1988年试题
(理工农医类)
一、本题每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.
(A)1 (B)-1 (C)I (D)-i
【 】
[Key]
一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)B
(2)设圆M的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么
(A)点P在直线L上,但不在圆M上
(B)点P在圆M上,但不在直线L上
(C)点P既在圆M上,又在直线L上
(D)点P既不在圆M上,也不在直线L上
【 】
[Key] (2)C
(3)集合{1,2,3}的子集总共有
(A)7个 (B)8个
(C)6个 (D)5个
【 】
[Key] (3)B
(A)10 (B)5
【 】
[Key] (4)A
(5)在的展开式中,x6的系数是
【 】
[Key] (5)D
(6)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是
(A)π (B)2π
【 】
[Key] (6)A
(7)方程的解集是
【 】
[Key] (7)C
(A)圆 (B)双曲线右支
(C)抛物线 (D)椭圆
【 】
[Key] (8)D
(9)如图,正四棱台中,A＇D＇所在的直线与BB＇所在的直线是
(A)相交直线
(B)平行直线
(C)不互相垂直的异面直线
(D)互相垂直的异面直线
【 】
[Key] (9)C
【 】
[Key] (10)D
(11)设命题甲:△ABC的一个内角为60°.
命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么
(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件
(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件
(C)甲是乙的充要条件
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
【 】
[Key] (11)C
(12)复平面内,若复数z满足│z+1│=│z-i│,则z所对应的点Z的集合构成的图形是
(A)圆 (B)直线 (C)椭圆 (D)双曲线
【 】
[Key] (12)B
(13)如果曲线x2-y2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为
(A)(1,1) (B)(-1,-1)
(C)(-1,1) (D)(1,-1)
【 】
[Key] (13)D
(14)假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有
【 】
[Key] (14)B
(15)如图,二面角αˉABˉβ的平面角是锐角,C是面α内的一点(它不在棱AB
上),点D是点C在面β上的射影,点E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点,那么
(A)∠CEB>∠DEB
(B)∠CEB=∠DEB
(C)∠CEB<∠DEB
(D)∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定
【 】
[Key] (15)A
二、只要求直接写出结果.
(5)已知等比数列{an}的公比q>1,并且a1=b(b≠0),求
[Key] 二、本题考查基础知识和基本运算,只需要写出结果.
[Key] 三、本题主要考查三角公式和进行三角式的恒等变形的能力.
解法一:
解法二:
解法三:
解法四:
四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.
[Key] 四、本题主要考查空间想象能力、体积计算等知识和推理能力.
解法一:连接AE,因为△SBC和△ABC都是边长为a的正三角形,并且SE和AE分别是它们的中线,所以SE=AE,从而△SEA为等腰三角形,由于D是SA的中点,所以ED⊥SA.
作DF⊥SE,交SE于点F.考虑直角△SDE的面积,得到
所求的旋转体的体积是以DF为底面半径,分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和,即
解法二:连结BD.因为BD是正三角形SBA的中线,所以BD⊥SA.连结CD,同理CD⊥SA.于是SA⊥平面BDC,所以SA⊥DE.
作DF⊥SE,交SE于点F.在直角△SDE中,
SD2=SF·SE,
所求的旋转体的体积为
[Key] 五、本题主要考查对数函数的性质,以及运用重要不等式解决问题的能力.
解法一:
情形1∶0
情形2∶a>1.
解法二:当t>0时,由重要不等式可得
当且仅当t=1时取“=”号.
当0
当a>1时,y=logax是增函数,
解法三:因为t>0,又有
当且仅当t=1时取“=”号,
当且仅当t=1时取“=”号.
以下同解法二.
六、给定实数a,a≠0,且a≠1设函数
证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴;
(2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.
[Key] 六、本题主要考查考生在正确理解数学概念(函数的图象的概念,轴对称图形的概念等)的基础上进行推理的能力,以及灵活运用学过的代数和解析几何的知识(互为反函数的图象之间的关系,两条直线平行的条件等)解决问题的能力.
证法一:
(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数图象上任意两个不同的点,
∵ a≠1,且x1≠x2,
∴ y2-y1≠0.
因此,M1M2不平行于x轴.
即,由此得a=1,与已知矛盾,
于是由②式得
证法二:
(1)设M1(x1,y1),M2(x2,y2)是这个函数的图象上任意两个不同的点,则x1≠x2.假如直线M1M2平行于x轴,那么y1=y2,即
亦即(x1-1)(ax2-1)=(x2-1)(ax1-1),
整理得a(x1-x2)=x1-x2,
因为x1≠x2,所以a=1,这与已知矛盾.
因此M1M2不平行于x轴.
(2)先求所给函数的反函数:由
得 y(ax-1)=x-1,
即 (ay-1)x=y-1.
即 ax-a=ax-1,
由此得a=1,与已知矛盾,所以ay-1≠0.
因此得到
由于函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对
证法三:
(1)任取一条与x轴平行的直线L,则l的方程为y=c(c为常数).
考虑L与所给函数的图象是否相交以及交点数目的情况.
将②代入①得
c(ax-1)=x-1,
即 (ca-1)x=c-1. ③
从而直线L与所给函数的图象无交点.
这说明原方程组恰有一个解,从而直线L与所给函数的图象恰有一个交点.
综上述,平行于x轴的直线与所给函数的图象或者不相交,或者恰有一个交点.
因此,经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.
(2)同证法一或证法二.
[Key] 七、本题主要考查考生利用方程研究曲线性质的能力,以及综合运用学过的代数知识(一元二次方程的判别式,根与系数的关系,解二元二次方程组,解不等式等)去解题的能力.
解法一:假定椭圆上有符合题意的四个点,则这四个点的坐标都应满足下面的椭圆方程:
又这四个点的坐标应满足下面的抛物线方程
y2=2px,
从而它们都是下面的方程组的解:
将②式代入①式,得
由于上述方程组有4个不同的实数解,所以方程③的判别式应大于零,
整理得 3p2-4p+1>0,
由已知,椭圆上的点的横坐标都大于零,所以方程③的两个根应都为正数,于是得 7p-4<0,
解此不等式得
由④、⑤以及已知条件得
一次项系数7p-4<0,所以x1,x2都为正数.
把x1及x2分别代入②中,可解得
显然y1,y2,y3,y4两两不相等.
由于(x1,y1)适合②式和③式,从而也适合①式,因此点M1(x1,y1)是符合题意的点.
同理M2(x1,y2),M3(x2,y3),M4(x2,y4)都是符合题意的点,并且它们是互不相同的.
解法二:椭圆上有四个点符合题意的充要条件是方程组
有四个不同的实数解.
所以原方程组有四个不同的实数解,当且仅当方程③有两个不相等的正根.而这又等介于
在p>0的条件下,解此不等式组,得到
解法三:易求出所给椭圆的方程为
假定这个椭圆上有符合题意的四个点,则这些点的坐标应是下述方程组的解:
把②式化简得 y2=2px.
以下同解法一．
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