1966年试题
1.有红灯泡7只,绿灯泡5只.从这12只灯泡中,要选出5只.如果这5只中,至少有1只、至多有2只是绿灯泡,一共有多少种选法?
[Key] 1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为
如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为
所以一共有175+350=525种选法.
2.一个正四棱台的上底面每边长8尺,下底面每边长10尺,侧棱长6尺.
分别表示棱台的高和上、下底面的面积.）
[Key] 2.解法一:
如图,已知AD=8,BC=10,CD=6.
用O、O1表示上、下底面的中心,E、F表示AD、BC的中点.连结OO1、EF、OE和O1F,则OO1FE为直角梯形.
从E点作O1F的垂线,垂足为G,EG就是正四棱台的高.
解法二:
如图，已知AD=8,BC=10,AB=6.
用O、O1表示上、下底面的中心.连结OO1、OA和O1B，则OO1BA为直角梯形.
从A点作O1B的垂线，垂足为H,AH就是正四棱台的高.
3.如图,AC是一个山坡,它的倾斜角为θ.B是山坡AC上的一点,它和A点的距离是a米.从A和B测得山下平地上D点的俯角分别是α和β.求C、D两点间的距离.
[Key] 3.解法一:如图,
在△ABD中,AB=a,∠BAD=θ-α,∠BDA=α-β,由正弦定理,得
解法二:如图,
从D点作AC的垂线与AC的延长线交于E点.设DE=h.
在直角三角形AED中,
在直角三角形BED中,
由(1)、(2)可得
在直角三角形CED中,
由(3)、(4)可得
4.已知双曲线的方程为
16x2-9y2+64x+18y-89=0.
(1)求它的两个焦点的坐标.
(2)一个圆通过这两个焦点并且与x轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.
[Key] 4.解法一:
(1)把所给方程按x、y配方,得
16(x+2)2-9(y-1)2=144.
令 x+2=x＇,y-1=y＇, (1)
得 16x＇2-9y＇2=144,
所以这个双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标,分别为
由(1)可以求出这个双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标,分别为
(-7,1),(3,1)
(2)设所求的圆的方程是
(x-a)2+(y-b)2=r2
因为F1(-7,1)、F2(3,1)在圆上,所以
(7+a)2+(1-b)2=r2, (1)
(3-a)2+(1-b)2=r2. (2)
又由图不难看出
b2+│AM│2=r2,
就是
b2+16=r2. (3)
由(1)式减去(2)式,得
(7+a)2-(3-a)2=0,
就是
10(2a+4)=0
∴ a=-2.
代入(2)式,得
(1-b)2+25=r2. (4)
由(4)式减去(3)式,得
(1-b)2-b2+9=0,
就是
10-2b=0.
∴ b=5.
代入(4)式,得
r2=41.
因此,所求的圆的方程是
(x+2)2+(y-5)2=41,
或 x2+y2+4x-10y-12=0.
解法二:
(1)同解法一.
(2)如图,F1、F2为双曲线的两个焦点,A、B为圆与x轴的两个交点,C为圆心.因为过C点与x轴垂直的直线必平分线段F1F2,且平分线段AB,所以
常数.利用商高定理,由直角三角形ACM得到
又
由以上二式,得b=5,│AC│2=41.所以圆心C的坐标为(-2,5),圆的方程为
(x+2)2+(y-5)2=41,
或 x2+y2+4x-10y-12=0.
解法三:
(1)同解法一.
(2)由解法二的分析,可知M=(-2,0).又因│AM│=│MB│=4,所以A=(-6,0),B=(2,0).
设所求的圆的方程为
x2y2+Dx+Ey+F=0.
因为(-6,0),(2,0),(3,1)在圆上,所以得到
由(1),(2)消去F得到D=4.由此得F=-12,E=-10.因此,所求圆的方程为
x2+y2+4x-10y-12=0.
解法四:
(1)同解法一.
(2)设所求圆的方程为
x2+y2+Dx+Ey+F=0. (1)
因为(-7,1),(3,1)两点都在圆上,所以把它们的坐标代入(1)得
-7D+E+F+50=0, (2)
3D+E+F+10=0. (3)
在(1)内令y=0得
x2+Dx+F=0. (4)
设所求圆与x轴的交点为(α,0),(β,0),则α与β是(4)的两个根.因为两个点的距离是8,所以
(α-β)2=64.
又
(α-β)2=(α+β)2-4αβ,
所以
(α+β)2-4αβ=64
利用根与系数的关系,可以知道α+β=-D,αβ=F.
代入上式得
D2-4F=64. (5)
解方程组(2)、(3)、(5)得
D=4,F=-12,E=-10.
因此,所求圆的方程为
x2+y2+4x-10y-12=0.
5.解方程组:
[Key] 5.解法一:
(1)式两边平方并化简,得
两边再平方,得
(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).
整理后得
(x+y)2-18(x+y)-4xy+45=0. (3)
把(2)和(3)组成方程组,并设u=x+y,v=xy,得
从(5)式得
v=u-15.
代入(4)式并化简,得
u2-22u+105=0.
所以
u=7,u=15.
代入(5)式,得
v=-8,v=0.
所以
就是
解这两个方程组,得
检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.
解法二:
(1)式两边平方并化简,得
两边再平方,得
(x+y)2-14(x+y)+49=4(x+1)(y+1).
整理后得
x2+y2-2xy-18x-18y+45=0. (3)
由(2)式得
代入(3)式并化简,得
x4-22x3+97x2+120x=0.
利用综合除法分解因式,得
x(x+1)(x-15)(x-8)=0.
因此 x=0,-1,15,8.
代入(4)式,得
y=15,8,0,-1.
就是
检验后可以知道,原方程组的解是
解法三:
就是
把(1)代入(2)并化简,得
u2v2+4uv=0.
所以
uv=0,uv=-4.
把上式分别与(1)式组成下列两个方程组:
解这两个方程组,得
就是
所以
检验后可以知道,只有前两组数是原方程组的解.
解法四:
(1)式两边平方并化简,得
由(2)式得
2(x+y)=xy+x+y+15. (4)
比较(3)与(4)得,
上面第二个式子不可能成立.因此,
由此得
解之,得
经检验,这都是原方程组的解.
6.在△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c.
(3)如果△ABC不是等边三角形,求证:△ABC与△ABC这两个三角形不论它们的边怎样对应都不相似.
[Key] 6.解:
因为a、b、c是△ABC的三边,所以b+c>a,而
两边开方,得
以作成一个三角形.
(3)不失一般性可以认为a≥b≥c,并且至少有一个不等号成立.由于
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