1965年试题
1． 右面的二视图所表示的立体是什么?求出它的体积
．
[Key] 1.解：右面的二视图所表示的立体是正六棱锥.
设这个六个棱锥的高是h，底面积是A，体积是V，则有
注：本题考二视图和计算棱锥的体积.
余弦对数表
2．在A处的甲船测得乙船在北偏西49°48的B处以速度22/小时向正北方向行驶．甲船立即从A处出发，以速度26/小时向北偏西a度的方向沿直线驶去，追赶乙船．问a是多大角度时，经过一段时间，甲船能够在某处C恰好与乙船相遇?(lg2.2=0.3424，lg2.6=0.4150;lg是以10为底的对数符号.)
余弦对数表
[Key] 2.解：设甲船与乙船相遇所需要的时间为t，则有
BC=22t，AC=26t.
由正弦定理，得
对上式两边取对数，得
lgsin( 49°48′-a )
=lg22-lg26+lgsin49°48
=1.3424-1.4150＋
=
查表得到
49°48-a=40°15.
∴a=49°48-40°15=9°33.
注：本题考解任意三角形的基本方法，并考查学生查表和运用对数计算的能力.
3.把地球看作半径为R的球.设A、B两地的纬度相同，都是a度，它们的经度相差β度(0°<β≤180°).求A、B两地之间的球面距离（即大圆弧长）.
[Key] 3.解法一：
设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则
(1)
设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.因为△PAB是等腰三角形，所以A、B之间的直线距离
又在直角三角形OAP中，∠OAP=a，可知
r=Rcosa.
又在等腰三角形OAB中，可以求得
代入(1)，得
答：A、B两地之间的球面距离为
解法二：
设A、B两地之间的球面距离为x，大圆弧所对的圆心角为θ度，则
设纬度为a的纬度圈的圆心为P，半径为r，则∠APB=β.在△PAB中，根据余弦定理得A、B之间的直线距离的平方
AB2=2r2-2r2cosβ=2r2(1-cosβ).
又在直角三角形OAP中，∠OAP=a可知
r=Rcosa.
所以 AB2=2R2cos2a(1-cosβ).
又在△OAB中，根据余弦定理，得
AB2=2R2(1-cosθ).
所以2R2cos2a(1-cosβ)=2R2(1-cosθ).
由此，cosθ=1-cos2a(1-cosβ)，
即θ=arccos[1-cos2a(1-cosβ)].
代入(1)，得
答：A、B两地之间的球面距离为
注：本题考运用几何与三角的基本知识，计算球面距离.
4.(1)证明│sin2x│≤2│sinx│.（x为任意值）
(2)已知n为任意正整数，用数学归纳法证明
│sinnx│≤n│sinx│.（x为任意值）
[Key] 4.解：(1)│sin2x│=│2sinxcosx│
=2│sinx│·│cosx│
≤2│sinx│.(∵│cosx│≤1)
(2)当n=1时，│sinx│=│sinx│，不等式成立.
设当n=k时不等式成立，今证明当n=k＋1时，不等式也成立.因为
sin(k＋1)x=sinkxcosx＋coskxsinx，
所以根据绝对值不等式的性质，得到
│sin(k＋1)x│≤│sinkx│·│cosx│＋│coskx│·│sinx│.
又根据归纳法的假设和│cosx│≤1及│coskx│≤1，得到
│sin(k＋1)x│≤k│sinx│＋│sinx│=(k＋1)│sinx│.
因此，不等式对一切正整数n都成立.
注：本题主要考数学归纳法和绝对值不等式.第一小题的目的是启发学生应用│cosx│≤1来证明不等式.
5.已知一点P的坐标是(4，-2)，直线l的方程是y-x+5=0，曲线C的方程是
此题的略图.
[Key] 5.解：直线l的方程也可以写成
y = x－5，
所以l的斜率是1，与l垂直的直线的斜率应为-1.
因此，经过P点而与直线l垂直的直线l的方程是
y＋2=-(x-4)，
即
x＋y -2=0.
要求l与C的交点坐标，只须解下列方程组
由(1)式解得
y=-x＋2，(3)
代入(2)式并化简，得到
3x2＋2x-1=0，
或 (3x-1)(x＋1)=0.
代入(3)式，得到
略图如下：
注1：本题主要考直线的斜率、直线的方程以及直线与二次曲线的交点等最基本的解析几何知识.
注2：画出的略图应包括所给的以及所求出的点、直线和曲线的图形.
6.当p是什么实数时，方程x2+px-3=0与方程x2-4x-(p-1)=0有一个公共根?并求出这个公共根.
[Key] 6.解法一：
设这两个方程的公共根是a，则有
现在的问题是求p和a的值.为此，我们先从(1)、(2)两式消去p.
由(2)式得
p=a2-4a＋1.
代入(1)式并化简，就得到
a3-3a2＋a-3=0.
分解因式得
(a-3)(a2＋1)=0. (3)
因为p是实数，±i不可能是方程x2＋px-3=0的根，所以a=3.
将a=3代入(1)，得到
9＋3p-3=0，
∴p=-2.
解法二：
设这两个方程的公共根是a，则有
现在的问题是求p与a的值.为此，我们先从(1)、(2)两式消去a.
(1)式减(2)式，得
(p＋4)a＋p-4=0，
显然，p≠-4，所以有
代入(1)式并化简，得到
p3＋2p2＋16p＋32=0.
分解因式，得
(p＋2)(p2＋16)=0.
因p是实数，p2＋16≠0，
所以p=-2.
将p=-2代入(3)式，就得到a=3.
解法三：
解已知的两个方程，得知它们的根分别是：
要使两个方程有一个公共根，有下面四种可能的情况
移项，得到
将(1)式两边平方，得到
化简，得
再平方并化简，得
p3＋2p2＋16p＋32=0.
不难看出，有理化(2)或(3)或(4)都得到同样的结果.
将上面得到的方程的左边分解因式，得
(p＋2)(p2＋16)=0.
因p是实数，所以p=--2.
将p=-2代入原方程，得到
x2-2x-3=0，x2-4x＋3=0.
解这两个方程，得到一个公共根x=3.
注：本题考查学生根据已知条件建立方程及解方程的能力.
7.已给抛物线y2=2x.
(1)在抛物线上任取两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2).经过线段P1P2的中点作直线平行于抛物线的轴，和抛物线交于点P3.证明
(2)经过线段P1P3和P2P3的中点，分别作直线平行于抛物线的轴，和抛物线依次交于Q1、Q2.试将△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积的和用y1、y2表示出来.
(3)仿照(2)，又可以作出四个更小的三角形.照这样继续下去，可以作出一系列的三角形.由此设法求出线段P1P2与抛物线所围成的图形的面积.
[Key] 7.解：(1)设P3的坐标是(x3，y3)，则△P1P2P3的面积是行列式
的绝对值的一半.
现在来计算△的值：
因此，△P1P2P3的面积是：
(2)仿照(1)可求得△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积分别为
由题意知
因此，△P1P3Q1与△P2P3Q2的面积的和是
(3)经过线段P1Q1、Q1P3、P3Q2、Q2P2的中点分别作直线平行于抛物线的轴，和抛物线依次交于R1、R2、R3、R4.
与(1)、(2)同理，可以知道△P1R1Q1、△Q1R2P3、△P3R3Q2、△Q2R4P2的面积
因此，这四个三角形的面积的和是
第一步、第二步、第三步所得到的三角形的面积的总和是
照这样继续下去，每一步所得到的三角形的面积的和都等于前一步所得到的
围成的图形的面积，由此可知，这个图形的面积是
注1：本题是解析几何与代数的综合题，第一小题主要考三角形面积的计算.第二小题和第三小题主要是考查学生从具体结果总结出较普遍的公式的能力，以及代数计算能力.
注2：(1)也可以用下面的方法来作.令P4表P1P2的中点，则P4的坐标是
△P1P3P4的面积是
∴P1P2P3的面积是
8.附加题：
(1)已知a、b、c为实数，证明a、b、c都为正数的充要条件是：
a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.
(2)已知方程
x3+px2+qx+r=0
的三个根a、β、γ都是实数，证明a、β、γ是一个三角形的三个边长的充要条件是：
[Key] 8.附加题：
解法一：
(1)条件的必要性是显然的，所以只须证明充分性.
利用方程的根与系数的关系，我们知道a、b、c是方程
x3-(a＋b＋c)x2＋(ab＋bc＋ca)x-abc=0
的三个根.因为常数项不为0，所以x=0不可能是方程的根.又以任何负数代入方程左端，各项都为负数，所以任何负数都不是方程的根.因此a、b、c都是正数.
(2)a、β、γ为一个三角形的三个边长的充要条件应该是：
由(1)可知a>0，β>0，γ>0的充要条件是：
a＋β＋γ>0，aβ＋βγ＋γa>0，aβγ>0.
即 -p>0，q>0，-r>0.
现在来求
a＋β>γ，β＋γ>a，γ＋a>β
的充要条件，也就是求
a＋β-γ>0，β＋γ-a>0，γ＋a-β>0
的充要条件，利用根与系数的关系，a＋β＋γ=-p.
于是
a＋β-γ=-p-2γ，
β＋γ-a=-p-2a，
γ＋a-β=-p-2β.
因此，问题化为求
-p-2a>0，-p-2β>0，-p-2γ>0
的充要条件，由(1)的结论，它的充要条件应为
化简不等式(1)，得
-p>0.
不等式(2)可化为：
3p2＋4(＋β＋γ)p＋4(β＋βγ＋γ)>0，
即 3p2-4p2＋4q>0，
即 4q>p2.
不等式(3)可化为：
-p3-2(＋β＋γ)p2-4(β＋βγ＋γ)p-8βγ>0，
即 -p3＋2p3-4pq＋8r>0.
化简，得
p3>4pq-8r.
综合以上的讨论，我们得到、β、γ为一个三角形的三个边长的充要条件是
但是，第四个不等式可以由第一、三、五这三个不等式推出.由第三、第五两个不等式得到
p3>4pq，
又由第一个不等式，两端除以p，即可得到
p2<4q.
因此，为、β、γ为一个三角形的三个边长的充要条件是
解法二：
(1)条件的必要性是显然的，所以只须证明充分性.
因为abc>0，所以a、b、c三数或者都是正数，或者有两个是负数、一个是正数.前一种情况就是我们要证明的结论，所以只需证明后一种情况不可能成立即可.
用反证法来证明，不妨假设a<0，b<0，c>0.
由a＋b＋c>0， ab＋bc＋ca>0，得到
因为-(a＋b)>0，，把(1)式两端都乘以-(a＋b)，得
-(a＋b)c>[-(a＋b)]2. (3)
由(2)、(3)得到
ab>[-(a＋b)]2=(a＋b)2=a2＋2ab＋b2.
移项，得
a2＋ab＋b2<0.
因为左端各项都是正数，所以这是不可能的.因此，a、b、c只能都是正数.
(2)同解法一.
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