2011年全国普通高等学校统一招生考试
上海 数学试卷（理工农医类）
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.
2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间为120分钟.
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1.函数的反函数为 .
2.若全集，集合，则 .
3.设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则 .
4.不等式的解为 .
5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为 （结果用反三角函数表示）.
6.在相距2千米的、两点处测量目标，若，，则、两点之间的距离是
千米.
7.若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为 .
8.函数的最大值为 .
9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：
1 2 3 ？ ！ ？ 请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案 .
10.行列式（）的所有可能值中，最大的是 .
11.在正三角形中，是上的点，，，则 .
12.随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）.
13.设是定义在上、以1为周期的函数，若在上的值域为，则在区间上的值域为 .
14.已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，没题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15.若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
．； ．； ．； .
16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）
．； ．； ．； ..
17.设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点的个数为（ ）
．0； ．1； ．5 ； .10.
18.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为（ ）
．是等比数列；
．或是等比数列；
．和均是等比数列；
.和均是等比数列，且公比相同.
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.（本题满分12分）
已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
已知函数，其中常数满足.
（1）若，判断函数的单调性；
（2）若，求时的取值范围.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知是底面边长为1的正四棱柱，是和的交点.
（1）设与底面所成的角的大小为，二面角的大小为.求证：；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列和的通项公式分别为，，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，，.
（1）写出，，，；
（2）求证：在数列中、但不在数列中的项恰为，，，，；
（3）求数列的通项公式.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作.
（1）求点到线段的距离；
（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示图形的面积；
（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.
对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
① ，，，.
② ，，，.
③ ，，，.
2011年上海高考数学试题（理科）答案
一、填空题：
1．；2．；3．；4．或；5．；6．；7．；
8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．.
二．选择题：
15．；16．；17．；18．.
三．解答题
19．解： ∵，∴. （4分）
设，
则. （8分）
∵ ，∴，
∴ . （12分）
20．解：（1）当时，因为、都单调递增，所以函数单调递增；（2分）
当时，因为、都单调递减，所以函数单调递减．（4分）
（2）．
（i）当时，， （7分）
解得； （8分）
（ii）当时，， （11分）
解得． （12分）
21．解：设正四棱柱的高为．
（1）连，∵底面于，
∴为是与底面所成的角，
即． （2分）
∵在等腰中， ，又，
∴ 是二面角的平面角，
即． （4分）
在中，；在中，．
∴ . （6分）
（2）【解法一】 建立如图空间直角坐标系，有，
则. （8分）
设平面的一个法向量为，
∵，，
∴ ，.
由，
得，，∴. （11分）
令，得.
由点到平面的距离为，
解得高. （12分）
【解法二】连，， .
一方面，
.
则四面体的体积. （9分）
另一方面，设正四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，
则. （12分）
据此，得
解得高. （14分）
22．解：（1）； （4分）
证明：（2）∵数列由、的项构成，
∴只需讨论数列的项是否为数列的项．
∵对于任意，，
∴是的项． （7分）
下面用反证法证明：不是的项.
假设是数列的项，设，则
，
，与矛盾.
∴结论得证. （10分）
解：（3）∵，，，，，
∴. （14分）
所以，.
综上， . （18分）
23．解：（1）设是线段上任一点，
则
. （2分）
∴当时，. （4分）
（2）不妨设、为线段的两个端点，
则为线段、线段、半圆、半圆
所围成的区域. （6分）
这是因为对，则；
而对，则；
对，则. （9分）
于是所表示的图形面积为. （10分）
（3） ① 选择，，，，. （12分）
②选择，，，，
.
（16分）
③ 选择，，，，
. （18分）
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