2005年高考理科数学湖北卷试题及答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的上个选项中，中有一项是符合题目要求的）
1．设P、Q为两个非空数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是
A．9 B．8 C．7 D．6
2．对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；
②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．=
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
4． 函数的图象大致是 （ ）
5．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为
A． B． C． D．
6．在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若，则
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，）
8．若，则常数a，b的值为
A．a=-2，b=4 B．a=2，b=-4
C．a=-2，b=-4 D．a=2，b=4
9．若，则2x与3sinx的大小关系：
A．2x>3sinx B．2x<3sinx C．2x=3sinx D．与x的取值有关
10．如图，在三棱柱中，点E、F、H、K分别为、、、 的中点，G为ΔABC的重心从K、H、G、中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为
A．K B．H
C．G D．
11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④305784111138165192219246270
关于上述样本的下列结论中，正确的是
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
12．以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分 ,共16分把答案填写在答题卡相应的位置上）
13．已知向量a=（-2，2），b=（5，k）若|a+b|不超过5，则k的取值范围是
14．的展开式中整理后的常数项等于
15．设等比数列{}的公比为q，前n项和为，若，，成等差数列，则q的值为
16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元在满足需要的条件下，最少要花费 元
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=a·b在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围
18．（本小题满分12分）
在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值
19．（本小题满分12分）
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离
21．（本小题满分12分）
设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由
22．（本小题满分14分）
已知不等式，其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，
（Ⅰ）证明：，；
（Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有
2005年高考理科数学湖北卷试题及答案
参考答案
1．B 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B
7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．A
13．[-6，2] 14． 15．-2 16．500
17．解法一：依定义
则，
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0
∴≥0在（-1，1）上恒成立
考虑函数，由于的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使在（-1，1）上恒成立，即t≥5
而当t≥5时，在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数
故t的取值范围是t≥5
解法二：依定义，
若在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设≥0
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，
在（-1，1）上满足>0，即在（-1，1）上是增函数
故t的取值范围是t≥5
18．解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE=x
在ΔBDE中利用余弦定理可得：
，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，即
又，故，
解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象限
由，则，
设=（x，0），则
由条件得
从而x=2，（舍去）故
于是
∴
解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BP=DP，连接AP、PC
过窗PN⊥BC交BC的延长线于N，则，
，
而，∴BC=BN=CN=2，，
故由正弦定理得，∴
19．解：的取值分别为1，2，3，4
=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（=1）=0.6
=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P（=2）=（1-0.6）×0.7=0.28
=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P（=3）=（1-0.6）×（1-0.7）×0.8=0.096
=4，表明李明在第一、二、三次考试都未通过，故
P（=4）=（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）=0.024
∴李明实际参加考试次数的分布列为
1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024
∴的期望E=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544
李明在一年内领到驾照的概第为
1-（1-0.6）×（1-0.7）×（1-0.8）×（1-0.9）=0.9976
20．解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），
B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），
P（0，0，2），E（0，，2）
从而=（，1，0），=（，0，-2）
设与的夹角为，则
，
∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则
由NE⊥面PAC可得：即
化简得
即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，
解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角
在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴
即AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则
连PF，则在RtΔADF中DF=
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=
21．（Ⅰ）解法一：依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+3，
代入，整理得：
①
设A（），B（），则，是方程①的两个不同的根，
∴，②
且由N（1，3）是线段AB的中点，得=2，
∴解得k=-1，代入②得，
即的取值范围是（12，+∞）
于是直线AB的方程为，即
解法二：设A（），B（），则有
依题意，
∵N（1，3）是AB的中点，∴=2，=6，从而
又由N（1，3）在椭圆内，∴，
∴的取值范围是（12，+∞）
直线AB的方程为，即
（Ⅱ）解法一：∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，即x-y+2=0代入椭圆方程，整理得
③
又设C（），D（），CD的中点为M（），
则，是方程③的两根，
∴+=-1，且，即M（，）
于是由弦长公式可得④
将直线AB的方程代入椭圆方程得
⑤
同理可得⑥
∵当时，>，
∴|AB|<|CD|
假设存在，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心
点M到直线AB的距离为
⑦
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得
故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，||为半径的圆上
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆ACD为直角三角形，A为直角
，
即⑧
由⑥式知，⑧式左边=，
由④⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆）
解法二：由（Ⅱ）解法一知，
∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得
③
将直线AB的方程代入椭圆方程整理得
⑤
解③和⑤式可得，，
不妨设A（，），
C（，），D（，）
∴，
，
计算可得，
∴A在以CD为直径的圆上
又B为A关于CD的对称点，
∴A、B、C、D四点共圆
（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）
22．（Ⅰ）证法一：∵当n≥2时，，
∴，即，
于是有，，…，，
所有不等式两边相加可得
由已知不等式知，当n≥3时有
∵，∴
∴
证法二：设，首先利用数学归纳法证不等式
（ⅰ）当n=3时，由，
知不等式成立
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即，则
即当n=k+1时，不等式也成立
由（ⅰ）（ⅱ）知，
又由已知不等式得
（Ⅱ）有极限，且
（Ⅲ）∵，令，
则有，
故取N=1024，可使沁n>N时，都有
2005年高考数学试卷及答案
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