1984年试题
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.
(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是
(C)X=Y (D)X≠Y
【 】
[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)C;
(2)如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么
(A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0
(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0
【 】
[Key] (2)C;
(A)一定是零 (B)一定是偶数
(C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数
【 】
[Key] (3)B;
(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是
(A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)
【 】
[Key] (4)A;
(A)是第一象限角
(B)是第三象限角
(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角
(D)是第二象限角
【 】
[Key] (5)B.
二、只要求直接写出结果.
(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.
(2)函数log0.5(x2+4x+4)在什么区间上是增函数?
(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).
[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
(2)x<-2;
(4)-20;
(5)0;
三、本题只要求画出图形.
[Key] 三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.
解:
四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.
[Key] 四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.
证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.
∵ α∩β=c, α∩γ=b,
从而c与b或交于一点或互相平行.
(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.于是P∈β∩γ=a.
所以a,b,c交于一点(即P点).
(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.
所以a,b,c互相平行.
[Key] 五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.
解法一:由原对数方程得
cx2+d=1.
这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
解法二:原对数方程有解的充要条件是:
(1)x>0,
cx2+d=1.
因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:
(1)x>0,
(5)x≠1,
这个不等式仅在以下两种情形下成立:
①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;
②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.
再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.
六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2.再设z1,z2在复平面内的对应点是z1,z2.求以z1,z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.
[Key] 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.
(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,所以
(-2p)2-4q<0,q>p2>0.
由z1,z2为共轭虚数,知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可得椭圆的
短轴长=2b=│z1+z2│=│2p│=2│p│,
解法二:同解法一,得q>p2>0.
根据实系数一元二次方程的求根公式,得
可知z1,z2关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.
根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的
注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出
(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行于x轴.
即
这就是所求的轨迹方程.
[Key] 七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
a=6,b=8.
如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则
如图建立坐标系,则内切圆方程为
(x-2)2+(y-2)2=4.
设圆上动点P的坐标为(x,y),则
因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是
S最大值=88-0=88,
S最小值=88-16=72.
解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.
内切圆的参数方程为
所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而
因为0≤α≤2π,所以
S最大值=80+8=88,
S最小值=80-8=72.
[Key] 八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.
(1)证明:先证明xn>2(n=1,2,…).用数学归纳法.由条件α>2及x1=α知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假设知
再由归纳假设知不等式(xk-2)2>0成立,所以不等式xk+1>2也成立.从而不等式xn>2对于所有的正整数n成立.
数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:
所以不等式xn>2(n=1,2,…)成立.
也可以这样证:对所有正整数n有
还可以这样证:由于对所有正整数n有
(2)证法一:用数学归纳法.由条件x1=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及xk>2知
证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知
再由xk>2及归纳假设可得
x1>x2>…>xn>xn+1≥3.
因此,由上面证明的结论及x1=α可得
若xn≤3,则由第(1)小题可知xn+1
若xn>3,则由第(1)小题可知x1>x2>…>xn>3.由此式及上面证明的结论,可得
九、附加题,不计入总分.
如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线
[Key] 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.
解得
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