公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。 开号宗旨:为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台,提升教学能力,促进专业发展。本公众号致力传播数学文化,发表教研成果,交流教学经验,探讨数学问题,展示解题方法,分享教学资源,为服务高中教学作贡献。 邹生书,男,1962年12月出生,中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。 公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式,一般只接受word文档格式的电子稿件,文稿请认真审查,防止错漏,文责自负。 投稿邮箱:zoushengshu@163.com; 投稿微信号:13297228197。 本公众号对优秀作者和名师实行“双推学习”,在分享文章的同时推介作者简历,让读者朋友更好的了解作者的研究成果和研究方向,以便进一步研读作者的相关文章。 欢迎转载本公众号文章,转载请注明: “文章来源:邹生书数学”等字样。 一道背景深厚的椭圆离心率难题及其解法研究 湖北省阳新县高级中学 邹生书 在数学群里探讨数学问题及其解法的好处是显然易见的,大家可以相互鼓励,相互激发,相互启迪,充分发挥集体的智慧和力量,有时可以在短时间内通过讨论全面彻底地解决问题。 最近一道椭圆离心率难题在“高中数学解题交流二群”引起了群友们的热烈讨论,纷纷抛出对该题的解法进行交流,前面群友先发出的解法对后面群友的求解有启发和借鉴作用。 这道椭圆离心率难题,通过集体研讨,解法越来越简单,而问题的本质也伴随着讨论渐渐地浮出水面。 笔者根据群友们的解法及个人的理解作了一些梳理和背景挖掘,问题及解法和背景探究如下: 问题解决到此已经几近完美了。但是,这是一道选择题,显然这些解法都显得小题大做费时耗力,不符合小题巧做的解题原则,那么能否小题巧做?要小题巧做,我们就必须弄清命题意图,命题者到底在考查什么,问题的本质是什么? 由解法2可知,这个问题的本质就是椭圆共轭直径的性质。 连结椭圆上任意两点的线段叫弦,过椭圆中心的弦叫直径。平行于直径DE的弦的中点的轨迹 AB 和直径 DE 互为共轭直径。 椭圆的任一条直径必平分其共轭弦。椭圆的共轭直径有无数对。 当一对共轭直径互相垂直时,即为椭圆的长轴和短轴。 椭圆共轭直径(弦)有如下性质: 下面我们回到原问题,挖掘条件背后隐藏的东西,给出一个极限解法。注意到题设条件中向量等式中的系数不等于1,为什么不能等于1?这一条件隐藏什么秘密?等于1会怎样?会发生什么?当系数等于1时,点M为弦AC和BD的中点,而在椭圆中以M为中点的弦有且只有一条。也就是说当系数趋向于1时,弦AC和BD趋向于重合。两弦重合时,点M也是AB的中点,根据上述共轭直径(弦)的性质有: 群研——让解法由繁到简, 让问题本质逐渐显露出来 ——对一道椭圆离心率试题的解法探究 高中数学解题交流二群
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