2013年陕西省高考数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则?RM为（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
A．25 B．30 C．31 D．61
3．（5分）设，为向量，则|?|=||||是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若|z1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2
C．若|z1|=|z2|，则z1?=z2? D．若|z1|=|z2|，则z12=z22
7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（ ）
A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]
10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（ ）
A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于 ．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ．
13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为 ．
14．（5分）观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为 ．
选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
15．（5分）（不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 ．
16．（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= ．
17．（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
19．（12分）设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．
2013年陕西省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）设全集为R，函数的定义域为M，则?RM为（ ）
A．[﹣1，1] B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【分析】求出函数f（x）的定义域得到集合M，然后直接利用补集概念求解．
【解答】解：由1﹣x2≥0，得﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，又全集为R，
所以?RM=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．
2．（5分）根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（ ）
A．25 B．30 C．31 D．61
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值．
当x=60时，则y=25+0.6（60﹣50）=31，
故选：C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
3．（5分）设，为向量，则|?|=||||是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用向量的数量积公式得到 ?=，根据此公式再看与之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论．
【解答】解：∵?=，
若a，b为零向量，显然成立；
若?cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．
而，则与的夹角为为零角或平角，有 ．
因此是的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题．
4．（5分）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．
【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．
所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．
故选：B．
【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题．
5．（5分）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，算出扇形区域ADE和扇形区域CBF的面积之和为，结合矩形ABCD的面积为2，可得在矩形ABCD内且没有信号的区域面积为2﹣，再用几何概型计算公式即可算出所求的概率．
【解答】解：∵扇形ADE的半径为1，圆心角等于90°
∴扇形ADE的面积为S1=×π×12=
同理可得，扇形CBF的在，面积S2=
又∵长方形ABCD的面积S=2×1=2
∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是
P===1﹣
故选：A．
【点评】本题给出矩形ABCD内的两个扇形区域内有无线信号，求在区域内随机找一点，在该点处没有信号的概率，着重考查了几何概型及其计算方法的知识，属于基础题．
6．（5分）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若|z1﹣z2|=0，则= B．若z1=，则=z2
C．若|z1|=|z2|，则z1?=z2? D．若|z1|=|z2|，则z12=z22
【分析】题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．
【解答】解：对（A），若|z1﹣z2|=0，则z1﹣z2=0，z1=z2，所以为真；
对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；
对（C）设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，若|z1|=|z2|，则，
，所以为真；
对（D）若z1=1，z2=i，则|z1|=|z2|为真，而，所以为假．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．
7．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
8．（5分）设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（ ）
A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15
【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．
【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．
故选：A．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（5分）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是（ ）
A．[15，20] B．[12，25] C．[10，30] D．[20，30]
【分析】设矩形的高为y，由三角形相似可得，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，再由，得y=40﹣x，代入xy≥300得到关于x的二次不等式，解此不等式即可得出答案．
【解答】解：设矩形的高为y，由三角形相似得：
，且40＞x＞0，40＞y＞0，xy≥300，
由，得y=40﹣x，
∴x（40﹣x）≥300，
解得10≤x≤30．
故选：C．
【点评】此题考查一元二次不等式及三角形相似等基本知识，属于综合类题目．
10．（5分）设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有（ ）
A．[﹣x]=﹣[x] B．[2x]=2[x] C．[x+y]≤[x]+[y] D．[x﹣y]≤[x]﹣[y]
【分析】本题考查的是取整函数问题．在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以分析即可，注意反例的应用．
【解答】解：对A，设x=﹣1.8，则[﹣x]=1，﹣[x]=2，所以A选项为假．
对B，设x=﹣1.4，[2x]=[﹣2.8]=﹣3，2[x]=﹣4，所以B选项为假．
对C，设x=y=1.8，对A，[x+y]=[3.6]=3，[x]+[y]=2，所以C选项为假．
故D选项为真．
故选：D．
【点评】本题考查了取整函数的性质，是一道竞赛的题目，难度不大．
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）双曲线﹣=1的离心率为，则m等于 9 ．
【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出．
【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m，
又离心率为，则，
解得m=9．
故答案为9．
【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键．
12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ．
【分析】利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．
【解答】解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2．
所以体积．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．
13．（5分）若点（x，y）位于曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域，则2x﹣y的最小值为 ﹣4 ．
【分析】先根据曲线y=|x﹣1|与y=2所围成的封闭区域画出区域D，再利用线性规划的方法求出目标函数2x﹣y的最大值即可．
【解答】解：如图，封闭区域为三角形．
令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，
所以三角形三个顶点坐标分别为（1，0，），（﹣1，2），（3，2），
把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点（﹣1，2）时z取得最小值；
所以zmin=2×（﹣1）﹣2=﹣4，
故2x﹣y在点（﹣1，2）取最小值﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查简单线性规划以及利用线性规划求函数的最值．属于基础题．
14．（5分）观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
照此规律，第n个等式可为 ．
【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．
【解答】解：观察下列等式：
12=1
12﹣22=﹣3
12﹣22+32=6
12﹣22+32﹣42=﹣10
…
分n为奇数和偶数讨论：
第n个等式左边为12﹣22+32﹣42+…（﹣1）n﹣1n2．
当n为偶数时，分组求和（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣1）2﹣n2]=﹣，
当n为奇数时，第n个等式左边=（12﹣22）+（32﹣42）+…+[（n﹣2）2﹣（n﹣1）2]+n2=﹣+n2=．
综上，第n个等式为．
故答案为：．
【点评】本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．
选做题：（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）
15．（5分）（不等式选做题）
已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则（am+bn）（bm+an）的最小值为 2 ．
【分析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当时成立，即可求出（am+bn）（bm+an）的最小值．
【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：
（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
可得（am+bn）（bm+an）≥（+）2
=mn（a+b）2
=2×1=2，当且仅当即m=n时，取得最小值2．
故答案为：2．
【点评】本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识，属于基础题．
16．（几何证明选做题）
如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE= ．
【分析】利用已知条件判断△EPD∽△APE，列出比例关系，即可求解PE的值．
【解答】解：因为BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，
且在圆中∠BCD=∠BAD?∠PED=∠BAD，
?△EPD∽△APE，∵PD=2DA=2
?
?PE2=PA?PD=3×2=6，
∴PE=．
故答案为：．
【点评】本题考查三角形相似的判断与性质定理的应用，考查计算能力．
17．（坐标系与参数方程选做题）
如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2﹣x=0的参数方程为 ，θ∈R，且θ≠ ．
【分析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心与半径，利用三角函数定义表示出OP，进而表示出x与y，即为圆的参数方程．
【解答】解：将圆方程化为（x﹣）2+y2=，可得半径r=，
∴OP=2r?cosθ=cosθ，
∴x=OP?cosθ=cos2θ，y=OP?sinθ=sinθcosθ，
则圆的参数方程为，θ∈R，且θ≠．
故答案为：，θ∈R，且θ≠
【点评】此题考查了圆的参数方程，涉及的知识有：圆的标准方程，锐角三角函数定义，以及解直角三角形，弄清题意是解本题的关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
18．（12分）已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．
（Ⅰ） 求f（x）的最小正周期．
（Ⅱ） 求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．
【分析】（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．
（Ⅱ） 通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）?（sinx，cos2x）
=sinxcosx
=sin（2x﹣）
最小正周期为：T==π．
（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，
由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，
∴sin（2x﹣），
∴f（x）∈[﹣，1]，
所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．
19．（12分）设{an}是公比为q的等比数列．
（Ⅰ）试推导{an}的前n项和公式；
（Ⅱ） 设q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．
【分析】（I）分q=1与q≠1两种情况讨论，当q≠1，0时，利用错位相减法即可得出；
（II）分①当存在n∈N，使得an+1=0成立时，显然不成立；②当?n∈N（n≥2），使得an+1≠0成立时，使用反证法即可证明．
【解答】解：（I）当q=1时，Sn=na1；
当q≠0，1时，由Sn=a1+a2+…+an，
得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．
两式错位相减得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（）
由等比数列的定义可得，
∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．
∴（）化为（1﹣q）Sn=a1﹣anq，
∴．
∴；
（Ⅱ）用反证法：设{an}是公比为q≠1的等比数列，数列{an+1}是等比数列．
①当存在n∈N，使得an+1=0成立时，数列{an+1}不是等比数列．
②当?n∈N（n≥2），使得an+1≠0成立时，则==，
化为（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，
∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．
综上两种情况：假设不成立，故原结论成立．
【点评】本题综合考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、错位相减法、反证法等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和计算能力．
20．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，．
（Ⅰ） 证明：A1C⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ） 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
【分析】（Ⅰ）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1，通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．
（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD?面ABCD，∴A1O⊥BD；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，
∴BD⊥面A1AC，且A1C?面A1AC，故A1C⊥BD．
在正方形ABCD中，∵，∴AO=1，
在Rt△A1OA中，∵，∴A1O=1．
设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．
又BD?面BB1D1D，且E10?面BB1D1D，且BD∩E1O=O，
∴A1C⊥面BB1D1D；
（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），
．
由（Ⅰ）知，平面BB1D1D的一个法向量，
，．
设平面OCB1的法向量为，
由，得，取z=﹣1，得x=1．
∴．
则=．
所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为．
【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．
21．（12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（Ⅰ） 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．
【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论；
（II）由题意，X可取0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列与数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”，
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=，
∴P（A）=，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；
（Ⅱ） X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0，1，2，3．
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=，
当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时，这时X=1，
P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=，
当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时，这时X=2，
P（X=2）=?（1﹣）+（1﹣）?+（1﹣）=，
当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时，这时X=3，
P（X=3）=?（）2=，
X的分布列如下：
X 0 1 2 3 P ∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．
【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，求出相应的概率．
22．（13分）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．
【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，
又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，利用两点间的距离公式即可得出．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．利用角平分线的性质可得kPB=﹣kQB，可化为化为8+y1y2=0．又直线PQ的方程为，代入化简整理为y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1即可得到定点．
【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，
∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，
∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化为y2=8x．
当x=0时，也满足上式．
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由题意可知y1+y2≠0，y1y2＜0.，．
∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴kPB=﹣kQB，
∴，∴，化为8+y1y2=0．
直线PQ的方程为，
∴，化为，
化为，
y（y1+y2）+8=8x，令y=0，则x=1，
∴直线PQ过 定点（1，0）
【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．
23．（14分）已知函数f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ） 若直线y=kx+1与f （x）的反函数g（x）=lnx的图象相切，求实数k的值；
（Ⅱ） 设x＞0，讨论曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数．
（Ⅲ） 设a＜b，比较与的大小，并说明理由．
【分析】（I）先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可；
（II）由f（x）=mx2，令h（x）=，利用导数研究函数h（x）的单调性即可得出；
（III）利用作差法得 ===，令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），利用导数研究其单调性即可证明．
【解答】解：（I）函数f（x）=ex的反函数为g（x）=lnx，∴．
设直线y=kx+1与g（x）的图象相切于点P（x0，y0），则，解得，k=e﹣2，
∴k=e﹣2．
（II）当x＞0，m＞0时，令f（x）=mx2，化为m=，
令h（x）=，则，
则x∈（0，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
∴当x=2时，h（x）取得极小值即最小值，．
∴当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为0；
当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数为1；
当时，曲线y=f （x） 与曲线y=mx2（m＞0）公共点个数为2．
（Ⅲ） =
=
=，
令g（x）=x+2+（x﹣2）ex（x＞0），则g′（x）=1+（x﹣1）ex．
g′′（x）=xex＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵当x＞0时，g（x）=x+2+（x﹣2）?ex＞0，且a＜b，
∴，
即当a＜b时，．
【点评】本题综合考查了利用导数研究切线、单调性、方程得根的个数、比较两个实数的大小等基础知识，考查了分类讨论的思想方法、转化与化归思想方法，考查了推理能力和计算能力．
第1页（共1页）
|
|
