一.群1.群的定义对于一个集合 \(S\) 和定义在这个集合上的二元运算 \(*\) , 满足:
那么称 \((S,*)\) 为一个群。 值得注意的是,一个群的单位元和逆元都是唯一的。 2.子群若 \(G(S,*)\) 为一个群,若 \(T \subseteq S\) ,且 \(H(T,*)\) 也为一个群,那么称 \(H\) 为 \(G\) 的子群,记作 \(H \le G\) 3.陪集左陪集:若群 \(H\) 为群 \(G\) 的一个子群,且对于 \(g \in G\),\(gH=\{gh|h \in H \}\)。 同样可以定义右陪集。 注意陪集可能不包含单位元,不一定是群。 陪集的性质:
二.拉格朗日定理\([G:H]\): \(G\) 中 \(H\) 不同陪集的数量 \(G~/~H~\): \(G\) 中所有 \(H\) 的左陪集 有: \[|H|×[G:H]=|G|
\] 证明:由陪集的性质 1、5、6 显然。 三.置换群1.置换对于集合 \(S=\{a_1,a_2 \dots a_n\}\) , 一个置换 \(f\) 可表示为: \[f=\begin{pmatrix}
a_1,a_2,\dots,a_n\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}
\end{pmatrix}\] \(p\) 为 \(1\sim n\) 的排列,意义为将 \(a_i\) 映射为 \(a_{p_i}\)。 \[f=\begin{pmatrix}
a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}
\end{pmatrix},
g=\begin{pmatrix}
a_1,a_2,\dots,a_n\a_{p_1},a_{p_2},\dots,a_{p_n}
\end{pmatrix}\] \[f \times g=f(g(x))=\begin{pmatrix}
a_1,a_2,\dots,a_n\a_{q_1},a_{q_2},\dots,a_{q_n}
\end{pmatrix}\] 称为置换的乘法。 2.循环置换一种特殊的置换,其中: \[f=(a_1,a_2,\dots,a_n)=\begin{pmatrix}
a_1,a_2,\dots,a_n\a_2,a_3,\dots,a_1
\end{pmatrix}\] 任意一个置换都可以表示为若干不相交的循环置换的乘积,例如 \[\begin{pmatrix}a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\\ a_3,a_1,a_2,a_5,a_4\end{pmatrix}=(a_1,a_3,a_2) \times (a_4,a_5)
\] 将一个置换 \(f\) 拆分的循环置换个数记为 \(c(f)\) 3.置换群若 \(S\) 包含所有的 \(n!\) 个不同 \(n\) 元置换,\(G(S,\times)\) 为一个群,证明如下:
\(G\) 的子群称作置换群。 四.Burnsied 引理 和 Pólya 定理1.轨道稳定子定理对于作用在集合 \(X\) 上的群 \(G\) 和集合 \(X\) 的一个元素 \(x\) \(x\) 的轨道:\(G(x)=\{ g(x) | g \in G\}\) \(x\) 的稳定子:\(G^x=\{ g \in G| g(x)=x\}\) 这里 \(g(x)\) 为群作用的函数,例如上文提到的置换。
轨道稳定子定理: \[|G(x)| \times |G^x|= |G|
\] 证明: 因为 \(G^x\) 为 \(G\) 的子群,由拉格朗日定理得: \[|G^x| \times [G:G^x]=|G|
\] 由性质2得: \[|G^x| \times |G(x)| = |G|
\] 证毕。 \[\] 2.Burnside 引理若一个置换群 \(G\) 作用于 \(X\) , \(X/G\) 表示在群 \(G\) 作用下 \(X\) 的所有等价类的集合。(注意每个等价类也是一个集合,若两个元素在 \(G\) 作用下可以转化则属于同一个等价类) \(X^g\) 表示在 \(g\) 的作用下不变的 \(X\) 中元素的集合。 那么有: \[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |X^g|
\] 证明: \[\begin{aligned}
\sum_{g\in G} |X^g|&=\sum_{x \in X} |G^x| \ &=\sum_{x \in X} \frac{|G|}{|G(x)|} \ &=|G|\sum_{x \in X} \frac{1}{|G(x)|} \ &= |G|\sum_{Y \in X / G } \sum_{x \in Y} \frac{1}{|G(x)|} \ &= |G|\sum_{Y \in X / G } \sum_{x \in Y} \frac{1}{|Y|} \ &= |G|\sum_{Y \in X/G}1 \ &= |G||X/G|
\end{aligned}\] 即: \[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |X^g|
\] 可以参考 oi-wiki 的例子。 3.Pólya 定理\[|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} m^{c(g)}
\] 证明: 由 burnside 引理发现,在 \(g\) 作用下的不动点的充要条件是每一个循环置换里元素同色。 那么式子就很显然了。 五.例题1.P4980 【模板】Pólya 定理首先置换群 \(G\) 包含的元素分别为: 旋转 \(1\) 个点,旋转 \(2\) 个点...旋转 \(n\) 个点 不难发现,旋转 \(k\) 个点的 \(c(g)=\gcd(n,k)\),原因如下: 所有循环置换所包含的元素个数相同,均为 \(\frac{\text{lcm(n,k)}}{k}\)。(旋转次数/旋转步长) 那么循环置换的个数便为 \(\frac{n}{\frac{\text{lcm}(n,k)}{k}}=\gcd(n,k)\) 由 polya 定理得: \[|X/G|=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n n^{\gcd(i,n)}
\] 化简可得: \[|X/G|=\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\varphi(\frac{n}{d})
\] 直接计算即可,复杂度 \(\mathcal{O(n^{\frac{3}{4}})}\)
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