【原】雷达著作翻译 | 《现代汽车雷达应用》第3章MIMO雷达技术（3.3小节）

调皮连续波 2022-12-04 发布于贵州

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本期文章是翻译《现代汽车雷达应用》的第八期，这本书我感觉将来会成为经典的，特别适合学习毫米波雷达的初学者，本书会全部翻译。虽然目前翻译的内容都比较基础，但是为了系统性，需要耐心，让我们一步步来，敬请关注！

《Modern Radar for Automotive Applications》

《现代汽车雷达应用》译文

第3章 MIMO雷达技术（3.3小节）

3.3 汽车MIMO雷达的寻角研究

在具有 $M_t$ 个发射个接收天线的汽车MIMO雷达中，以阵元间距 $d$ 合成 $M_{\mathrm{t}} M_r$ 单元的虚拟ULA。该阵列响应可表示为：

$\mathbf{y}=\mathbf{A}(\theta) \mathbf{s}+\mathbf{n}（3.5）$

$\mathbf{A}(\theta)=\left[\mathbf{a}\left(\theta_1\right), \cdots, \mathbf{a}\left(\theta_K\right)\right]$ 是虚拟阵列的导向矩阵。其中：

$\mathbf{a}\left(\theta_k\right)=\left[1, e^{j \frac{2 \pi}{2} d \sin \left(\theta_k\right)}, \cdots, e^{j^{2 \pi} \lambda\left(M_l M_r-1\right) d \sin \left(\theta_k\right)}\right]^T（3.6）$ 这里， $n$ 是噪声项， $\mathbf{s}=\left\lceil\beta_1, \cdots,\left.\beta_K\right|^T\right.$ ， $\beta_k$ 其中表示 $k$ 个目标的目标反射系数。由在所有虚拟接收机处获得的数据组成的特定时间实例（ time instance ）的阵列响应，对应于相同的距离多普勒单元，被定义为阵列快拍。在高动态的汽车场景中，通常只有少量阵列快拍可用，最坏情况下甚至只有一个快拍[22]，如某些超分辨算法只用单快拍。

在具有虚拟 ULA 的汽车 MIMO 雷达中，可以使用数字波束形成 (DBF) [23-25] ，通过对跨阵列单元获取的快拍执行FFT来完成角度搜索，即式 (3.16) 中的（见图 3.6）。

DBF可以在一个单快拍的嵌入式DSP中高效实现，但DBF并不是一种超分辨率的测角方法，更高分辨率的角度测量可以通过基于子空间类的方法实现，例如 MUSIC [26] 和 ESPRIT [27-30]、基于稀疏感知的方法 [31-39] 或 [40] 和 [41] 的迭代自适应方法 (IAA) 。基于子空间的测角方法的性能依赖于对具有多个快拍的阵列协方差矩阵的准确估计，这在高速且非静止的汽车雷达场景中是一项具有挑战性的任务。在这种情况下，空间平滑类算法 [42] 用于引入虚拟快拍以进行阵列协方差矩阵估计，虽然基于稀疏感知的方法和IAA具有高计算成本，但它们基于单个快拍产生角度估计，这对于快拍受限的汽车雷达是很重要的。

使用 $d=\lambda / 2$ 的ULA实现L4和L5自动驾驶要求的角度超分辨率是非常昂贵的，根据参考文献[43]，孔径尺寸为 D 的天线阵列的 3 dB 波束宽度为 $\Delta \theta=2 \arcsin \left(\frac{1.4 \lambda}{\pi D}\right)$ 。为了实现 1 度的 3 dB 波束宽度，天线阵列孔径应约为 $D \approx 51 \lambda$ 。如果天线阵列是阵元间距为半波长的ULA，则应该由100个左右的阵元组成。即使借助MIMO雷达技术，合成如此大的半波长阵元间距虚拟ULA的成本也非常高。在不牺牲角度超分辨率的情况下进一步降低成本的一种方法是使用MIMO雷达技术合成的非均匀或稀疏线性阵列 (SLA) [44-49]。在这种情况下，选择阵列单元的位置并使用虚拟稀疏阵列进行角度寻找是关键问题。这个问题的核心就是研究天线布局，比如遗传算法、模拟退火算法会被用到。（雷达漫谈 | 车载4D毫米波雷达会涉及到哪些雷达技术？）

3.3.1 使用ULA进行高分辨率测角

3.3.1.1 具有空间平滑的子空间方法

基于子空间的测角方法的性能需要估计阵列协方差矩阵，这种估计通常是基于多个快拍获得的。然而，在高速动态的汽车环境中，不可能在 (3.16) 的模型发生变化之前获得足够的快拍。在这种情况下，空间平滑[42]可以为阵列协方差矩阵估计引入虚拟快拍。在空间平滑中，阵列快拍 y 被分成长度为 L的重叠子阵列，并且基于子阵列快拍获得新的采样阵列协方差矩阵 $\mathbf{R} \in \mathbb{C}^{L \times L}$ 。

快拍：阵列信号处理里面的快拍数是指什么？快拍数是指时域上的采样点数。阵列信号指若干个按照一定规律排列（列阵）的信号集合。

R的特征值分解以及 Akaike 信息准则度量[50]或最小描述长度度量[51]，可用于识别目标的数量。然而，应该注意的是，在推导这些准则时，有许多理想的假设，包括与源信号不相关的加性高斯白噪声和准确估计协方差矩阵的足够快拍的可用性，在实践中可能无法满足。为此，基于子空间方法的角度估计中，前后向空间平滑技术[52]被广泛应用于子阵列协方差矩阵的估计中。当子阵列长度较短时，更多的子阵列可用于协方差矩阵计算，因此可以得到更准确的子空间估计。但当子阵列长度较短时，DOA估计分辨率会降低，故应考虑获取子阵列数量和子阵列长度之间的权衡[53]。

通过识别 MUSIC 谱[26]的峰值位置找到目标角度， $P\left(\theta_i\right)$ 在所有可能的 $\theta_i$ 处计算，即：

$P\left(\theta_i\right)=\frac{1}{\mathbf{a}_L^H\left(\theta_i\right) \mathbf{U}_{\mathbf{n}} \mathbf{U}_{\mathbf{n}}^H \mathbf{a}_L\left(\theta_i\right)}（3.7）$ 其中， Un 是R 的噪声子空间， $\mathbf{a}_L\left(\theta_i\right)$ 是对应于搜索方向 $\theta_i$ 的长度 L 的阵列导向向量。由于角度搜索过程，MUSIC 算法的计算成本很高。ESPRIT算法可用于角度估计[27]，ESPRIT也是一种子空间方法，利用了阵列移位不变性，在实践中得到了广泛的应用。它的复杂性低于MUSIC，但代价是降低了角度分辨率。ESPRIT 需要2*L个接收天线，为了达到与 MUSIC 相同的角度分辨率，ESPRIT 需要的接收天线数量是 MUSIC 的两倍。由于汽车雷达需要二维阵列来估计方位角和俯仰角，如果阵元间距为均匀矩形，则可以使用二维 ESPRIT 算法[30]。

3.3.1.2 压缩感知

配备毫米波技术的MIMO雷达提供宽带宽，从而实现距离高分辨率。因此，只有少数目标落在相同的距离-多普勒分辨单元内，故目标在 DOA 空间中是稀疏的。基于稀疏感知的高分辨率方法可以利用这一特性进行目标角度估计。为了将压缩传感 (CS) 应用于DOA 估计，将整个 DOA 视场离散化为一个精细网格。假设DOA空间被离散化在一个有N个点的精细网格上，网格上有K个目标。式(3.16) 中的阵列响应可以重写为：

$\mathbf{y}=\mathbf{A x}+\mathbf{n}（3.8）$ 其中， $\mathbf{A}=\left[\mathbf{a}\left(\theta_1\right), \cdots, \mathbf{a}\left(\theta_N\right)\right]$ 是基矩阵， $\mathbf{a}\left(\theta_i\right)$ 表示第 i 个网格点对应的阵列导向向量， $\mathbf{x}=\left[\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_N\right]^T$ 是一个具有 K 个非零元素的稀疏向量。如果在第 i 个网格点有目标，则 $\beta_i$ 的值不为零。基矩阵定义为：

$\mu \triangleq \max _{i \neq l} \frac{\left|\mathbf{a}^H\left(\theta_i\right) \mathbf{a}\left(\theta_l\right)\right|}{\left\|\mathbf{a}\left(\theta_i\right)\right\|_{\ell_2}\left\|\mathbf{a}\left(\theta_l\right)\right\|_{\ell_2}}（3.9）$ 其相干性需要较低才能保证获得统一的恢复[54]。当达到满足要求的相干条件时，DOA估计可以通过求解一个 $\ell_1$ 范数优化问题，例如下面定义的Dantzig选择器[55]：

$\begin{aligned} & \min \|\mathbf{x}\|_{\ell_1} \& \text { s.t }\left\|\mathbf{A}^H(\mathbf{y}-\mathbf{A x})\right\|_{\ell_{\infty}}<\eta \end{aligned}（3.10）$ 或者求解贪婪的方法，例如正交匹配追踪（OMP）[56] 。在上面的公式中，假设目标在网格上，这在实践中并不总是可能的。虽然可以为了捕获目标而使网格更细，但矩阵 A 的相干性会增加，这会使 $\ell_1$ 范数的解无效[57]。因此，基于 CS 的方法的性能对出现在网格外的目标很敏感[58]。基于稀疏感知和矩阵补全的方法[38, 39]可以在不牺牲高分辨率性能的情况下避免网格问题。

3.3.1.3 迭代自适应方法

M个阵列快拍 $\mathbf{y}_l, l=1, \cdots, M$ 的协方差矩阵可以写成 $\mathbf{R}=\mathbf{A}(\theta) \mathbf{P A}^H(\theta)$ ，其中 P 是一个 $K \times K$ 的对角矩阵，其对角元素包含目标反射的功率。(IAA) 算法 [40, 41]中的角度估计是通过迭代估计反射系数 $\beta_k$ 来实现的。该估计是通过最小化加权最小二乘代价函数找到估计值：

$\sum_{l=1}^M\left\|\mathbf{y}_l-\beta_k(l) \mathbf{a}\left(\theta_k\right)\right\|_{\mathbf{Q}^{-1}\left(\theta_k\right)}^2（3.11）$ 其中， $\|\mathbf{x}\|_{\mathbf{Q}^{-1}\left(\theta_k\right)}^2=\mathbf{x}^H \mathbf{Q}^{-1}\left(\theta_k\right) \mathbf{x}$ ，干扰和噪声协方差矩阵 $\mathbf{Q}\left(\theta_k\right)=\mathbf{R}-\hat{P}_k \mathbf{a}\left(\theta_k\right) \mathbf{a}^H\left(\theta_k\right)$ 。上式的解由下式给出：

$\hat{\beta}_k(l)=\frac{\mathbf{a}^H\left(\theta_k\right) \mathbf{R}^{-1} \mathbf{y}_l}{\mathbf{a}^H\left(\theta_k\right) \mathbf{R}^{-1} \mathbf{a}\left(\theta_k\right)}（3.12）$ 那么矩阵 P 可以被更新为 $\hat{P}_k=\frac{1}{M} \sum_{l=1}^M\left|\hat{\beta}_k(l)\right|^2$ 。在 IAA 算法实现中，DOA 空间被离散化为 N 个点的精细网格，并采用与 CS 中相同的方式构建导向矩阵 A。此外，使用标准延迟求和波束形成器来初始化 P：

$\hat{P}_k=\frac{\sum_{l=1}^M\left|\mathbf{a}^H\left(\theta_k\right) \mathbf{y}_l\right|^2}{M\left|\mathbf{a}^H\left(\theta_k\right) \mathbf{a}\left(\theta_k\right)\right|^2}（3.13）$ 3.3.2 SLA的高分辨率测角

如前所述，合成具有半波长阵元间距的D阵元大型虚拟 ULA 的成本非常高。在不牺牲高角分辨率的情况下进一步降低成本的一种方法是使用非均匀或稀疏阵列（SLA ）[44、45、59]。采用MIMO雷达技术，可以合成 $M_t M_r<D$ 个虚拟阵元。为了使 SLA 孔径与 ULA 相同，应在 ULA 的边缘位置部署两个虚拟阵元。对于剩余的虚拟阵元，有多种部署方法。SLA 的主要问题是栅瓣可能会在角度测量中引入角度模糊。

在具有虚拟 SLA 的汽车 MIMO 雷达中，如果可以通过插值或外插技术填充虚拟SLA中的孔径以减轻栅瓣，则仍然可以使用传统的 FFT 或 ESPRIT 方法进行寻角[60、61]。

各种阵列技术研究中,因互质阵列孔径大、自由度高等诸多优势,成为当前波达方向估计领域中一个重要研究课题。互质阵列利用其少量的阵元数,并且阵元的间距不受限制,能够扩展出大量的虚拟阵元,通过虚拟阵元能够增加阵列自由度,可以有效解决信号数大于物理阵元数时的DOA估计问题。通常,在扩展出的多数虚拟阵元中,使用到的仅为连续部分的阵元,连续虚拟阵元与其他虚拟阵元之间存在“空洞“,因空洞位置缺失虚拟阵元响应造成之后的虚拟阵元不可用。为了提升虚拟阵元的利用率,，需要对虚拟阵列的空洞填充。

为了减轻稀疏阵列引入的高旁瓣，我们利用矩阵补全技术对稀疏阵列中的孔进行插值/外插。此外，矩阵补全提高了阵列响应的 SNR，因为在完全恢复的阵列中没有损失/空洞。

在典型汽车雷达场景的一个 CPI 期间，可以在距离-多普勒频谱中检测到具有大量目标的密集点云 [62]。在不规则的一维或二维稀疏阵列中应用矩阵补全的成功依赖于以下两个事实：

1.由于目标首先在距离-多普勒域中分离，因此在同一距离-多普勒仓中需要进行角度估计的的目标数量很少。换句话说，目标在角度域中稀疏存在，因此，使用阵列响应构建的Hankel矩阵是低秩的。

2.由于通过IDFT和DFT操作在距离域和多普勒域中都积累了能量，因此阵列快拍中的SNR远高于回波信号中的SNR，阵列快拍中的高SNR有助于减少矩阵补全误差并提高角度估计的准确性。

我们将通过一维稀疏阵列中的矩阵补全来说明阵列插值概念，然后将其扩展到二维稀疏阵列。

3.3.2.1 矩阵补全的一维稀疏阵列插值

图 3.7 显示了汽车雷达的物理阵列配置示例，它级联了两个 MIMO 收发机，其中所有发射和接收天线都是时钟同步的。 $\lambda$ 表示载波的波长。在本例中， $M_t=6$ 个发射天线和 $M_r=8$ 个接收天线沿方位角方向部署在离散的网格点上，间隔为 $50 \lambda$ 。该天线以半波长（含缺失）间隔均匀分布，来自每个发射天线的波形以这样一种方式发射，在每个接收天线上，每个发射天线的信号可以通过DDMA分离。因此，采用MIMO雷达技术，合成了一个具有48个阵元、 $75 \lambda$ 孔径的虚拟SLA ，如图3.7所示。

注：这幅图绘制不佳，容易混淆，下文中有说明收发阵列的位置

与具有半波长阵元间距和相同孔径的ULA相比，合成的虚拟 SLA 中某些位置的大量阵元“缺失”（在图3.7的虚拟阵列中用零表示）。然而，SLA方法仅使用 $M_{\mathrm{t}}+M_r=14$ 个物理天线，阵列互耦合效应显着降低（稀疏阵列的优势之一）[6]。假设阵列快拍包含 $K$ 个目标的DOA信息 $\theta_k, k=1, \cdots, K$ 。在没有噪声的情况下，SLA 响应可以表示为：

$\mathbf{y}_S=\mathbf{A}_S \mathrm{~s}（3.14）$ 其中， $\mathbf{A}_S=\left[\mathbf{a}_S\left(\theta_1\right), \cdots, \mathbf{a}_S\left(\theta_K\right)\right]$ 是流形矩阵：

$\mathbf{a}_{\mathrm{S}}\left(\theta_k\right)=\left[1, e^{j \frac{2 \pi}{\lambda} d_1 \sin \left(\theta_k\right)}, \cdots, e^{j \frac{2 \pi}{\lambda} d_{M_t M_r-1} \sin \left(\theta_k\right)}\right]^T（3.15）$ $d_i$ 是SLA的第i个阵元与参考阵元之间的距离。此外， $\mathbf{s}=\left[\beta_1, \cdots, \beta_K\right]^T$ ，其中 $\beta_k$ 表示第 k 个目标的振幅。考虑一个虚拟ULA，它跨越整个阵列孔径，且阵元间距 $d=\lambda / 2$ ，该虚拟ULA中天线总数为 $M_o$ ，无噪声阵列响应表示为：

$\mathbf{y}_o=\mathbf{A}_o \mathbf{s}（3.16）$ 其中， $\mathbf{A}_o=\left[\mathbf{a}_o\left(\theta_1\right), \cdots, \mathbf{a}_o\left(\theta_K\right)\right]$ 是阵列流形矩阵：

$\mathbf{a}_o\left(\theta_k\right)=\left[1, e^{j \pi \sin \left(\theta_k\right)}, \cdots, e^{j \pi\left(M_O-1\right) \sin \left(\theta_k\right)}\right]^T（3.17）$ 设 $N_2=\left\lfloor M_0 / 2\right\rfloor$ ，且 $N_1=M_0-N_2 \geq N_2$ 。我们可以将 $\mathbf{y} \in \mathbb{C}^{M_0 \times 1}$ 公式化为长度为 $N_1$ 和 $N_2$ 的个重叠子数组。基于这些子数组，我们建立了Hankel矩阵，它的第 $(i, j)$ 个元素是 $\mathbf{Y}_{i j}=\mathbf{y}_{i+j-1}$ ，其中, $i=1, \cdots, N_1, j=1, \cdots, N_2$ 。 Hankel矩阵Y具有Vandermonde分解[63]，表示为：

$\mathbf{Y}=\mathbf{B} \mathbf{\Sigma} \mathbf{B}^T（3.18）$ 其中， $\mathbf{B}=\left\lceil\mathbf{b}\left(\theta_1\right), \cdots, \mathbf{b}\left(\theta_K\right)\right\rceil$ 是子阵列流形矩阵：

$\mathbf{b}\left(\theta_k\right)=\left[1, e^{j \frac{2 \pi}{\lambda} d \sin \left(\theta_k\right)}, \cdots, e^{j \frac{2 \pi}{\lambda}(N-1) d \sin \left(\theta_k\right)}\right]^T（3.19）$ $\boldsymbol{\Sigma}=\operatorname{diag}\left(\beta_1, \cdots, \beta_K\right)$ 是对角矩阵。因此，当 $N_2 \geq K$ 时，Hankel矩阵Y的秩是K 。

我们可以类似地根据SLA配置构造一个Hankel矩阵X，但与从完整 ULA 构造的矩阵 Y 不同，矩阵 X 有许多缺失项，因此可以被视为 Y 的子样本。在一定条件下，通过求解一个以观测项为条件的松弛核范数优化问题，可以完全恢复缺失的元素[64]：

$\min \|\mathbf{X}\|_* \text { s.t. } \mathcal{P}_{\Omega}(\mathbf{x})=\mathcal{P}_{\Omega}(\mathbf{Y})（3.20）$ 其中， $\|\cdot\|_*$ 表示矩阵的核范数， $\mathcal{P}_{\Omega}(\mathbf{Y})$ 是采样算子， $\Omega$ 为由SLA确定的观测项的指标集。在实际应用中，样本受到噪声的干扰，即 $[\mathbf{X}]_{i j}=[\mathbf{Y}]_{i j}+[\mathbf{E}]_{i j},(i, j) \in \Omega, \quad[\mathbf{E}]_{i j}$ 表示噪声。在这种情况下，矩阵补全问题表述为：

$\min \|\mathbf{X}\|_* \quad \text { s.t. } \quad\left\|\mathcal{P}_{\Omega}(\mathbf{X}-\mathbf{Y})\right\|_F \leq \delta（3.21）$ $\|\cdot\|_F$ 表示矩阵的Frobenius范数，而 $\delta$ 是由噪声功率决定的常数。

一旦恢复了矩阵 Y，就可以通过对它的反对角项求平均来获得完整的阵列响应。可以根据与完成矩阵 Y 相对应的阵列响应，通过标准阵列处理方法来估计 DOA。

为了实现高方位角分辨率，将多个汽车雷达收发器级联在一起，在方位角上合成一个个大型稀疏阵列。在这里，我们考虑图 3.7 中所示的同一物理阵列，其中 $M_t=6$ 个发射天线和 $M_v=8$ 个接收天线沿水平方向交错放置，如下所示：

$\begin{aligned} & l_{\mathrm{TX}}=[1,19,37,55,79,91] \lambda / 2, \& l_{\mathrm{RX}}=[12,22,25,39,58,62,70,73] \lambda / 2 \end{aligned}$ 合成了一个总共有48个阵元的虚拟阵列。发射和接收天线以及虚拟阵列如图 3.7 所示。

两个目标在同一距离 $R=100m$ ，速度 $v=10 m/s$ 。它们各自的方位角是 $\theta_1=0^{\circ}$ 和 $\theta_1=20^{\circ}$ ，两个目标首先在距离-多普勒中分离，每个虚拟稀疏阵列对应的距离-多普勒频谱中的复数峰值构成了用于方位角搜索的阵列快拍。

图3.7所示的虚拟SLA作为秩为2的Hankel 矩阵 $\mathbf{Y} \in \mathbb{C}^{N \times N}$ ， $N=76$ 的确定性采样器，它是基于具有152个元素的ULA的阵列响应构建的，SLA 的阵列响应由其第一个元素归一化。基于观察到的 SLA 响应，Hankel 矩阵 Y 通过奇异值阈值 (SVT) 算法完成[65]，令 $\widehat{\mathbf{Y}}$ 表示完整的 Hankel 矩阵。可以通过取矩阵 $\widehat{\mathbf{Y}}$ 的反对角元素的平均值来重建完整的 ULA 响应。完整的全阵列孔径大小为 $76 \lambda$ 。直观地，在这个模拟设置中，矩阵补全有助于提高阵列处理的信噪比，SNR提高了了大约 $10 \log 10(152 / 48) \approx 5 \mathrm{~dB}$ 。

在图 3.8 中，我们绘制了两个目标的角度谱。分别对空洞为零的原始SLA和通过矩阵补全的完整阵列进行FFT，得到两个方位角谱。研究发现，SLA的FFT以较高的旁瓣代价生成了对应于正确方位方向的两个峰值，因此在原始SLA下很难检测到方位方向上的两个目标。相反，完整的全阵列在角度谱中显示出两个清晰的峰值对应于正确的方位角位置，并且在完整的全阵列中旁瓣得到了极大的抑制。

3.3.2.2 基于矩阵补全的二维稀疏阵列插值

汽车雷达必须精确地测量目标的仰角，才能实现自动驾驶的功能。因此，汽车雷达需要在方位角和仰角两个方向上提供高角分辨率的点云。图3.9显示了通过级联4个汽车雷达收发机获得的具有12个发射天线和16个接收天线的MIMO雷达，发射和接收天线随机部署在 $[0,100](\lambda / 2) \times[0,120](\lambda / 2)$ 区域内，以合成一个196个阵元的MIMO 2D虚拟稀疏阵列。当载波频率 $f_{\mathrm{c}}=77 \mathrm{GHz}$ 时，2D物理阵列对应的形状因子约为 $20 \times 24 \mathrm{~cm}^2$ 。

应该注意的是，在实践中应该考虑角分辨率和雷达体积之间的权衡，以便雷达可以结合在车辆保险杠后面。合成的2D虚拟稀疏阵列的维数是 $D_y \times D_x=183(\lambda / 2) \times 194(\lambda / 2)$ ，这可以看作是在水平和垂直方向上具有半波长间距的相同尺寸的均匀矩形阵列(URA)的子空间奈奎斯特采样。方位角和f俯仰角分辨率分别表示为[43]：

$\begin{aligned} & \Delta \theta=2 \arcsin \left(\frac{1.4 \lambda}{\pi D_x}\right) \approx 0.53^{\circ} \& \Delta \phi=2 \arcsin \left(\frac{1.4 \lambda}{\pi D_y}\right) \approx 0.56^{\circ} \end{aligned}（3.22~3.23）$

本例中成像雷达的角分辨率与 Velodyne LiDAR HDL-32E 相当，其水平分辨率在 0.1°和 0.4° 之间，具体取决于旋转速率，垂直分辨率为 1.33°[66]。

考虑具有半波长间隔的 $M_1 \times M_2$ URA 的一般情况，如图 3.10 所示，其中 URA 位于 x-y 平面上。假设第 k 个点目标具有方位角 $\theta_k$ 和俯仰角 $\phi_k$ 。令 $\chi_k$ 表示第 k 个目标与 x 轴之间的角度， $\phi_k$ 表示第 k 个目标与 y 轴之间的角度。那么， $\cos \left(\chi_k\right)=\sin \left(\phi_k\right) \cos \left(\theta_k\right), \cos \left(\varphi_k\right)=\sin \left(\phi_k\right) \sin \left(\theta_k\right)$ 。因此:

$\begin{gathered} \theta_k=\arctan \left(\frac{\cos \left(\varphi_k\right)}{\cos \left(\chi_k\right)}\right) \\phi_k=\arcsin \left(\sqrt{\cos ^2\left(\chi_k\right)+\cos ^2\left(\varphi_k\right)}\right) \end{gathered}(3.24~3.25)$

一旦角 $\chi_k$ 和角 $\varphi_k$ 已知，方位角 $\theta_k$ 和俯仰角 $\phi_k$ 就可以唯一确定。为了简化信号建模，我们在URA中使用角 $\chi_k$ 和角 $\varphi_k$ 进行信号建模。

URA阵列在x- y平面上的第 $\left(m_1, m_2\right)$ 个阵元，对第 K个目标的响应（该目标与 x轴的角为 $\chi_k$ ，与 y 轴的角为 $\varphi_k$ ， $k=1, \ldots, K$ ）可以写成：

$x_{m_1, m_2}=\sum_{k=1}^K \beta_k e^{j \pi\left(\left(m_1-1\right) \sin \left(\chi_k\right)+\left(m_2-1\right) \sin \left(\varphi_k\right)\right)}（3.26）$ 其中， $1 \leq m_1 \leq M_1, \quad 1 \leq m_2 \leq M_2 \text { 。令 } \mathbf{M}=\left[x_{m_1, m_2}\right]_{0 \leq m_1 \leq M_1, 0 \leq m_2 \leq M_2}$ 为数据矩阵，其中的元素为(3.26)中定义的URA阵列响应，我们可以构造一个 $N_1 \times\left(M_1-N_1+1\right)$ 块 Hankel 矩阵为：

$\mathbf{Y}_E=\left[\begin{array}{cccc} \mathbf{Y}_0 & \mathbf{Y}_1 & \cdots & \mathbf{Y}_{M_1-N_1} \\mathbf{Y}_1 & \mathbf{Y}_2 & \cdots & \mathbf{Y}_{M_1-N_1+1} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\mathbf{Y}_{N_1-1} & \mathbf{Y}_{N_1} & \cdots & \mathbf{Y}_{M_1-1} \end{array}\right]（3.27）$ 其中，

$\mathbf{Y}_m=\left[\begin{array}{cccc} x_{m, 0} & x_{m, 1} & \cdots & x_{m, M_2-L} \x_{m, 1} & x_{m, 2} & \cdots & x_{m, M_2-L+1} \\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \x_{m, L-1} & x_{m, L} & \cdots & x_{m, M_2-1} \end{array}\right]（3.28）$ 是一个 $L \times\left(M_2-L+1\right)$ 的 Hankel 矩阵。可以证明，当 $N_1 \geq K, \quad L \geq K$ 时，矩阵 $\mathbf{Y}_E$ 的秩为 K 。

通过选择发射和接收天线的位置，我们的目标是合成一个稀疏的二维阵列，这可以看作是 URA 的空间子采样。在稀疏阵列阵列响应的基础上，通过补全块Hankel 矩阵 $\mathbf{Y}_E$ 可以得到URA的阵列响应。分块 Hankel 矩阵补全问题表述为：

$\min \left\|\mathbf{X}_E\right\|_* \quad \text { s.t. } \quad \mathscr{P}_{\Omega}(\mathbf{X})=\mathscr{P}_{\Omega}(\mathbf{M})（3.29）$ 其中 $\Omega$ 表示由二维稀疏虚拟阵列元素的位置组成的观测集， $\mathbf{X}_E$ 为由矩阵 X 根据 (3.27) 和 (3.28) 构造的分块Hankel 矩阵。在有干扰的观察场景中，M 被替换为 $\mathbf{M}^o=\left[x_{m_1, m_2}^o\right]_{0 \leq m_1 \leq M_1, 0 \leq m_2 \leq M_2}$ ， $x_{m_1, m_2}^o=x_{m_1, m_2}+n_{m_1, m_2}$ 。其中 $x_{m_1, m_2}^o$ 表示观察到的信号， $\mathbf{E}=\left[n_{m_1}, m_2\right]_{0 \leq m_1 \leq M_1, 0 \leq m_2 \leq M_2}$ 是噪声项。我们假设噪声是有界的，即 $\left\|\mathscr{P}_{\Omega}(\overline{\mathbf{E}})\right\|_{\mathrm{F}} \leq \delta$ 。噪声块 Hankel 矩阵补全问题表述为：

$\min \left\|\mathbf{X}_E\right\|_* \text { s.t. }\left\|\mathscr{P}_{\Omega}\left(\mathbf{X}-\mathbf{M}^{\circ}\right)\right\|_{\mathrm{F}} \leq \delta（3.30）$ 上述优化问题可以在 CVX 工具箱[68]中解决。在仿真中，我们采用SVT算法[65]来解决矩阵补全问题，其在每次迭代中更新低秩矩阵的计算成本为m 阶， m为观察集 $\Omega$ 的基数 , 即 $m=|\Omega|$ 。

我们考虑使用图 3.9 中所示的相同 2D 物理阵列，通过级联 4 个汽车雷达收发器来进行联合高分辨率方位角和俯仰角估计。这12个发射天线和16个接收天线随机部署在 $[0,100(\lambda / 2)] \times[0,120(\lambda / 2)]$ 区域，合成一个 196 个阵元的 2D MIMO 虚拟阵列。级联汽车雷达外形尺寸约为 20×24 厘米。在图 3.9 中，二维稀疏数组的维数为 $D_y \times D_x=183(\lambda / 2) \times 194(\lambda / 2)$ ，总共需要35,502个阵元来构建具有半波长阵元间距的相同尺寸的 URA。也就是说，虚拟稀疏阵列只占URA总元素的0.54%。

考虑具有相同距离和多普勒单元的两个目标，它们与 x 和 y 方向的角度分别为 $\left(\chi_1, \varphi_1\right)=\left(-20^{\circ}, 5^{\circ}\right), \quad\left(\chi_2, \varphi_2\right)=\left(20^{\circ}, 10^{\circ}\right)$ 。稀疏阵列快拍由每个稀疏阵列元素对应的距离-多普勒频谱中的复峰值组成。阵列响应的输入 SNR 设置为 20 dB，这在汽车雷达中是合理的，因为快时间和慢时间相干处理提供了高处理增益。（这句话很重要！）

然后我们使用196个阵元的二维稀疏阵列的一个阵列快拍，构建一个维数为9009×8928的分块Hankel矩阵，只有 0.78% 的 Hankel 矩阵元素是非零的。基于二维稀疏阵列的一个快拍，通过SVT算法完成块Hankel矩阵，然后获得完整的URA。在此模拟设置中，矩阵补全贡献了大约 $10 \log 10(35,502 / 196) \approx 22.5dB$ 的SNR增益用于阵列处理。

图 3.11 和 3.12 分别绘制了二维稀疏阵列和补全的 URA 下两个目标的方位俯仰角谱。发现稀疏阵列和 URA 都会产生两个峰值，对应于目标的正确方位角和俯仰角。然而，在 2D 稀疏阵列的方位俯仰角频谱中，在整个方位角和俯仰角 FOV 上存在高旁瓣。相反，在补全的 URA 中，高旁瓣得到了缓解。

3.3.2.3 SLA优化

或者，可以使用空间 CS思想[69]来完成稀疏阵列的角度搜索，而不是填充空洞。在这种情况下，关键问题是如何选择阵元的位置使虚拟SLA波束方向图的峰值旁瓣电平(PSL)较低，以及如何进行角度搜索。对于给定数量的天线[70]，没有确定实现最小PSL的天线位置的解析解，最优稀疏阵列设计需要全局优化技术，例如粒子群优化。

在SLA场景中，可以很容易地验证基矩阵的相干性(见3.9)是SLA阵列波束图[44]的PSL。因此，相干性，或者说稀疏阵列的PSL在保证CS[54]的均匀恢复方面起着关键作用。如果SLA的PSL较低，则可以通过CS或IAA使用SLA进行角度搜索。

在图 3.13 中，我们给出了一个孔径为 $19 \lambda$ 的虚拟 SLA 示例，该 SLA 使用四发射四接收天线与 MIMO 雷达技术合成。第一个和第四个发射/接收天线部署在物理孔径的边缘，而其余天线的选择使得 PSL 为 -9.1dB。使用图 3.13 的 SLA 时，通过 IAA 进行的角度估计如图 3.14 所示。