2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（宁夏）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第II卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
参考公式：
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积、为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知命题，，则（ ）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
2．已知平面向量，则向量（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．函数在区间的简图是（ ）
4．已知是等差数列，，其前10项和，则其公差（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
6．已知抛物线的焦点为，
点，在抛物线上，
且， 则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．若，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
12．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．
14．设函数为奇函数，则 ．
15．是虚数单位， ．（用的形式表示，）
16．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分12分）
如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
21．（本小题满分12分）
设函数
（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点．
（Ⅰ）证明四点共圆；
（Ⅱ）求的大小．
22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
和的极坐标方程分别为．
（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．
22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲
设函数．
（I）解不等式；
（II）求函数的最小值．
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案（宁夏）
一、选择题
1．Ｃ 2．Ｄ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｃ
7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｃ 10．Ｄ 11．Ｂ 12．Ｂ
二、填空题
13． 14． 15． 16．240
三、解答题
17．解：在中，．
由正弦定理得．
所以．
在中，．
18．证明：
（Ⅰ）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而．
所以为直角三角形，．
又．
所以平面．
（Ⅱ）解法一：
取中点，连结，由（Ⅰ）知，得．
为二面角的平面角．
由得平面．
所以，又，
故．
所以二面角的余弦值为．
解法二：
以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系．
设，则．
的中点，．
．
故等于二面角的平面角．
，
所以二面角的余弦值为．
19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得 ①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，． ②
又． ③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
20．解：
每个点落入中的概率均为．
依题意知．
（Ⅰ）．
（Ⅱ）依题意所求概率为，
．
21．解：
（Ⅰ），
依题意有，故．
从而．
的定义域为，当时，；
当时，；
当时，．
从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
．
22．Ａ
（Ⅰ）证明：连结．
因为与相切于点，所以．
因为是的弦的中点，所以．
于是．
由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以．
由（Ⅰ）得．
由圆心在的内部，可知．
所以．
22．Ｂ
解：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ），，由得．
所以．
即为的直角坐标方程．
同理为的直角坐标方程．
（Ⅱ）由解得．
即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．
22．Ｃ解：
（Ⅰ）令，则
．．．．．．．．．．．．．．．3分
作出函数的图象，它与直线的交点为和．
所以的解集为．
（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．
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Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
开始
？
是
否
输出
结束
20
20
正视图
20
侧视图
10
10
20
俯视图
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