()fx??
x
O
2015 年全国硕士研究生入学统一考试
数学 （ 一 ） 试题
一、选择题： 1～ 8 小 题，每小题 4 分，共 32 分 ． 下列每 题给出的四个选项中，只有一个 选
项是 符合题目要求的 ． 请将所选项前的字母填在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 1） 设函数 )(xf 在 ),( +??? 内连续，其 2 阶导数 )(xf?
的图形如 右 图所示，则曲线
)(xfy= 的拐点的个数为
（ A） 0． （ B） 1．
（ C） 2． （ D） 3．
（ 2） 设 211e ( )e23xxyx= + ?是二阶常系数非齐次线性微分方程 e xy ay by c?? ?+ + =
的一个特解，则
（ A） 1,2,3 ?==?= cba ． （ B） 1,2,3 ?=== cba ．
（ C） 1,2,3 ==?= cba ． （ D） 1,2,3 === cba ．
（ 3）若级数 ??
=1n na
条件收敛，则 3=x 与 3=x 依次为幂级数 n
n n xna )1(1 ??
?
=
的
（ A）收敛点，收敛点． （ B）收敛点，发散点．
（ C）发散点，收敛点． （ D）发散点，发散点．
（ 4） 设 D 是第一象限中由曲线 14,12 == xyxy 与直线 xyxy 3, == 围成的平面区域，
函数 ),( yxf 在 D 上连续，则 ( , )d d
D f x y x y =??
（ A） π 13 s i n 2
π 14 2 s i n 2d ( c o s , s i n ) df r r r r??? ? ???
． （ B） 1π s i n 23
π 14 2 s i n 2d ( c o s , s in ) df r r r r??? ? ???
．
（ C） π 13 s i n 2
π 14 2 s i n 2d ( c o s , s i n )df r r r??? ? ???
． （ D） 1π s i n 23
π 14 2 s i n 2d ( c o s , s in ) df r r r??? ? ???
．
（ 5） 设矩阵
22
1 1 1 1
12
14
ad
? ? ? ?? ? ? ?
==? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
Ab，，若集合 {1,2}?= ，则线性方程组 x=Ab有无
穷多解的充分必要条件为
（ A） ???? da , ． （ B） ???? da , ．
（ C） ???? da , ． （ D） ???? da , ．
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
（ 6） 设二次型 ),,( 321 xxxf 在正交变换 =x Py 下的标准形为 2 2 21 2 32y y y+?，其中
1 2 3( , , )=P e e e ．若 1 3 2( , , )=?Q e e e ，则二次型 ),,( 321 xxxf 在正交变换 =x Qy
下的标准形为
（ A） 2 2 21 2 32y y y?+． （ B） 2 2 21 2 32y y y+?．
（ C） 2221 2 32yyy??． （ D） 2221 2 32yyy++．
（ 7） 若 ,AB为任意两个随机事件，则
（ A） ( ) ( ) ( )P AB P A P B． （ B） ( ) ( ) ( )P AB P A P B．
（ C） ( ) ( )() 2P A P BP AB +． （ D） ( ) ( )() 2P A P BP AB +．
（ 8） 设随机变量 YX、 不相关，且 3,1,2 === DXEYEX ，则 =?+ )]2([ YXXE
（ A） 3? ． （ B） 3 ． （ C） 5? ． （ D） 5 ．
二、填空题： 9～ 14 小题，每小题 4 分，共 24 分 ． 请将答案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 9）
20 lncoslimx xx→ =
．
（ 10） π2
π2 s in d1 c o sx xxx? ??+=??+???
．
（ 11） 若函数 ),( yxzz= 由方程 e c o s 2z xyz x x+ + + =确定，则
(0,1)dz =
．
（ 12） 设 ? 是由平面 1=++ zyx 与三个坐标平面所围成的空间区域，则
( 2 3 ) d d dx y z x y z? + + =??? ．
（ 13） n 阶行列式
0 0 2
1 2 0 2
0 0 2 2
0 0 1 2
?
=
?
．
（ 14） 设二维随机变量 ),( YX 服从正态分布 1,0;1,1;0N（ ） ，则 =?? }0{ YXYP ．
三、解答题： 15～ 23 小题，共 94 分 ． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ． 请将答
案写在 答题纸 ． ． ． 指定位置上 ．
（ 15）（本题满分 10 分）
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
设函数 3)(,s i n)1l n ()( kxxgxbxxaxxf =+++= ，若 ()fx 与 ()gx 在 0→x 时
是等价无穷小，求 kba ,, 的值 .
（ 16）（本题满分 10 分）
设函数 )(xf 在定义域 I 上 的导数大于零，若对任意的 Ix?0 ,曲线 )(xfy= 在点
))(,( 00 xfx 处的切线与 直线 0xx= 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 (0) 2f = ， 求
)(xf 的表达式 ．
（ 17）（本题满分 10 分）
已知函数 ( , )f x y x y xy= + +， 曲线 22:3C x y xy+ + =，求 ( , )f xy 在曲线 C 上的
最大方向导数 ．
（ 18）（本题满分 10 分）
（ Ⅰ ） 设函数 ( ) ( )u x v x， 可导，利用导数定义证明 )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu ?+?=? ；
（ Ⅱ ） 设函数 12( ) ( ) ( )nu x u x u x， ， ，可导，
)()()()( 21 xuxuxuxf n?= ，写出 )(xf 的求导公式 ．
（ 19）（本题满分 10 分）
已知曲线 L 的方程为
????
?
=
??=
xz
yxz 222 ，起点为 )0,2,0(A ，终点为 )0,2,0( ?B ，
计算曲线积分 2 2 2 2( ) d ( ) d ( ) d
LI y z x z x y y x y z= + + ? + +?
．
（ 20） (本题满分 11 分 )
设向量组 1 2 3α α α， ， 为 3R 的一个基， 1 1 3 2 2 3 1 32 2 , 2 , ( 1 )kk= + = = + +β α α β α β α α
（ Ⅰ ） 证明向量组 1 2 3β β β， ， 为 3R 的一个基；
（ Ⅱ ） 当 k 为何值时，存在非 零 向量 ξ 在基 1 2 3α α α， ， 与基 1 2 3β β β， ， 下的坐标相同，并
求所有的 ξ ．
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
（ 21）（本题满分 11 分）
设矩阵 0 2 31 3 3
12 a
?????
= ? ?
???
A 相似于矩阵
1 2 0
00
0 3 1
b
?????
=
??
B
（ Ⅰ ） 求 ba, 的值；
（ Ⅱ ） 求可逆矩阵 P ， 使 1?PAP 为对角阵 .
（ 22）（本题满分 11 分）
设随机变量 X 的概率密度为
2 ln 2 0() 00.x xfx x?? ?= ?
?
， ，，
对 X 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 Y 为观测次数 .
（ Ⅰ ） 求 Y 的概率 分布；
（ Ⅱ ） 求 EY .
（ 23）（本题满分 11 分）
设总体 X 的概率密度为
1 1
() 1
0
,,
,.
xfx ????= ??
?? 其 他
其中 ? 为未知参数， 12 nX X X， ， ， 为来自该总体的简单随机样本 ．
（ Ⅰ ） 求 ? 的矩估计量；
（ Ⅱ ） 求 ? 的最大似然估计量 ．
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生 心彼心插班生
心彼心插班生
心彼心插班生
|
|
