2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供文科考生使用）
参考答案
一、选择题：本在题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B
7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，共16分。
13．1
14．72
15．4n
16．2
三、解答题
17．（本小题满分12分）
本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查运用统计的有关知识解决实际问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：
分组 [500，900］ [1100，1300） [1300，1500） [1500，1700） [1700，1900） [1900，） 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ……4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得0.048+0.121+0.208+0.223＝0.6，所以灯管使用寿命不是1500小时的频率为0.6.……8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：1只灯管使用寿命不足1500小时的概率P=0.6.根据在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式可得
。
所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648.……12分
18．（本小题满分12分）
本小题主要考查空间中的线面关系、解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力。满分12分。
（Ⅰ）证明：连结CD，
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。
∴CC1⊥平面ABC，
∴CD为C1D在平面ABC内的射影，
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。
∴AB⊥CD，
∴AB⊥C1D，
∵A1B1∥AB，
∴A1B1⊥C1D。
（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、BC的中点。
∴DE∥AC。
又∵AF∥CE，CE⊥AC，
∴AF⊥DE。
∵MA⊥平面ABC，
∴AF为MF在平面ABC内的射影。
∴MF⊥DE，
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF＝,
∴AM=
作AC⊥MF，垂足为G。
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面AMF,
∴平面MDE⊥平面AMF.
∴AG⊥平面MDE
在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=,
∴AG=,即A到平面MDE的距离为。
∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为。
解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF，
∵D、E分别为AB、CB的中点，
DE∥AC,
又∵AF∥CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面ABC,
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。
在Rt△MAF中，AF=BC=,
∴AM=.……8分
设C到平面MDE的距离为h。
∵,
∴,
,
,
，
∴h=，即C到平面MDE的距离为。……12分
19．（本小题满分12分）
本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）解：
由-1≤≤1，得-3≤≤1。
可知函数的值域为［-3,1］
（Ⅱ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周其为w，又由w＞0，得，即得w=2。
于是有，再由，解得
。
所以的单调增区间为［］
20．（本小题满分12分）
本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（Ⅰ）解：由题设得，即
易知{Cn}是首项为a1+b1=3，公差为2的等差数列，通项公式为
Cn=2n+1
（Ⅱ）解：由题设得，令，则
。
易知{d}是首项，公比为的等比数列，通项公式为
d＝……8分
由于解得
a＝。……10分
求和得
。……12分
21．（本小题满分14分）
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力。满分14分。
（Ⅰ）解法一：设A、B两点坐标分别为（），（），由题设知
，
解得，
所以A（6，2），B（6，-2）或A（6，-2），B（6，2）。
设圆心C的坐标为（r,0），则，所以圆C的方程为
解法二：设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知
又因为，可得，即
。
由，可知x1＝0，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上，
设C点的坐标为（r,0），则A点的坐标为（），于是有，解得r=4，所以圆C的方程为
。……4分
（Ⅱ）解：设∠ECF＝2a，则
……8分
在Rt△PCE中，，由圆的几何性质得
所以由此可得
故的最大值为，最小值为—8。
22．（本小题满分12分）
本小题主要考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合运用基本关系解决问题的能力。满分12分。
解（I）由题设得
得：
即有：
由上式得，即又，故得：
（II）解：由题设知，对任意的m∈[-26，6]恒有
则有
解得：
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