2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
数 学(文科)全解全析
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是,那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合,,则( )
A. B. C. D.
解析:{1,3}∩{2,3,4}={3},选C
2.若函数的反函数图象过点,则函数的图象必过点( )
A. B. C. D.
解析:根据反函数定义知反函数图像过(1,5),则原函数图像过点(5,1),选A
3.双曲线的焦点坐标为( )
A., B.,
C., D.,
解析:因为a=4,b=3,所以c=5,所以焦点坐标为,,选C
4.若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( )
A.0 B. C. D.
解析:因为,所以向量与垂直,选D
5.设等差数列的前项和为,若,,则( )
A.63 B.45 C.36 D.27
解析:由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差,所以S=45,选B
6.若是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,,则
解析:由有关性质排除A、C、D,选B
7.若函数的图象按向量平移后,得到函数的图象,则向量( )
A. B. C. D.
解析:函数为,令得平移公式,所以向量,选C
8.已知变量满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:画出可行域为一三角形,三顶点为(1,3)、(1,6)和(),表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,当(x,y)=(1,6)时取最大值6,当(x,y)=()时取最小值,选A
9.函数的单调增区间为( )
A. B. C. D.
解析:定义域为∪,排除A、C,根据复合函数的单调性知的单调增区间为,选D
10.一个坛子里有编号为1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球.若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的概率为( )
A. B. C. D.
解析:从中任取两个球共有种取法,其中取到的都是红球,且至少有1个球的号码是偶数的取法有种取法,概率为,选D
11.设是两个命题:,则是的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:p:,q:,结合数轴知是的充分而不必要条件,选A
12.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列,记第个数为,若,,,,则不同的排列方法种数为( )
A.18 B.30 C.36 D.48
解析:分两步:(1)先排,=2,有2种;=3有2种;=4有1种,共有5种;(2)再排,共有种,故不同的排列方法种数为5×6=30,选B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.已知函数为奇函数,若,则 .
解析:由函数为奇函数得,填1
14.展开式中含的整数次幂的项的系数之和为 (用数字作答).
解析:,当r=0,4,8时为含的整数次幂的项,所以展开式中含的整数次幂的项的系数之和为,填72
15.若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上,则此球的体积为 .
解析:根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由得R=,球体积为
16.设椭圆上一点到左准线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则 .
解析:椭圆左准线为,左焦点为(-3,0),P(,由已知M为PF中点,M(,所以
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (I)将各组的频率填入表中;
(II)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足1500小时的频率;
(III)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支,若将上述频率作为概率,试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率.
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识,考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力.
(I)解:
分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 4分
(II)解:由(I)可得,所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6. 8分
(III)解:由(II)知,1支灯管使用寿命不足1500小时的概率,根据在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率公式可得
.
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648. 12分
18.(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,,,分别为棱的中点,为棱上的点,二面角为.
(I)证明:;
(II)求的长,并求点到平面的距离.
本小题主要考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象能力与思维能力.
(I)证明:连结,
三棱柱是直三棱柱,
平面,
为在平面内的射影.
中,,为中点,
,
.
,
.
(II)解法一:过点作的平行线,
交的延长线于,连结.
分别为的中点,
.
又,.
.
平面,
为在平面内的射影.
.
为二面角的平面角,.
在中,,,
.
作,垂足为,
,,
平面,
平面平面,
平面.
在中,,,
,即到平面的距离为.
,
平面,
到平面的距离与到平面的距离相等,为.
解法二:过点作的平行线,交的延长线于,连接.
分别为的中点,
.
又,
.
平面,
是在平面内的射影,
.
为二面角的平面角,.
在中,,,
. 8分
设到平面的距离为,
.
,,
,
,
,即到平面的距离为. 12分
19.(本小题满分12分)
已知函数(其中)
(I)求函数的值域;
(II)若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为,求函数的单调增区间.
本小题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.
(I)解:
. 5分
由,得,
可知函数的值域为. 7分
(II)解:由题设条件及三角函数图象和性质可知,的周期为,又由,得,即得. 9分
于是有,再由,解得
.
所以的单调增区间为 12分
20.(本小题满分12分)
已知数列,满足,,且()
(I)令,求数列的通项公式;
(II)求数列的通项公式及前项和公式.
本小题主要考查等差数列,等比数列等基础知识,考查基本运算能力.
(I)解:由题设得,即
()
易知是首项为,公差为2的等差数列,通项公式为
. 4分
(II)解:由题设得,令,则
.
易知是首项为,公比为的等比数列,通项公式为
. 8分
由解得
, 10分
求和得. 12分
21.(本小题满分14分)
已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是的内接圆(点为圆心)
(I)求圆的方程;
(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值.
本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.
(I)解法一:设两点坐标分别为,,由题设知
.
解得,
所以,或,.
设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为
. 4分
解法二:设两点坐标分别为,,由题设知
.
又因为,,可得.即
.
由,,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上.
设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为. 4分
(II)解:设,则
. 8分
在中,,由圆的几何性质得
,,
所以,由此可得
.
则的最大值为,最小值为.
22.(本小题满分12分)
已知函数,,且对任意的实数均有,.
(I)求函数的解析式;
(II)若对任意的,恒有,求的取值范围.
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