2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集，集合，，那么集合等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．若实数满足则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．9
6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．已知，其中是虚数单位，那么实数 ．
10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 ．
11．若展开式的各项系数之和为32，则 ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
12．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ；
．（用数字作答）
13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：
①； ②； ③．
其中能使恒成立的条件序号是 ．
14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，
表示非负实数的整数部分，例如，．
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共13分）
已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
16．（本小题共14分）
如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
17．（本小题共13分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列．
18．（本小题共13分）
已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
19．（本小题共14分）
已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；
（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
20．（本小题共13分）
对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；
又定义．
设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
2008年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理工农医类）（北京卷）参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9． 10． 11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为，
所以，
所以，
因此，即的取值范围为．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取中点，连结．
，
．
，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ），，
．
又，
．
又，即，且，
平面．
取中点．连结．
，．
是在平面内的射影，
．
是二面角的平面角．
在中，，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面．
过作，垂足为．
平面平面，
平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面．
平面，
．
在中，，，
．
．
点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则．
设．
，
，．
取中点，连结．
，，
，．
是二面角的平面角．
，，，
．
二面角的大小为．
（Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，
点的坐标为．
．
点到平面的距离为．
17．（共Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，
则．
所以，的分布列是
1 3
18．（共13分）
解：
．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表：
0 当，即时，的变化情况如下表：
0 所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为．
因为四边形为菱形，所以．
于是可设直线的方程为．
由得．
因为在椭圆上，
所以，解得．
设两点坐标分别为，
则，，，．
所以．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，
所以．
所以菱形的面积．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当时，菱形的面积取得最大值．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：，
，
；
，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，
则为，，，，，
从而
．
又，
所以
，
故．
（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由
可知．
又由（Ⅱ）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，．
好教育云平台 高考真题第11页（共11页）
A
B
C
D
M
N
P
A1
B1
C1
D1
y
x
A．
O
y
x
B．
O
y
x
C．
O
y
x
D．
O
2
B
C
A
y
x
1
O
3
4
5
6
1
2
3
4
A
C
B
P
A
C
B
D
P
A
C
B
E
P
A
C
B
D
P
H
A
C
B
P
z
x
y
H
E
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