2014年上海市高考数学试卷（文科）
一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?= ．
3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）= ．
4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 ．
5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 ．
6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）
8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 ．
9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 ．
10．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于 ．
13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则?（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
18．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
三、解答题（共5小题，满分74分）
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．
23．（18分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；
（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．
2014年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．
【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T==
故答案为：
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?= 6 ．
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+）?=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6．
故答案为：6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．
3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）= 3 ．
【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．
【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，
∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，
函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，
∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．
4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 ．
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故=2得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．
5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况
，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 70 ．
【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论．
【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名，
∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x，
则，解得x=90，
则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 ．
【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．
【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2，
当且仅当x2=，即x=±时取等号，
故答案为：2
【点评】本题考查基本不等式，属基础题．
7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为 arcsin （结果用反三角函数值表示）
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角．
【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴==3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则sinθ==，
∴θ=arcsin，
故答案为：arcsin
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．
8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 24 ．
【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图，可知：
大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5，
故大长方体的体积为：60，
切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体，
其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12，
故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，
故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24，
故答案为：24
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．
9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为 （﹣∞，2] ．
【分析】分别由f（0）=a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围．
【解答】解：当x=0时，f（0）=a，
由题意得：a≤x+，
又∵x+≥2=2，
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．
10．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1=（a3+a4+…an）
=（﹣a1﹣a1q）
=，
∴q2+q﹣1=0，
解得q=或q=（舍）．
故答案为：．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．
11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） ．
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，
即＜，
∴，
∵y=是增函数，
∴的解集为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．
12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于 ．
【分析】由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．
【解答】解：∵sinx+cosx=1，
∴sinx+cosx=，
即sin（x+）=，
可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，
又∵x∈[0，2π]，
∴x=，或x=，
∴+=
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．
13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 [2，3] ．
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．
【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m=∈[2，3]．
故答案为：[2，3]．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．
【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（ ）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
由②得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b），
∵互异的复数a，b，
∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．
17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则?（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案．
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），
∴，=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），
∴=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，
∴?（i=1，2，…，7）的不同值的个数为3，
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．
18．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．无论k，P1，P2如何，总是无解
B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．
【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．
∴方程组有唯一解．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．
三、解答题（共5小题，满分74分）
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．
【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．
21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，
∵0，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan，
即=，
解得0≈28.28，
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得，
即a=，
∴m=≈26.93，
答：CD的长为26.93米．
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．
22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．
（2）联立 可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．
【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．
（2）联立 可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，
∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．
故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
（3）设点M（x，y），则 ?|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．
对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．
又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．
【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．
23．（18分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）若{an}是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；
（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．
【分析】（1）由题意可得：，，代入解出即可；
（2）设公比为q，由已知可得，，由于，可得．而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出．
（3）设公差为d，由已知可得3[1+（n﹣2）d]，其中2≤n≤100，即，解出即可．
【解答】解；（1）由题意可得：，∴；
又，∴3≤x≤27．
综上可得：3≤x≤6．
（2）设公比为q，由已知可得，，又，
∴．因此，
∴，
∴m=1﹣logq1000==1﹣=≈7.29．
∴m的最小值是8，因此q7=，
∴=．
（3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]
即，
令n=1，得．
当2≤n≤99时，不等式即，．
∴．
综上可得：公差d的取值范围是．
【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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