高中数学 必修第一册 人教A版5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定
义.2.掌握三角函数的定义域、值域及三角函数在各象限的符号.3.掌握公式一,并会应用. 1.设α是一个任意角,α∈R,它的终边O
P与单位圆相交于点P(x,y).?(1)把点P的纵坐标y叫做α的① 正弦函数????,记作sin α,即y=sin α;(2)把点
P的横坐标x叫做α的② 余弦函数????,记作cos α,即x=cos α;(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值?叫做α的③ 正切?
???,记作tan α,即?=tan α(x≠0).三角函数的定义由此我们可以推广到一般情况:设α为一个任意角,在α的终边上任取一
点P(异于原点),其坐标为(x,y),且OP=r=?(O为坐标原点),则sin α=④?????????,cos α=⑤?????
????,tan α=⑥?????(x≠0)????.?2.正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,记为正弦函数y=sin x
,定义域 为⑦????R????;余弦函数y=cos x,定义域为⑧????R????;正切函数y=tan x,定义域为⑨????
?????.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号公式一sin(α+k·2π)=⑩????sin α????,cos(α+k·2π)
=cos α,tan(α+k·2π)=?????tan α????,其中k∈Z.特殊角的三角函数值1.三角函数值的大小与点P(x,
y)在终边上的位置无关.?( √ )2.若sin α>0,则α是第一或第二象限角.?(????? )提示:若角α的终边落在y轴的非
负半轴上,也有sin α>0,此时角α不是第一或第二象 限角,故此题错误.3.终边相同的角的同名三角函数值相等.?( √ )4.若
角α是第二象限角,且P(x,y)是其终边上异于原点的一点,则cos α=?.?(????? )提示:根据三角函数的定义可知cos
α=?,这里有x<0.所以本题错误.5.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.?( √ )对三角函数定义的理解 江南水乡,水车
在清澈的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水倒进水渠,流向 绿油油的田地,流向美丽的大自然.? 问题1.把水车放在坐标系中,点P为水
车上一点,它转动的角度为α,水车的半径为r,你能 写出点P的坐标吗?提示:设P(x,y),根据三角函数的定义知sin α=?,co
s α=?,则P(rcos α,rsin α).2.三角函数在各象限的符号与角的终边上点P的坐标有怎样的关系?提示:三角函数值是比
值,与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关.3.如何解决有关角的终边在直线上的三角函数问题?提示:注意到角的终
边为射线,应分两种情况处理.4.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,如何求出角α的三角函数?提示:要根据问题的实际情况对参数进
行分类讨论,尤其是利用r=?(r>0)求r时,注意开方后的符号.?1.已知角α的终边求三角函数值的方法:(1)先利用射线与单位圆相
交,求出交点坐标,然后利用正弦、余弦、正切函数的定 义求出相应的三角函数值.(2)在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距
离为r=?(r>0),则sin α=?,cos α=?,tan α=?.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.2
.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行 分类讨论.3.三角函数值是一个实数,这个实数的大小与点P
(x,y)在终边上的位置无关,只由角 α的终边位置决定,即三角函数值的大小只与角有关.?? (1)求α=-?的正弦、余弦和正切值
;(2)已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0),且cos θ=?x,求sin θ,tan θ.思路点拨(1)作单位圆,利用三角函
数的定义求解;(2)求出x,y,r,利用定义求解.解析????(1)如图,在直角坐标系中作α=-?,则α的终边与单位圆的交点坐标为
?,所以sin?=-?,cos?=-?,tan?=?.?(2)由题意知r=|OP|=?,由三角函数的定义得cos θ=?=?.因为
cos θ=?x,所以?=?x,解得x=0或x=±1.又因为x≠0,所以x=±1.当x=1时,P(1,3),此时sin θ=?=?
,tan θ=?=3.当x=-1时,P(-1,3),此时sin θ=?=?,tan θ=?=-3.???? (1)判断sin 2
·cos 3·tan 4的符号;(2)若sin θtan θ>0,且cos θtan θ<0,判断sin θcos θ的符号.思路
点拨(1)先确定角所在象限,再进一步确定各式的符号;(2)先根据已知判断θ所在的象限, 然后确定sin θcos θ的符号.解析?
???(1)因为2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,所以sin 2
·cos 3·tan 4<0.(2)由sin θtan θ>0,知sin θ与tan θ同号,故θ是第一或第四象限角,由cos θ
tan θ<0,知cos θ,tan θ异号,故θ是第三或第四象限角.综上可知,θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>
0,所以sin θcos θ<0. 如图,这是一款钟面的设计图,此时秒针指向6.? 公式一的应用问题1.秒针再旋转两周,秒针的
位置变了吗?提示:没有,还指向6.2.我们知道sin 30°=?,那么sin 750°等于多少?提示:sin 750°=sin(2
×360°+30°)=sin 30°=?.?1.公式一的实质是终边相同的角的同一三角函数的值相等.利用它可将大角转化为 [0,2π
)范围内的角,再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的.2.利用公式一化简求值的步骤:(1)定形:将已知的任意角写成2kπ+α的
形式,其中α∈[0,2π),k∈Z.(2)转化:根据诱导公式,转化为求角α的某个三角函数值.(3)求值:求出角α的三角函数值.??
sin ?的值等于?(????C )A.-? ????B.-?C.? ????D.?思路点拨利用公式一,把角化为[0,2π)范围内
的角,再利用特殊角的三角函数值求解.解析????由题意结合公式一可得sin?=sin?=sin?=?.故选C.?? 求下列各式的
值:(1)cos?+tan?;(2)sin 810°+tan 1 125°+cos 420°.解析????(1)原式=cos?+tan?=cos?+tan?=?+1=?.(2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+60°)=sin 90°+tan 45°+cos 60° =1+1+?=?. |
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