ 20）当 0,1 =?= ba 时 , 1 2 1
12
1k k kkk? + + ? ?= ? ?
??C
,其中 21,kk 为任意常数 .
（ 21）略 .
（ 22） （Ⅰ）
3
0 , 1 ,
18( ) , 1 2 ,
27
1 , 2 ;
Y
y
yF y y
y
? ?
? +?
= ??
?
??
（Ⅱ） 278 .
(23) （Ⅰ）
1
1 n i
i Xn == ??
.（Ⅱ）
1
2
1n
i i
n
X
?
=
=? .
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2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 （ 一 ）参考答案
一、选择题： 1～ 8 小题 ,每小题 4 分 ,共 32 分．下列每题给出的四个选项中 ,只有一个选项
是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在 答题纸 ． ． ． 指定位置上．
（ 1） 【答案】 D．
【解答】因为 31arctan 3x x x? ，所以
3
00
a r c ta n 3l im l im 0
kkxx
xxx
cxx→→? = = ?， 则有
31,3 == ck ， 故选择答案 D．
（ 2） 【答案】 A．
【解答】令 2( , , ) c o s ( )F x y z x x y y z x= + + +， 则
2 s i n 1 , s i n ,x y zF x y x y F x x y z F y? ? ?= ? + = ? + =，
所以， (0 , 1 , 1 ) 1 , (0 , 1 , 1 ) 1 , (0 , 1 , 1 ) 1x y zF F F? ? ?? = ? = ? ? =.
故， 曲面在点 (0,1, 1)? 处的切平面方程为 1 ( 0 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 0x y z? ? ? ? ? + ? + =，
化简可得 2?=+? zyx ，故选答案 A．
（ 3） 【答案】 C．
【解答】由题目条件可知 ， 函数 ()Sx是周期为 2 的奇函数 ， 所以
9 1 1( ) ( ) ( )4 4 4S S S? = ? = ?．因此 对函数 21)( ?= xxf 作周期为 2 的奇延拓 ， 再由狄利克
雷收敛定理可知 ， ( ) ( ), (0 1)S x f x x= ? ?， 则 9 1 1 1( ) ( ) ( )4 4 4 4S S f? = ? = ? = ?， 故选择答
案 C．
（ 4） 【答案】 D．
【解答】因为 222 , 1
2Q P yxxy??= ? = +
,所以 221
2Q P yxxy??? = ? ?
，利用格林公式有 ,
3 3 22( )d ( 2 )d d d 1 d d
6 3 2i i ii L D Dy x Q P yI y x x y x y x x yxy ??????= + + ? = ? = ? ????????? ??? ?? ??
在各自围成的区域内 ,利用极坐标把 二重积分化为累次积分 ， 得 ，
1
2 2 22 π 12 2 2
1 00c o s s in 5 π1 d d d 1 c o s d2 s in 2 8D y x r rI x x y r r ryr ?????? ? ? ?== ? ? ? ? =? ? ? ?=? ? ? ??? ? ?
．
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2
2 2 22 π 22 2 2
2 00c o s s in 11 d d d 1 c o s d π2 s in 2 2D y x r rI x x y r r ryr ?????? ? ? ?== ? ? ? ? =? ? ? ?=? ? ? ??? ? ?
．
3
2 2 22 π 12 2 2
3 002 c o s s in 3 21 d d d 1 2 c o s 2 d π2 s in 2 8D xryrI x x y r r ryr ? ????? ? ? ?== ? ? ? ? =? ? ? ?=? ? ? ??? ? ?
( )4 2 2 π 12 2 2 2 24 00c o s 21 d d d 1 c o s s in 2 d π222 s inD y x rI x x y r r r ryr ? ? ? ???? == ? ? ? ? =?? =???? ? ?
故 应选 D．
（ 5）【答案】 B．
【解答】对矩阵 A,C 分别按列分块 ,不妨设
1 2 1 2 3( , ) , ( , )n==A α α α C ? ? ?,
11 1
1
n
n nn
bb
bb
????
=
??
B ．
可见 矩阵 C 的 列 向量组 可由 矩阵 A 的 列 向量组 线性表出 . 再 B 可逆 可得 1? =CB A ， 同理
有 矩阵 A 的 列 向量组 可由 矩阵 C 的 列 向量组 线性表出 ,即二者等价 ,故 选答案 B．
（ 6） 【答案】 B．
【解答】不妨设
1 1 2 0 0
, 0 0
1 1 0 0 0
a
a b a b
a
????????
==
??????
AB.
因为 2
11
[ ( 2 ) ( ) 2 ]
11
a
a b a b a
a
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?? ??
? = ? ? ? = ? ? ???
? ?? ? ?? ?
EA ，
所以，当 0a= 时，矩阵 A 的特征值分别为 2, ,0b ,且 b 可 为任意常数 . 显然可得矩阵 B 的
特征值分别为 2, ,0b ,故选答案 B.
（ 7）【答案】 A.
【解答】由题目条件 ,因为 1 ~ (0,1)XN ,所以
? ?112 2 ( 2) ( 2) 2 ( 2) 1P P X= ? = ? ? ? ? = ? ?.
因为 ， 22 ~ (0,2 )XN , 23 ~ (5,3 )XN ,
所以 ， ? ? 2
22 02 2 1 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 12XP P X P ???= ? = ? = ? ? ? ? = ? ???? ?
.
? ? 333 5772 2 1 ( 1 ) ( )3 3 3XP P X P ???= ? = ? ? = ? ? ? ? ???? ?.
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通过数值比较可知 321 PPP ?? ,故选答案 A.
（ 8） 【答案】 C．
【解答】因为， ~ ( ), ~ (1, )X t n Y F n，所以， 2YX= ，
?? ??2 2 2 ( } { }P Y c P X c P X c P X c? = ? = ? + ? ?.
又 X 的密度函数为偶函数 , ??P X c ??=,所以 {}P X c ??? = .
所以 ， ?? 2 2P Y c ??=,故答案可选 C．
二、填空题： 9～ 14 小题 ,每小题 4 分 ,共 24 分．请将答案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上．
（ 9）【答案】 1.
【解答】对于方程 (1 )exyyx ??= ,利用隐函数求导法则得 (1 )
(1 )1 (1 )ee1
xy
xyyy x
?
?+??= +
.
当 0x= ,得 1y= ,进一步得 (0) 1y? = .
所以
0
11 ( ) 1
l im ( ) 1 l im ( 0 ) 1nx x fxnn f fnx→ ? →= ??? ?? = =???? .
（ 10） 【答案】 3212e e ex x xy C C x= + ?.
【解答】因为 3 2 2 21 2 3e e , e e , ex x x x xy x y x y x= ? = ? = ?，所以 31 3 2 3e , exxy y y y? = ? =
为 对应的齐次方程的解 .再由解得结构 ,因为二者线性无关 ,所以齐次方程的通解
312eexxy C C=+,故可知通解的形式 .
（ 11）【答案】 2 .
【解答】利用参数方程求导法则 ,
d
d co sd
dd co s
d
y
y t tt t
xxt
t
= = =,
π
4
2
π2
4
dd
d dd
d1d d 2
dd d c os
d t
t
y
y x
y x t
xx x t
t =
=
????
?? ????
??= = = =.
（ 12）【答案】 ln2 .
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【解答】
21 1 11
l n 1 l n 1d l n d d( 1 ) 1 1 ( 1 )xxx x xx x x x x+?+ ? + ? + ?????= ? = ? ?????+ + + +??
??? ? ?
1
ln ln 21xx +?==+ .
（ 13） 【答案】 1? .
【解答】因为 0ij ijaA+=，所以 T=?AA.再由 =AA AE ,得 T?=AA A E ，有
23?=AA.由于矩阵为三阶非零矩阵 ,所以 ijA 不全 为 0.不妨设 11 0a ? ,而
2 2 21 1 1 2 1 3 0a a a= ? ? ? ?A ,所以 1=?A .
（ 14）【答案】 11e?? .
【解答】 ?? { 1 } ( 1 ) ( )1
{ } 1 ( )P a Y a F a F aP Y a Y a P Y a F a? ? + + ?+ ? = =??
.
因为 Y 服从参数为 1 的指数分布 ,所以 ( ) 1 e yFy ?=? ,所以
?? 1 1ee1 1 eeaaaP Y a Y a ? ? ? ???+ ? = = ?.
三、解 答题： 15～ 23 小题 ,共 94 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 请将答
案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 15）（本题满分 10 分）
解： 因为
1 ln( 1 )( ) d
x tf x tt+= ? ,所以 ln (1 )( ) , (1 ) 0xf x fx+? ==.从而
11 1 1
0 0 00
( ) l n ( 1 )d 2 ( ) ''( ) d 2 df x xx x f x x f x x xxx +??= ? = ?????? ? ?
11
00
14 [ l n ( 1 ) d ] 4 l n 2 4 d0 11xxx x x xxx= ? + ? = ? +++??
令 ux= ,则
11
200
1 πd 2 d 2 ( a r c ta n ) 201 1 2xux u u u uxu = ? = ? = ?++?? ,所以
1
0
() d 4 ln 2 8 2 πfx xx = ? + ?? .
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（ 16）（本题满分 10 分）
（ Ⅰ ）证明：因为
0()
nn
nS x a x
?
==?
，所以 12
12( ) , ( ) ( 1 )
nn
nnS x n a x S x n n a x
????
==? ??= = ???
.
因为 2 ( 1) 0nna n n a? ? ? =，所以
22 2
2 2 0( ) ( 1 ) ( )
n n nn n n
n n nS x n n a x a x a x S x
? ? ???
?= = =?? = ? = = =? ? ?
.
（ Ⅱ ）解： 齐次微分 方程 0)()( =??? xSxS 的特征方程为 012 =?? ,特征根 121, 1??=? = ,
所以 ,通解为 12( ) e exxS x C C?=+.又 0 (0) 3aS==, 1 (0) 1aS?==,所以 212, 1CC==,
所以 ( ) e 2exxSx ?=+.
（ 17）（本题满分 10 分）
解： 因为 3( , ) ( )e3 xyxf x y y +=+ ,所以
3
2
3
( ) e 03
(1 ) e 03
xy
x
xy
y
xf x y
xfy
+
+
? ? = + + =
??
??
? = + + =??
， 解得 )34,1( ? , )32,1( ?? .
因为 ， 32( 2 2 )e3 xy
xx xf x x y +?? = + + +
, 32( 1 )e3 xy
xy xf x y +?? = + + +
, 3( 2 )e3 xy
yy xfy +?? = + +
.
所以， 对于点 )34,1( ? , 1 1 1 23 3 33 e 0 , e , e , 0A B C A C B= ? = = ? ?,故 )34,1( ? 为极小值点 ,极
小值为 134(1, ) e3f ?? =? ；
对于点 )32,1( ?? , 5 5 5 23 3 3e 0 , e , e , 0A B C A C B? ? ?= ? ? = = ? ?,故 )32,1( ?? 不是极值点 .
（ 18）（本题满分 10 分）
证 ： （ Ⅰ ） 因为 ()fx在 ? ?1,1? 上 的奇函数 ,所以 (0) 0f = .令 ( ) ( ) ,F x f x x=?
因为 ()fx在 ? ?1,1? 上具有 2 阶导数 ,所以 ()Fx可导 .因为 (0 ) 0 0, (1) 1ff= = =,
所以 (0) (1) 0FF==.根据罗尔定理 存在 )1,0(?? ,使得 0)( =??F ,即 1)( =??f .
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（Ⅱ） 令 )1)(()( ??= xfexG x .因为 (xf 为奇函数 ,故 )(xf? 为偶函数 ,所以
( ) ( ) 1ff????= ? =且 ''( ) ''( ) 0GG??= ? =.由罗尔定理 存在 )1,1(),( ???? ??? ,使得
,0)( =??G 即 1)()( =?+?? ?? ff .
（ 19）（本题满分 10 分）
解： （ Ⅰ ） 直线 L 过 BA, 两点 ,所以直线方程为 1 0 01 1 1x y z? ? ?==? ,其对应的参数方程为
1,
,
,
xt
yt
zt
=+??
=???
=??
（ t 为参数） .
设 ( , , )xyz 是曲面 ? 上的任一点 ,则其 绕 z 轴旋转一周的曲面 ? 的 方程为 ,
2 2 2 2(1 )x y z z+ = ? +.
（Ⅱ） 设 ? 的形心坐标为 ( , , )xyz ,根据对称性得 0xy==.
因为 2
0d d d d d dzDx y z z x y? =??? ? ??
, 2
0d d d d d dzDz x y z z z x y? =?? ? ??
,
其中 2 2 2{ ( , ) | 2 2 1 }zD x Y x y z z= + ? +,所以
( )2 20 10 πddd π 2 2 1 d 3x y z z z z? = ? + =??? ?, ( )2 20 14 πddd π 2 2 1 d 3z x y z z z z z? = ? + =??? ?,
由形心坐标计算公式得 ddd 7
5ddd
z x y z
z xyz?
?
==?????? ，
所以形心坐标为 )57,0,0( .
（ 20） (本题满分 11 分 )
解：由题意可设 12
34
xxxx? ?=? ?
??C
,则 ?=AC CA B 成立的充要条件是方程组
23
1 2 4
1 3 4
23
0,
1,
1,
,
x ax
ax x ax
x x x
x ax b
? + =?
?? + + =?
? ? ? =
?
? ?=?
①
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
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有解 . 对 ① 的增广矩阵利用初等变换得
0 1 0 0 1 0 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0
a
a a a
a
a b b
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?→
? ? ? ?? ? +
? ? ? ??? ? ? ?
.
当 1a?? 或 0b? 时 ,线性方程组 ① 无 解 .
当 0,1 =?= ba 时 ,线性方程组 ① 有解 ,
1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
a
a
b
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?→
? ? ? ?+
? ? ? ?? ? ? ?
，
通解为
1 1 2
21
31
42
1,
,
,
,
x k k
xk
xk
xk
= + +?
? =??
? =
?
? =?
（ 21,kk 为任意常数 ） .
综上 ,当且仅当 0,1 =?= ba 时 ,存在满足条件的矩阵 C ,使 ?=AC CA B ,且
1 2 1
12
1k k kkk? + + ? ?= ? ?
??C
（ 21,kk 为任意常数 ） .
（ 21）（本题满分 11 分）
证明： （ Ⅰ ） 记 1
1
3
x
x
x
????
=????
??
X ,由于
( )111 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2
33
( , , ) 2 ( , , ) , ,
ax
f x x x x x x a a a a x
ax
??? ? ? ???? ? ? ?
=+? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ???( )
11
1 2 3 2 1 2 3 2
33
( , , ) , ,
bx
x x x b b b b x
bx
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
T T T T T T T( 2 ) ( ) ( 2 )= + = +X α α XX β β XX α α β β X,
又 TT2 +αα ββ 为对称矩阵 ,所以二次型 f 的矩阵为 TT2=+A αα ββ.
（Ⅱ） 记 TT2=+A αα ββ.由于 α,β 正交且均为单位向量 ,所以
=Aα 2T T T( 2 ) 2 2+ = + =α α β β α α α β β α α,则 a 为 A 的对应于 21=? 的特征向量；
=Aβ 2T T T( 2 ) 2+ = + =α α β β β α α β β β β,则 β 为 A 的对应于 2 1?= 的特征向量 .
心彼心插班生
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心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
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又 TT( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 3r r r r r+ = + = ?A α α β β α β,所以 3 0?= 也是矩阵 A 的一个特征值 ,
故 f 在正交变换下的标准型为 22122yy+ .
（ 22）（本题满分 11 分）
解： （ Ⅰ ） 记 Y 的分布函数 为 ( ) ( )YF y P Y y= ,由 Y 的概率分布知 ,
当 1y? 时 , ( ) 0yFy= ；
当 2y? 时 , ( ) 1yFy= ；
当 12y 时 , ? ? ??( ) ( ) 1 1YF y P Y y P Y P X y= = = + ?
?? ? ?21P X P X y= + ?
3 2 2 3
211 1 1d d ( 1 8 )9 9 2 7
yx x x x y= + = +?? .
综上 Y 的分布函数 为
3
0 , 1 ,
18( ) , 1 2 ,
27 27
1 , 2.
Y
y
yF y y
y
??
??
= + ??
?
??
（Ⅱ） 利用全概率公式 ，
? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 1 2 2P X Y P X Y X P X P X Y X P X= ? + ?
?? ? ?1 2 1 2P X Y X P X+ ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ?, 1 , 2 , 1 2P X Y X P X Y X P X Y X= + + ? ?
? ? ? ?1 0 1 2P X P X= + + ? ? 2 20 18{ 2 } d9 27P X x x= ? = =? .
（ 23）（本题满分 11 分）
解： （ Ⅰ ） 2
300( )d e d e d ( )xxE X x f x x x xxx
????????+ ? + ? + ?
??= = = ? =? ? ?
,令 EX X= ,
故 ? 的 估计量 X?= ,其中
1
1 n i
iXXn == ?
.
（Ⅱ） 设 12, , , nx x x 为样本观测值 ,似然函数为
心彼心插班生
心彼心插班生
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心彼心插班生
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心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
2
123
1
1
e , , , , 0 ,( ) ( ; )
0,
i
n x
n n
i i i
i
x x xL f x x
??
??
?
=
=
? ??
= = ?
? ?
??
其 他 .
( ) 1
12n
123
12
e , , , , 0 ,=
0,
n
ii x
n
n
x x xx x x ?? =?
? ??
???
? ?? 其 他 .
当 12, , , 0nx x x ? 时 ,
11
1l n ( ) 2 l n 3 l nnni
ii iL n x x? ? ?=== ? ???
.
令
1
d ln ( ) 2 1 0d n
i i
Ln x???
== ? =?
,得 ? 的极大似然估计 值为
1
2
1n
i i
n
x
?
=
=? ,所以极大似然估
计量为
1
2
1n
i i
n
X
?
=
=? .
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
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