2021全国硕士研究生入学统一考试 数学(三) (科目代码:303) 一、选择题(1~10小题,每小题5分,共50分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的,请将所选项前的字母写在题后的括号内.) (1) 当工—0时,「(J —l)dz 是工?的( ). J 0 (A)低阶无穷小 (B)等价无穷小 (C)高阶无穷小 (D)同阶但非等价无穷小 [eJ - 1 ""在「0 (2) 函数 /(x ) = J -r 处( ). 11, 工=0 (A)连续且取极大值 (B)连续且取极小值. (C)可导且导数为零 (D)可导且导数不为零 (3)设函数/(j; ) =ax — 61n x (a > 0)有两个零点,贝[j?的取值范围是( ). a (A)(e, +) (B)(0,e) (C) (oJ) (6(右+呵 (4) 设函数 fCx ,y)可微,且 +1 ,e x ) = + l)2 ,j;2) = Zz''ln z ,则 d/(l ,1)=( ). (A) dr + Ay (E)cLz — djy dj/ (C) (D) -dj/ (5) 二次型/XG,工2''力3)=(工1 + ^2)2 +(S + ^3)2 —(広3 — Ml)''的正惯性指数与负惯性指 数依次为( ). (A)2,0 (B)l,l (02,1 (D)l,2 ,a「为4阶正交矩阵』= (6)设 A (ct i 9 u 2, ? 3 ,k表示任意常数,则线性方程 组BX =0的通解X =( ). (A)(Z 2 + 。3 Ct 4 + ku ! (B)(x! + of 3 +(X 4 + ka 2 (Oct ] (x 2 + s ka 3 (D)0t] (X 2 + 。3 H- kci 4⑺已知矩阵"I; 若存在下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q,使嘶 1 2 —5) 为对角矩阵,则P,Q可以分别取( ). /I 0 0\ /I 0 1 (A) 0 1 0,0 1 3 ''o 0 U ^0 0 1 / 1 0 0\ d 0 1 (C) 2 - 1 0,0 1 3 \一3 2 U ''o 0 1 (8)设为随机事件,且0 (A)若 P(A | B) = P(A),则 P(A | B) = P(A) (E)若 P(A | B) > P(A),则 P(A | B) > P(A) (C)若 PGA | B) > P(A | B),则 P(A | B) > P(A) (D)若 P(A | A U B)> P(A | A U B),则 P(A) > P(E) ⑼设(Xi,Yi),(X2,Y2),?“,(X”,Y”)为来自总体N(4,“2;看,话;°)的简单随机样本, -^Yt,6= X-Y,则( ). 令 0 =幻一 〃2,x = — ,y= ",=1 ",=i 2 I 2 时+ ^2 — 2po 1 (7 2 6十兀 (A)E(0) =0,D(0) (B)E(0) =0,D(0) n n 2 i 2 十6 (D)E(0)工 0,D(0)= ------ -——匕丄^ (C)E(0)工 0,D(&) n n 1—0 字,利用来自总 (10)设总体X的概率分布为P{X=1} ,P{X =2} =P{X =3}= 2 4 体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得0的最大似然估计值为( ). 1 3 1 5 (A) T (B) y (C) y (D)y 二、填空题(11?16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在题中的横线上.) (11)若 y hcose- 77,则翌 | = ClX I x = l —— (13)设平面区域D由曲线夕=丘sin 7tj; (0 a : £1)与z轴围成,则D绕z轴旋转所成的 旋转体的体积为________ . (14)差分方程=t的通解为yt =________ . x x 1 2工 —1 jc 2 (15)多项式 /(j : ) = £ ]中工3项的系数为 1 x 2 一 1 1 X(16) 甲,乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球,先从甲盒中任取一球,观察颜色后放入乙 盒中,再从乙盒中任取一个球,令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数 ,则X 与Y的相关系数为________ . 三、解答题(17?22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (17) (本题满分10分) _ 1 11 已知lim a arctan ---- (1十| jc | )"存在,求a的值. ■r—0 X (18)(本题满分12分) (T — ])2 I 2 求函数/''Cz,y)=21n|_r | +比_ 化 ”的极值. 2x (19)(本题满分12分) 设有界区域D是圆r2+y2= 1和直线夕=工以及工轴在第一象限围成的部分,计算二重 积分""彳—y 2 )dj : dy. D(20)(本题满分12分) 设n为正整数,y =yn (工)是微分方程xy'' — (n + 1)夕=0的满足条件歹”(1) 的解. (I )求夕”(夂); (n)求级数工几(工)的收敛域及和函数. n = 1 (21)(本题满分12分) /2 1 0\ 设矩阵A =1 2 0仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求 ''1 a J 可逆矩阵P,使P~ AP为对角矩阵. (22)(本题满分12分) 在区间(0,2)上随机取一点,将该区间分成两段,较短一段的长度记为X,较长一段的长 y 度记为Y,令2=-. (I )求X的概率密度; (U)求Z的概率密度; (DI)求 E(y ). |