高中数学 必修第一册 人教A版3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、函数
的最大值、函数的最小 值.2.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性.3.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的
单调区间,并判断单调性.4.理解函数的最大(小)值的作用和实际意义,会借助单调性求函数的最大(小)值.增函数与减函数的定义 特别
地,当函数y=f(x)在它的定义域上⑦ 单调递增????或⑧ 单调递减????时,我 们就称它是⑨ 增函数????或⑩ 减函数??
??. 如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间 具有(严格的)? 单调性????,区间
D叫做y=f(x)的? 单调区间????.函数的最大值与最小值科考队对“早穿棉袄午穿纱,围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学
考 察,如图是某天气温随时间的变化曲线. 请根据曲线图回答1~3题.?1.该天的最高气温为25 ℃,最低气温为-5 ℃.?( √
)2.该天气温在6时至17时内随着时间增加而增加.( √ )3.该天的温差是20 ℃.?(????? )4.函数f(x)取最大值时
,对应的x可能有无限多个.( √ )提示:例如:f(x)=?f(x)的最大值为1, f(x)取最大值时,x的值的集合为(0,+∞)
,有无数个值.5.若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数. (?????
)提示:例如:f(x)=?f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,但由图象(图略)知函数f(x)在区间(1,3)上不是
增函数.6.若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f (b).( √
)提示:由于函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)的最小值是f(a),最大值是f(b
).如何判断或证明函数的单调性?判断或证明函数单调性的常用方法1.定义法.根据增函数、减函数的定义,按照“取值→作差→变形→判断符
号→下 结论”进行判断.单调性判断的等价结论:当x∈D时,f(x)是增函数,?x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x
1)-f(x2)]>0??>0.当x∈D时,f(x)是减函数,?x1,x2∈D且x1≠x2,则(x1-x2)[f(x1)-f(x2
)]<0??<0.2.图象法.根据函数图象的升降情况进行判断.3.直接法.运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数
、反比例 函数的单调性均可直接得出.4.复合函数单调性的判断依据如下:(1)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数
或都是减函数,则y=f(g(x))为增函 数;(2)若u=g(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y
=f(g(x))为 减函数.列表如下: 复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调 递增;相异时单调递减
.利用定义证明下列函数的单调性:(1)f(x)=x3在R上是增函数;(2)f(x)=?在[0,+∞)上是增函数.证明????(1)
任取R上的两个实数x1,x2,且x1 ,∵x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(
x1) x2)=?-?=?=?.∵0≤x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) f(x)=?在[0,+∞)上是增函数.?? 设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y,f(xy)=f(x)+f
(y)恒成立,已知f (2)=1,且当x>1时, f(x)>0.(1)求f?的值;(2)判断y=f(x)在(0,+∞)上的单调性并
给出证明.思路点拨抽象函数问题解题的关键是根据结论对x,y进行赋值,通过赋值解决.解析????(1)∵对于任意正实数x,y, f(
xy)=f(x)+f(y)恒成立,∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0.当x=2,y=?时,有f?=f
(2)+f?,即f(2)+f?=0,又f(2)=1,∴f?=-1.(2)y=f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:任取x1,
x2∈(0,+∞),且x11,∴f ?>0,即f
(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 利用函数的单调性解不等式1.利用函数的单调
性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f”脱 掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.2.解
有关抽象函数的不等式问题的一般步骤:(1)将不等式化为f(x1) 2∈D,且x1x2. 根据函数的单调性确
定参数的取值范围1.利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1 2)>0) 恒成立求参数的取值范围.2.利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据 对称轴相对于所给单
调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出如何利用函数的单调性解决相关函数问题参数的取值范围.注意:若某个函数在
区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单 调的.对于分段函数由单调性求参问题,一般从两方面考虑:一方面每个分段
区间上函数 具有相同的单调性,由此列出相关式子; 另一方面要考虑分界点处函数值之间的大 小关系,由此列出另外的式子,从而解得参数的
取值范围.?? 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1) ???B )A.? ????B.?C.(0,2) ????D.(0,+∞)思路点拨利用单调性结合定义域去掉“f”,进而求解不等式组
.解析????函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有?解得? x)=?是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是?(????B )A.(-2,0) ????B.[-2,0)C.(-∞,1
] ????D.(-∞,0)思路点拨结合分段函数的单调性,讨论每段函数满足减函数时的条件以及两段函数分界点 处函数值的关系,列出不
等式组求解.解析????因为f(x)=?是定义在(-∞,+∞)上的减函数,所以?解得-2≤a<0.故实数a的取值范围是[-2,0)
.?? (1)已知f(x)=x2-2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围;(2)已知f(x)=-x3+ax
在(0,1)上是增函数,求实数a的取值范围.解析????(1)要使f(x)在(-∞,4]上是减函数,需满足x=-?≥4,解得a≤-
3.∴实数a的取值范围是(-∞,-3].(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1 -(-?+ax2)=(?-?)+a(x1-x2)=(x2-x1)(?+x1x2+?-a).∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴f(
x1)-f(x2)<0.∵00,?+x1x2+?<3,∴?+x1x2+?-a<0,∴a>?+x1x
2+?,∴a≥3.∴实数a的取值范围是[3,+∞). 求二次函数在某闭区间上最大(小)值问题的解法
1.含参数的二次函数最大(小)值问题的解法:解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由a
的符号确定抛物线的开口方向,根据对称轴x=h得出顶点的位置,再根据x的定义区 间结合大致图象确定最大或最小值.2.对于含参数的二
次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值;(2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值;
(3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数.求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.如何求二次函数在某闭区间
上的最大(小)值?? 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.思路点拨由于二次函数的最值与其图象的对
称轴位置有关,而题中函数图象的对称轴为直 线x=a,其位置不确定,所以应按函数图象的对称轴与x轴的交点的横坐标和区间[0, 2]的
相对位置进行分类讨论.解析????f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.(1)当a<0时,由图①可知, f
(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a.? (2)当0≤a≤1时,由图②可知, f(x)min=f(
a)=-1-a2, f(x)max=f(2)=3-4a. (3)当1 2, f(x)max=f(0)=-1. (4)当a>2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f
(0)=-1.导师点睛????本题不是分a<0,0≤a≤2,a>2三种情况讨论,而是分四种情况,这是由于 抛物线的对称轴在区间[0
,2]内时,最小值是在顶点处取得的,但最大值有可能是f (0),也有可能是f(2).本题考查了直观想象及逻辑推理的核心素养.??
求函数f(x)=x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最小值g(t).思路点拨因为图象的对称轴固定,区间不定,所以可以从三个方面
进行讨论:①图象的对称轴 在区间左侧;②图象的对称轴在区间右侧;③图象的对称轴在区间内.解析????f(x)=x2-2x+2=(x
-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,其图象的对称轴为直线x=1.? 当t+1<1,即t<0时,函数图象如图①所示, f(x
)在区间[t,t+1]上为减函数,所以g(t)=f(t+1)=t2+1;当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图象如图②所示,g(t)=f(1)=1;当t>1时,函 数图象如图③所示, f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以g(t)=f(t)=t2-2t+2. 综上,可得g(t)=??? 已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,求m的取值范围.解析????作出函数 f(x) =x2-2x+3=(x-1)2+2的图象如图所示,由图可知f(1)=2,f(0)=f(2)= 3,因为f(x)min=2, f(x)max=3,所以结合图象可得1≤m≤2.? |
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