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对于等腰三角形的存在性问题，其难度和灵活度一直比较大，对于等腰三角形的存在性问题，主要有两类解决方法： 方法1：需要讨论的三角形A不论从边或是角的角度切入，计算复杂，此时若发现与之相似的三角形B有特殊角或者某条边为定长，则只需要讨论三角形B是等腰三角形的三种情况即可； 方法2：需要讨论的三角形中有特殊角或者边之间存在一定的数量关系，那么就可以采取直接分类讨论的方式进行。 由于等腰三角形的存在性问题时动态的，因此等腰三角形的形态是由动点的位置所决定的，在这种情况，不可忽略“点在线段或其延长线上的分类讨论的情况”，再对等腰三角形的存在性进行进一步地分类讨论。   从相似三角形角度切入法 相似三角形角度  基于“从相似三角形角度切入”的方法最早源于2016上海中考25题第(2)问，利用这种方法进行分类讨论可以大大简化运算量，但这种方法的难点在与发现相似的三角形。通常可以通过借助常见的基本图形或基本模型发现相似三角形(如子母三角形或一线三等角模型)等，从而达到转化的目的。    解法分析：2017松江一模25题第(3)问是基于2016上海中考题进行变式的。通过发现与▲DEF相似的三角形(▲DBE)。▲DBE是已知一边(DB)和一角(∠DBE的三角比)的三角形，当增加了等腰三角形的背景后，通过分类讨论，借助等腰三角形的三线合一和锐角三角比，即可求出线段BE的长。   解法分析：对于▲ANE为等腰三角形的分类讨论，由于AN、AE、NE的长度都比较难求，因此联想寻找与▲ANE相似的三角形。首先发现的是▲MNC，但是由于M和N都是动点，因此分类讨论的难点也比较大。由于图中隐藏了一对“一线三等角”模型，即▲ABM和▲CMN相似，因此最终对▲ABM进行分类讨论，降低难度。   解法分析：本题中▲PDF中由于三边的长度都比较难求，因此寻找与▲PDF相似的三角形进行切入。由∠EDP=∠QDC，因此联想与▲QDC相似，并且该三角形的一边CD和一角∠C是确定的。但是这两个三角形的相似是基于▲BDP和▲DEQ相似达成的，因此本题的难点在与相似三角形的证明上，而非等腰三角形的分类讨论上，运用“逆向思维”倒推。 上述4题中需要讨论的三角形A中都有2个动点，并且三条边都比较难求，通过寻找与三角形A相似的三角形B进行转化。而三角形B往往有以下特点，已知一角(三角比或特殊角)和一边，再加上等腰三角形的背景求出另一边，从而进行问题解决。因此问题的难点就转移到了如何证明三角形A和B相似，也就是桥梁的搭建。 直接求解法 直接求解法 当无法找到与三角形A相似的三角形B时，可采用“直接求解法”。此时需要充分利用图形中的边角关系建立数量关系。同时也需要注意点在线段或其延长线上的分类讨论问题。 解法分析：本题中的点E可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，因此需要分类讨论。同时，充分利用∠CDE=90°，发现图中的等角，从而进行进一步地计算。 解法分析：本题中的点P可以在线段CD或者CD的延长线上。当P在CD上时，是CP=PM的情况；当P在CD延长线上时，是CP=CM及CM=MP的情况。本题的难度在于辅助线的添加，充分利用CD是角平分线以及M是斜边中点即可，但是做法比较巧妙，可以进行积累。 对于直接求解法，其难点在于辅助线的添加和边角数量关系的建立。对于每一种分类讨论，都会有一些特殊的边或角产生，因此借助这些特殊性以及图中隐藏的基本图形分析法进行问题解决，从而求出线段的长度。 |
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