2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分. 第I卷1至2页. 第II卷3至4页. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准
考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效.
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数等于
A．4i B．－4i C． 2 i D．－2 i
2．不等式的解集是
A． B．[－1，2]
C． D．
3．设M、N是两个集合，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设a、b是非零向量，若函数f(x)=（xa+b）·（a－xb）的图象是一条直线，则必有
A．a⊥b B．a∥b C．| a |=| b | D．| a |≠| b |
5．设随机变量服从标准正态分布N（0，1），已知（－1.96）=0.025，则
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
7．下列四个命题中，不正确的是
A．若函数处连续，则
B．函数的不连续点是
C．若函数、满足
D．
8．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为
A． B．1 C．1+ D．
9．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，
使PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
10．设集合、S2、…、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的、都有表示两个数x、y中的较小者），则k的最大值是
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11．圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是 .
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则B=
.
13．函数在区间[－3，3]上的最小值是 .
14．设集合.
（1）b的取值范围是 ；
（2）若的最大值为9，则b的值是 .
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）设是函数图象的一条对称轴，求 的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力. 每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训. 已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%. 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.
（Ⅰ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率：
（Ⅱ）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望.
18．（本小题满分12分）
如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点. 将△GAB、△GCB分别沿AB、CD翻折成△G1AB、△G2CD，并连结G1G2，使得平面G1AB⊥平面ABCD，G1G2//AD，且G1G2
（Ⅰ）证明平面G1AB⊥平面G1ADG2；
（Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG2和平面G1ADG2所成的角.
19．（本小题满分13分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为，点P到平面的距离PH=0.4（km）.沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用，从点O到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为万元/km. 当山坡上公路长度为lkm（1）时，其造价为万元. 已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1.5（km），OA=
（km）.
（Ⅰ）在AB上求一点D，使沿折线PDAD修建公路的总造价最小；
（Ⅱ）对于（I）中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；
（Ⅲ）在AB上是否存在两个不同的点D′、E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论.
20．（本小题满分13分）
已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点.
（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分13分）
已知上的点，的前n项和，且
满足：
（Ⅰ）证明 数列是常数数列；
（Ⅱ）确定a的取值集合M，使时，数列是单调递增数列；
（Ⅲ）证明 当时，弦的斜率随n单调递增.
2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每上题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在横线上。
11． 12． 13．－16
14．（1） （2） 15．2n－1 32
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
解：（1）由题设知
因为图象的一条对称轴，所以
Z）.
所以
当k为偶数时，
当k为奇数时，
（II）解
是增函数.
故函数的单调递增区间是.
17．（本小题满分12分）
解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.6，P（B）=0.75.
（I）解法一 任选1名下岗人员，该人员没有参加过培训的概率是
所有该人参加过培训的概率是
解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
（II）解：因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布B（3，0.9），的分布列是
0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.234 0.729 的期望是=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7.
（或的期望是=3×0.9=2.7）
18．（本小题满分12分）
解 解法一（I）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB，
AD⊥AB，AD平面ABCD，所以AD⊥平面G1AB. 又AD平面G1ADG2，所以平面G1AB⊥平面G1ADG2.
（II）过点B作BH⊥AG1于点H，连结G2H，
由（I）的结论可知，BH⊥平面G1ADG2，
所以∠BG1H是BG2和平面G1ADG2所成的角.
因为平面G1AB⊥平面ABCD，
平面G1AB∩平面ABCD=AB，G1E=AB
G1E平面G1AB，所以G1E⊥平面ABCD，故G1E⊥EF.
因为G1G2
为G1G2//AD//EO，所以四边形G1EOG2是矩形.
由题设AB=12，BC=25，EG=8，则GF=17.
所以G2O=G1E=8，G2F=17，
OF=
因为AD⊥平面G1AB，G1G2//AD，
所以G1G2⊥平面G1AB，从而G1G2⊥G1B.
故BG=BE2+EG+G1G=62+82+102=200，BG2=.
又AG1=
故
即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是
解法二 （I）因为平面G1AB⊥平面ABCD，平面G1AB∩平面ABCD=AB，
G1E⊥AB，G1E平面G1AB，所以G1E⊥平面ABCD，从而G1E⊥AD.
又AB⊥AD，所以AD⊥平面G1AB. 因为AD平面G1ADG2，
所以平面G1AB⊥平面G1ADG2.
（II）由（I）可知，G1E⊥平面ABCD，故可以E为原点，分别以直线EB、EF、EG1，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）.由题设AB=12，BC=25，EG=8，
则EB=6，EF=25，EG1=8，相关各点的坐标分别是A（－6，0，0），
D（－6，25，0），G1（0，0，8），B（6，0，0）
所以.
设的一个法向量，
由
过点G2作G2O⊥平面ABCD于点O，因为G2G=G2D，所以OC=OD，
于是点O在y轴上.
因为G1G2//AD，所以G1G2//EF，G2O=G1E=8.
设G2（0，m，8）（0
所以=（0，10，8）－（6，0，0）=（－6，10，8）.
设BG2和平面G1ADG2所成的有是θ，则
故直线BG2与平面G1ADG2所成的角是
19．（本小题满分13分）
解：（I）如图，PH⊥，HB，PB⊥AB，由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB. 所以
∠PBH是山坡面与所成二面角的平面角，则∠PBH=
设BD = x(km)，0≤x≤1.5，则
记总造价为万元，
据题设有
当(km)时总造价最小.
（Ⅱ）设AE = y(km)，0≤y≤，总造价为万元，根据题设有
则
当在（0，1）内是减函数；
当内是增函数.
故当y = 1，即AE = 1(km)时总造价最小，且最小总造价为万元.
（Ⅲ）解法一 不存在这样的点、.
事实上，在AB上任取不同的两点、.为使总造价最小，显然不能位于与B之间.故可设位于与A之间，且(km)，(km)，
0≤x1 + y1≤，总造价为S万元，则类似于（I）、（II）的讨论知，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时(km)，(km)，S取得最小值
，点、分别与点D、E重合.所以不存在这样的点、，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价.
解法二 同解法一得
当且仅当同时成立时，S取得最小值，以下同解法一.
20．解 由条件知
解法一（I）设，
得
于是AB的中点坐标为
当AB不与x轴垂直时，
因为A、B两点在双曲线上，所以，两式相减得
将
当AB与x轴垂直时，，求得M(8,0)，也满足上述方程.
故点M的轨迹方程是
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C(m,0)，使为常数.
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
代入
则x1、x2是上述方程的两个实根，所以
于是
因为是与k无关的常数，所以
当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可别设为、，
此时
故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数.
解法二 （I）同解法一的（I）有
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是
代入
则x1、x2是上述方程的两个实根，所以，
由①、②、③得
当，由④、⑤得，，将其代入⑤有
当k = 0时，点M的坐标为（4，0），满足上述方程.
当AB与x轴垂直时，x1 = x2 = 2，求得M(8，0)，也满足上述方程.
故点M的轨迹方程是
（II）假设在x轴上存在定点为常数.
当AB不与x轴垂直时，由（I）有
以下同解法一的（II）.
22．解：（Ⅰ）当
因为 …………①
于是 …………②
由②－①得 …………③
于是 …………④
由④－③得 …………⑤
所以(n≥2)是常数列.
（Ⅱ）由①有由③有，所以
而⑤表明：数列分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差列，
所以
数列是单调递增数列成立
即所求a的取值集合是
（Ⅲ）解法一 弦
任取
记
当上为增函数，
当上为减函数，
所以和
上都是增函数.
由（Ⅱ）知，当单调递增.
取
取
所以的斜率随n单调递增.
解法二 设函数，同解法一得
上都是增函数.
所以
故的斜率随n单调递增.
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