2014年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）
1．，应选A.
2．，应选C.
3．，所以是奇函数，应选B.
4．，应选A.
5．，所以是函数的可去间断点．，，所以比与高价的无穷小是，应选D.
7．
，应选B.
8．，对应点为（0,1），
所以切线方程为，应选B.
9．在四个区间上均满足罗尔中值定理，至少存在4个实数使得成立，而方程是4次多项式方程，最多有4个实根.故方程实根的个数为4，应选C.
10．，
所以，应选B.
11．在区间上是增函数，有，从而
，应选C.
12．，只有一个拐点（0,1），应选B.
13. 答案：D
【解析】：因为;
所以渐近线方程为，应选D.
14. 答案：B
【解析】：,应选B.
15. 答案：C
【解析】：根据定积分几何意义可知，围成平面图形面积为，应选C.
16．，则，
所以，
即有，故，
从而，应选B.
17．，应选D.
18．是的广义积分，是收敛的，应选C.
19．，应选C.
20．中多项式函数是一次函数，指数函数中系数1是二重特征根，
特解应设，应选D.
21．， ，应选B.
22．，所以直线与平面垂直，应选D.
23．答案：D
【解析】：在平面内表示双曲线，从而在空间直角坐标内表示双曲柱面，应选D.
24．，应选B.
25．，所以点（0,0）函数的驻点，应选A.
26．，应选A.
27. 答案：C
【解析】：积分区域为，画出图形，也可表示为，应选C.
28. 答案：A
【解析】：从(0,0)到(1,0)曲线可表示为从0 变到1，有，
从(1,0)到(1,1)曲线可表示为从0 变到1，，故有，应选A.
29. 答案：D
【解析】：显然级数是收敛的，而级数是发散的，应选D.
30．，所以，
，应选C.
二、填空题（每小题2分，共20分）
31．，所以.
32．，则，
所以，从而有，即.
33．，，
所以，即.
34．，所以，
即有，把代入得,
故.
35．.
36．，所以.
37．，特征根为，
故微分方程的通解为.
38．，所以，故.
39．，，
故方向导数的最大值为.
40．.
计算题（每小题5分，共50分）
41．.
【解析】：
.
42．为曲线与所围成的面积，判定级数的敛散性.
【解析】：因两曲线、交点为（0,0），（1,1），
所以.
级数，
又因为，而级数是收敛的，根据比较判别法的极限形式知，级数收敛.
所以 级数收敛.
43．求不定积分．
.
44．.
【解析】：
.
45．方程的通解．，这是一阶线性非齐次微分方程，
它对应的齐次方程的通解为.
设是原方程的解，代入方程得
所以，即,
故 原方程通解为.
46．由方程所确定，求．，
即 ，
所以 .
47．，求的面积.
【解析】：因，
所以，
故的面积为.
48．计算，其中，
所以
.
49．，其中是圆周（逆时针方向），，则有，.
又为封闭曲线且取正方向，故由格林公式可得：
.
50．的收敛域．是标准不缺项的幂级数，
收敛半径为，
当时，级数化为，是调和级数，发散的；
当时，级数化为，是交错级数，收敛的；
故所求级数的收敛域为.
设和函数为，即，
当且时，
，
所以；
当时，，
当时，有意义，
故所求和函数为.
四、应用题（每小题分，共1分）
51．，高为，造价为，则有
，且，
即，为常数，
令得定义域内唯一驻点，此时；
在时，有,所以是极小值点即最小值点，
故场地的长、宽各为10米、15米时，才能使造价最低.
52．是抛物线和直线所围成平面区域.试求:
(1) 区域的面积；
（2）区域绕轴旋转所形成空间旋转体的体积.
【解析】：平面图形如图所示
取为积分变量，，
根据抛物线的对称性，区域的
面积是轴上方图形面积的2倍.
；
（2）区域绕轴旋转所形成空间旋转体的体积为
.
证明题（分）
，证明 .
【证明】：设，显然它在内可导，从而在区间上满足拉格朗日中值定理，即存在，使得成立，
所以有，
又因为函数在区间上是减函数，
所以有,即，
故
所以 .
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高等数学 第 12 页 （共13页）
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