2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）
填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）
1．设全集，若集合，，则 ；
2．若复数满足，其中为虚数单位，则 ；
3．若线性方程组的增广矩阵为，解为 ，则 ；
4．若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ；
5．抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 ；
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角大小为 ；
7．方程的解为 ；
8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）
9．已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的2倍，和的轨迹分别为和，若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ；
10．设为，的反函数，则的最大值为 ；
11．在的展开式中，项的系数为 ；（结果用数值表示）
12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 元；
13．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为 ；
14．在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为2和4，过作于，于，则 ；
选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．设，则“中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
16．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
17．记方程①： ；方程②：；③：；其中是正实数，当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ）
A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根
18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
A. B. C. D.
解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19. (本题满分12分)
如图，在长方体中，分别是棱的中点.证明四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，三地有直道相通，千米，，千米，现甲乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为(单位：千米).甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时. 乙到达地后在原地等待. 设时，乙到达地.
(1)求与的值；
(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过3？说明理由.
21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点和记得到的平行四边形的面积为.
(1)设. 用的坐标表示到直线的距离，并证明；
(2)设与的斜率之积为，求面积S的值.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知数列与满足.
(1)若且,求的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;
(3)设,,求的取值范围,使得有最大值和最小值，且使得
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称T为其余弦周期，已知是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设单调递增，
（1）验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设，证明对任意，存在，使得；
（3）证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有。
参考答案
填空题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 16 4 2 题号 8 9 10 11 12 13 14 答案 120 4 45 0.2 8
选择题.
15. B；16. D；17. D；18. A
解答题
19.（1）证明：连结，
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
20. 解：（1），由余弦定理得：
（2）
，.
21. （1）证明：
（2）解：
22.（1）
（2）
同理：
综上所述，为的最大项
（3）
①
②
③
终上所述，
23.（1）解：
（2）证明：
（3）略
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