| 求圆x2+y2=4上点A(-1,-√3)处切线的方法 |
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求圆 x2+y2=22上点 A(-1,- 3)处切线的方法
主要内容：
介绍通过解析几何法、导数几何意义法，求解经过圆
x2+y2=22上点 A(-1,- 3)处切线的方法和步骤。
解法一：解析几何法
设切线的斜率为 k，则切线的方程为：
y+ 3=k(x+1),
代入圆的方程得：
x2+[k(x+1)- 3]2=22
x2+k2(x+1)2-2 3 (x+1)k+3-22=0
(1+k2)x2+2k2x-k2-2 3kx-2 3k+1=0
(1+k2)x2-2k(-k+ 3)x-(-k2+2 3k+1)=0
因为此时是求直线与圆的切线，即 x 只有一个解，
则该关于 x 的方程的判别式为 0，所以：
△ =4k2(-k+ 3)2-4-(1+k2)(-k2+2 3k+1)=0
即： k2(-k2-2 3k- 32)+(1+k2)(-k2+2 3k+1)=0
化简得： k2- 32+2 3k-1=0,
(- 3k-1)2=0,即： k=- 33 。
故切线的方程为：
y+ 3=- 33 (x+1),
- 3y+ 32=x-12,故切线的一般方程为：
-x- 3y-4=0，即：
x+ 3y+4=0
解法二：导数几何意义法
x2+y2=22，两边同时求导得：
2x+2yy′=0，即： y′=-xy。
导数的几何意义实际上是曲线上切线斜率构成的函数，称
导函数，简称导数。对于本题，切点 A 处的导数等于此处切
线的斜率 k，即：
k=y′=- 33 ,故切线的方程为：
y+ 3=- 33 (x+1),
3y+3=-x-1,则切线的一般方程为：
-x- 3y-4=0,即：
x+ 3y+4=0。
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