2017年上海市高考数学试卷
201.6
一. 填空题（本大题共1题，）
，集合，则
2. 若排列数，则
3. 不等式的解集为
4. 已知球的体积为，则该球主视图的面积等于
5. 已知复数满足，则
6. 设双曲线的焦点为、，为该
双曲线上的一点，若，则
7. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
8. 定义在上的函数的反函数为，若为
奇函数，则的解为
9. 已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
10. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于
任意，的第项等于的第项，则
11. 设、，且，则的最小值等于
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“(”的
点在正方形的顶点处，设集合，点
，过作直线，使得不在上的“(”的点
分布在的两侧. 用和分别表示一侧
和另一侧的“(”的点到的距离之和. 若过的直
线中有且只有一条满足，则中
所有这样的为
二. 选择题（本大题共题，每题分，共分）、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）
A. B. C. D.
14. 在数列中，，，则（ ）
A. 等于 B. 等于0 C. 等于 D. 不存在
15. 已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，
使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动
点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为（ ）A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个
三. 解答题（本大题共题，共+14+14+16+18=76分）
的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线
与平面所成角的大小.
18. 已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积.
19. 根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求的坐标；
（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，
求直线的方程.
21. 设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
2017年上海市高考数学试卷
201.6
一. 填空题（本大题共1题，）
，集合，则
【解析】
2. 若排列数，则
【解析】
3. 不等式的解集为
【解析】，解集为
4. 已知球的体积为，则该球主视图的面积等于
【解析】
5. 已知复数满足，则
【解析】
6. 设双曲线的焦点为、，为该双曲线上的一点，若，
则
【解析】
7. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐
标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
【解析】，，
8. 定义在上的函数的反函数为，若为
奇函数，则的解为
【解析】，∴的解为
9. 已知四个函数：① ；② ；③ ；④ . 从中任选2个，则事
件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为
【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为
10. 已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于
任意，的第项等于的第项，则
【解析】
11. 设、，且，则的最小值等于
【解析】，，∴，
即，∴，，
12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“(”的
点在正方形的顶点处，设集合，点
，过作直线，使得不在上的“(”的点
分布在的两侧. 用和分别表示一侧
和另一侧的“(”的点到的距离之和. 若过的直
线中有且只有一条满足，则中
所有这样的为
【解析】、
二. 选择题（本大题共题，每题分，共分）、的二元一次方程组的系数行列式为（ ）
A. B. C. D.
【解析】C
14. 在数列中，，，则（ ）
A. 等于 B. 等于0 C. 等于 D. 不存在
【解析】B
15. 已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，
使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【解析】A
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和. 为上的动
点，为上的动点，是的最大值. 记在上，在上，且，则中元素个数为（ ）A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个
【解析】D
三. 解答题（本大题共题，共+14+14+16+18=76分）
的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱的长为5.
（1）求三棱柱的体积；
（2）设M是BC中点，求直线
与平面所成角的大小.
【解析】（1）
（2），线面角为
18. 已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积.
【解析】（1），，单调递增区间为
（2），∴或，
根据锐角三角形，，∴，
19. 根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【解析】（1）
（2），即第42个月底，保有量达到最大
，∴此时保有量超过了容纳量.
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，为的上顶点，为上异于
上、下顶点的动点，为x正半轴上的动点.
（1）若在第一象限，且，求的坐标；
（2）设，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；
（3）若，直线AQ与交于另一点C，且，，
求直线的方程.
【解析】（1）联立与，可得
（2）设，或
（3）设，线段的中垂线与轴的交点即，∵，
∴，∵，∴，代入并联立椭圆方程，
解得，，∴，∴直线的方程为
21. 设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.
函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.
【解析】（1）；（2）略；（3）略.
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