2016年山东省高考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）=（ ）
A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 ．
12．（5分）观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2= ．
13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为 ．
14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．
21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
2016年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项中，只有一个是项符合题目要求的.
1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，则?U（A∪B）=（ ）
A．{2，6} B．{3，6} C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【分析】求出A与B的并集，然后求解补集即可．
【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={3，4，5}，
则A∪B={1，3，4，5}．
?U（A∪B）={2，6}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的交、并、补的运算，考查计算能力．
2．（5分）若复数z=，其中i为虚数单位，则=（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】根据复数的四则运算先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】解：∵z===1+i，
∴=1﹣i，
故选：B．
【点评】本题主要考查复数的计算，根据复数的四则运算以及共轭复数的定义是解决本题的关键．比较基础．
3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．
【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，
故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．
4．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（ ）
A．4 B．9 C．10 D．12
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立，解得B（3，﹣1）．
∵，
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（ ）
A．+π B．+π C．+π D．1+π
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，
半球的直径为棱锥的底面对角线，
由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．
故R=，故半球的体积为：=π，
棱锥的底面面积为：1，高为1，
故棱锥的体积V=，
故组合体的体积为：+π，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．
6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”?“平面α和平面β相交”，反之不成立．
【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”?“平面α和平面β相交”，
反之不成立．
∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．
7．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），
则圆心为（0，a），半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=，
∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，
∴2=2=2=2，
即=，即a2=4，a=2，
则圆心为M（0，2），半径R=2，
圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，
则MN==，
∵R+r=3，R﹣r=1，
∴R﹣r＜MN＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．
8．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=c，a2=2b2（1﹣sinA），则A=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用余弦定理，建立方程关系得到1﹣cosA=1﹣sinA，即sinA=cosA，进行求解即可．
【解答】解：∵b=c，
∴a2=b2+c2﹣2bccosA=2b2﹣2b2cosA=2b2（1﹣cosA），
∵a2=2b2（1﹣sinA），
∴1﹣cosA=1﹣sinA，
则sinA=cosA，即tanA=1，
即A=，
故选：C．
【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．
9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（ ）
A．﹣2 B．1 C．0 D．2
【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x3﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．
【解答】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），
∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．
∴f（6）=f（1），
∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（1）=﹣f（﹣1），
∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，
∴f（﹣1）=﹣2，
∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，
∴f（6）=2．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．
10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（ ）
A．y=sinx B．y=lnx C．y=ex D．y=x3
【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．
【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，
则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，
当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；
当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；
当y=ex时，y′=ex＞0恒成立，不满足条件；
当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．（5分）执行如图的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为 1 ．
【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．
【解答】解：若输入n的值为3，
则第一次循环，S=0+﹣1=﹣1，1≥3不成立，
第二次循环，S=﹣1+=﹣1，2≥3不成立，
第三次循环，S=﹣1+﹣=﹣1=2﹣1=1，3≥3成立，
程序终止，输出S=1，
故答案为：1
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，进行模拟运算是解决本题的关键．
12．（5分）观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2= n（n+1） ．
【分析】由题意可以直接得到答案．
【解答】解：观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n（n+1），
故答案为：n（n+1）
【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．
13．（5分）已知向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为 ﹣5 ．
【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积计算即可．
【解答】解：∵向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），
∴t+=（t+6，﹣t﹣4），
∵⊥（t+），
∴?（t+）=t+6+t+4=0，
解得t=﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算以及向量垂直的条件，属于基础题．
14．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 2 ．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，
由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），
由2|AB|=3|BC|，可得
2?=3?2c，即为2b2=3ac，
由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，
解得e=2（负的舍去）．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是 （3，+∞） ．
【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m＞0），解之即可．
【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：
∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m﹣m2＜m（m＞0），
即m2＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m2＜m是难点，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共75分
16．（12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y．奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）确定基本事件的概率，利用古典概型的概率公式求小亮获得玩具的概率；
（Ⅱ）求出小亮获得水杯与获得饮料的概率，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，
满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，
∴小亮获得玩具的概率为；
（Ⅱ）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；
小亮获得饮料的概率为1﹣﹣=，
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．
【点评】本题考查概率的计算，考查古典概型，确定基本事件的个数是关键．
17．（12分）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2?﹣1+sin2x
=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；
再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，
∴g（）=2sin+﹣1=．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题．
18．（12分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC，求证：AC⊥FB；
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．
【分析】（Ⅰ）由条件利用等腰三角形的性质，证得BD⊥AC，ED⊥AC，再利用直线和平面垂直的判定定理证得AC⊥平面EFBD，从而证得AC⊥FB．
（Ⅱ）再取CF的中点O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG∥平面ABC，OH∥平面ABC，可得平面OGH∥平面ABC，从而证得GH∥平面ABC．
【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，∵D是AC的中点，AB=BC，AE=EC，
∴△BAC、△EAC都是等腰三角形，
∴BD⊥AC，ED⊥AC．
∵EF∥DB，∴E、F、B、D四点共面，这样，
AC垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
∴AC⊥平面EFBD．
显然，FB?平面EFBD，∴AC⊥FB．
（Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，
则OG∥EF，又∵EF∥DB，故有OG∥BD，
而BD?平面ABC，∴OG∥平面ABC．
同理，OH∥BC，而BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC．
∵OG∩OH=O，∴平面OGH∥平面ABC，∴GH∥平面ABC．
【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属于中档题．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n，
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1，
∴an﹣1=bn﹣1+bn，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（Ⅱ）cn========6（n+1）?2n，
∴Tn=6[2?2+3?22+…+（n+1）?2n]①，
∴2Tn=6[2?22+3?23+…+n?2n+（n+1）?2n+1]②，
①﹣②可得
﹣Tn=6[2?2+22+23+…+2n﹣（n+1）?2n+1]
=12+6×﹣6（n+1）?2n+1
=（﹣6n）?2n+1=﹣3n?2n+2，
∴Tn=3n?2n+2．
【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．
20．（13分）设f（x）=xln x﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；
（2）已知f（x）在x=1处取得极大值，求正实数a的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．
【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，
可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=﹣2a=，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．…（6分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，
可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，
所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．
②当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
③当a＞时，0＜＜1，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．
综上可知，正实数a的取值范围为（，+∞）．…（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
21．（14分）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点M（0，m）（m＞0）的直线交x轴与点N，交C于点A，P（P在第一象限），且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（ⅰ）设直线PM，QM的斜率分别为k1，k2，证明为定值；
（ⅱ）求直线AB的斜率的最小值．
【分析】（Ⅰ）结合题意分别求出a，c的值，再求出b的值，求出椭圆方程即可；
（Ⅱ）（i）设出P的坐标，表示出直线PM，QM的斜率，作比即可；
（ii）设出A，B的坐标，分别求出PA，QB的方程，联立方程组，求出直线AB的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知，
所以．所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）证明：（ⅰ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），
由M（0，m），可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m）．
所以直线PM的斜率k1==，直线QM的斜率k2==﹣，
此时=﹣3．所以为定值﹣3．
（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y=kx+m，
直线QB的方程为y=﹣3kx+m．
联立 整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4=0．
由，可得，
所以．同理．
所以，
，
所以．由m＞0，x0＞0，可知k＞0，
所以，等号当且仅当时取得，
此时，即，
所以直线AB 的斜率的最小值为．
【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，是一道综合题．
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