用二分法求方程的近似解
知识清单
一、二分法的定义
1．满足的条件：函数 ()y f x? 在区间 ? ?ab， 上连续不断且 ① 0? .
2．过程：通过不断地把函数 ()fx的零点所在的区间 ② ，使区间的两个
端点逐步逼近 ③ ，进而得到零点近似值 .
这种求函数零点近似值的方法叫做二分法 .
二、二分法的步骤
给定精确度 ? ，用二分法求函数 ()fx零点近似值的步骤如下：
1．确定区间 ? ?ab， ，验证 ④ ，给定精确度 ? .
2．求区间 ()ab， 的中点 c .
3．计算 ()fc：
(1)若 ( ) 0fc? ，则 ⑤ 就是函数的零点；
(2)若 ( ) ( ) 0f a f c??，则令 bc? (此时零点 0x? ⑥ )；
(3)若 ( ) ( ) 0f c f b??，则令 ac? (此时零点 0x? ⑦ ).
4．判断是否达到精确度 ? ：即若 ⑧ ，则得到零点近似值 a (或 b )；否则
重复 2~4.
重要知识点讲解
知识点一：二分法概念的理解
【解题指导】使用二分法的前提条件： ()y f x? 在区间 [,]ab 上连续，且有
( ) ( ) 0f a f b??；
例题 1 下列图像所表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
变式 1 下图中的函数图像均与 x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是
（填序号） .
知识点二：利用二分法求函数零点的近似值
例题 1 用二分法求函数 ? ?y f x? 在区间 ? ?2,4 上的唯一零点的近似值时，验证
? ? ? ?2 4 0ff??，取区间 ? ?2,4 的中点 1 2432x ???，计算得 ? ? ? ?120f f x??，则此时
零点 0x 所在的区间是（ ）
A. ? ?2,4 B. ? ?2,3 C. ? ?3,4
D. 无法确定
变式 1 用二分法研究函数 ? ? 3 31f x x x? ? ?的零点时，第一次经计算 ? ?00f ? ，
? ?0.5 0f ? ，可得其中一个零点 0x? ；第二次应计
算 ，这时可判断 0x? .
变式 2 用二分法求方程 3 2 5 0xx? ? ? 在区间 ? ?2,3 内的实根，取区间中点
0 2.5x? ，那么下一个有根区间是 .
例题 2 用二分法求函数 ? ? 34xf x x? ? ? 的一个零点，其参考数据如下，据此数
据，可得方程 3 4 0x x? ? ? 的一个近似解（精确度为 0.01 ）为 .
变式 3 若函数 ? ? 32 22f x x x x? ? ? ?的一个正数零点附近的函数值用二分法计
算，其参考数据如下，那么方程 322 2 0x x x? ? ? ?的一个近似解（精确度为 0.1 ）
为（ ）
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4
D. 1.5
? ?1.6000 0.200f ? ? ?1.5875 0.133f ? ? ?1.5750 0.067f ?
? ?1.5625 0.003f ? ? ?1.5562 0.029f ?? ? ?1.5500 0.060f ??
重难点讲解
【解题指导】证明在 (,)ab 内，方程有唯一实根（或函数有唯一零点）的方法：
证明 ( ) ( ) 0f a f b??，且 ()fx在 (,)ab 上单调。
例题 1 证明方程 6 3 2xx??在区间 ? ?1,2 内有唯一一个实数解，并求出这个实数解
（精确度为 0.1 ） .
课后练习
1.函数 ??fx的图像如下图所示，则函数 ??fx的变号零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2.在用二分法求函数 ??fx的一个正实数零点时，经计算， ? ?0.64 0f ? ，
? ?0.72 0f ? ， ? ?0.68 0f ? ，则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为
（ ）
A. 0.68 B. 0.72 C. 0.7 D.
0.6
3.设 ? ? lg 3f x x x? ? ?，用二分法求方程 lg 3 0xx? ? ? 在 ? ?2,3 内近似解的过程中得
? ?2.25 0f ? ， ? ?2.75 0f ? ， ? ?2.5 0f ? ， ? ?30f ? ，则方程的根落在区间（ ）
A. ? ?2,2.25 B. ? ?2.25,2.5
??12f ?? ? ?1.5 0.625f ? ? ?1.25 0.984f ??
? ?1.375 0.260f ?? ? ?1.4375 0.162f ? ? ?1.40625 0.054f ??
C. ? ?2.5,2.75 D. ? ?2.75,3
4.已知函数 ? ? 3 3 8xf x x? ? ?，用二分法求方程 3 3 8 0x x? ? ? 在 ? ?1,3x? 内近似解的
过程中，取区间中点 0 2x? ，那么下一个有根区间为（ ）
A. ? ?1,2 B. ? ?2,3
C. ? ? ? ?1,2 2,3或 D. 不能确定
5. 为了求函数 ? ? 2 3 7xf x x???的一个零点，某同学利用计算器得到自变量 x 和
函数 ??fx的部分对应值，如下表所示，则方程 2 3 7x x??的近似解（精确度
0.1 ）可取为（ ）
A. 1.32 B. 1.39 C. 1.4 D.
1.3
6. 若函数 ? ? 3log 3f x x x? ? ?的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考
数据如下，那么方程 33 log 0xx? ? ? 的一个近似值（精确 度 0.1 ）为（ ）
? ?2 0.3691f ?? ? ?2.5 0.3340f ?
? ?2.25 0.0119f ?? ? ?2.375 0.1624f ?
? ?2.3125 0.0756f ? ? ?2.28125 0.0319f ?
A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3
D. 2.4
7.用二分法求方程 2 2x? 的正实根的近似解（精确度 0.001 ）时，如果选取初始区
间是 ? ?1.4,1.5 ，则要达到精确度要求至少需要计算 次 .
x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625
??fx 0.8716? 0.5788? 0.2813? 0.2101 0.32843 0.64115
8.某同学在借助计算器求 “ 方程 lg 2xx?? 的近似解（精确度为 0.1 ） ” 时，设
? ? lg 2f x x x? ? ?，算得 ??10f ? ， ? ?20f ? ；在后边过程中，他又用 “二分法 ”取了
四个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 1.8x? .那
么他再取的 x 的四个值依次是 .
9.用二分法求方程 3 80x ?? 在区间 ? ?2,3 内的近似解，求经过几次二分后精确度能
达到 0.01 ？
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