绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
注意事项：
答，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式：
的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积，为高
柱体体积公式 球的表面积体积公式
其中为底面面积，为高 其中R球的半径第I卷，，则
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数，是的共轭复数，则
（A） （B） （C）1 （D）2
（3）曲线在点处的切线方程为
（A） （B） （C） （D）
（4）如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为
（5）已知命题[来源:Zxxk.Com]：函数在R为增函数，
：函数在R为减函数，
则在命题：，：，：和：中，真命题是
（A）， （B）， （C）， （D），
（6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为
（A）100 （B）200 （C）300 （D）400
（7）如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于
（A）
（B）[
（C）
（D）
（8）设偶函数满足，则
（A） （B）[
（C） （D）
（9）若，是第三象限的角，则
（A） （B） （C）2 （D）
（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（12）已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为
（A） （B） （C） （D）
第卷,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点（，）（i=1,2,…,N）,在数出其中满足≤（（i=1,2,…,N））的点数，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .
(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种)
(15)过点(4,1)的圆C与直线相切于点(2,1)．则圆C的方程为(16)在为边一点BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= .
三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分l2分)
满足
（Ⅰ)求的通项公式：
，求数列的前n项和.
(18)(本小满分2分)
如圈己知⊥BD垂足为H（Ⅰ)证明：PE⊥BC
（Ⅱ）若==60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.
(19)(本小题满分12分)
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
（Ⅰ)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.
(20)（本小题满分12分）
设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线l与E 相较于A,B两点，且,,成等差数列.
（Ⅰ)求E的离心率；
（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.
(21)（本小题满分12分）
设函数f(x)=.
（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;
（Ⅱ）若当x≥0时f (x)≥0，求a的取值范围.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
(本小题满分10分) 选修4—1；几何证明选讲
如图，已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：
（Ⅰ)=;
（Ⅱ）;
（本小题满分10分）选修4—4;坐标系与参数方程
已知直线: （t为参数），圆: (为参数)，
（Ⅰ)当=时，求与的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O作的垂线，垂足为A,P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线;
[
（24） （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设函数f(x)=
（Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.
参考答案
（Ⅱ）由知
.①
从而.②
①-②得.
即.
（18）解：
以H为原点，HA，HB，HP分别为轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则.
（Ⅰ）设，
则.
可得.
因为，
所以.
（Ⅱ）由已知条件可得，故，，
.
（19）解：
（Ⅰ）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为.
(Ⅱ)
由于所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.
（Ⅲ）由于（Ⅱ）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.
（20）解：
（Ⅰ）由椭圆定义知，又，得.
的方程为，其中.
设，则A，B两点坐标满足方程组
化简得，则
因为直线AB斜率为1，所以.
得，故，所以E的离心率.
（21）解：
（Ⅰ）时，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加.
（Ⅱ）.
由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立.故，
从而当，即时，，而,
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
（22）解：
（Ⅰ）因为，所以.又因为EC与圆相切于点C，故，所以.
（Ⅱ）因为所以，故，即.
（24）解：
（I）由于 则函数的图像如图所示.
（Ⅱ）由函数与函数的图像可知，当且仅当时，函数与函数的图像有交点.故不等式的解集非空时，a的取值范围为.
好教育云平台 高考真题第1页（共1页）
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