大 学 线 性 代 数 期 末 全 真 模 拟 试 卷 及 答 案班 别 _______ 姓 名 _________ 成 绩 ___________要 求 ： 1、 本 卷 考 试 形 式 为 闭 卷 ， 考 试 时 间 为 1.5 小 时 。2、 考 生 不 得 将 装 订 成 册 的 试 卷 拆 散 ， 不 得 将 试 卷 或 答 题 卡 带 出 考 场 。3、 考 生 只 允 许 在 密 封 线 以 外 答 题 ， 答 在 密 封 线 以 内 的 将 不 予 评 分 。4、 考 生 答 题 时 一 律 使 用 蓝 色 、 黑 色 钢 笔 或 圆 珠 笔 （ 制 图 、 制 表 等 除 外 ） 。5、 考 生 禁 止 携 带 手 机 、 耳 麦 等 通 讯 器 材 。 否 则 ， 视 为 为 作 弊 。6、 不 可 以 使 用 普 通 计 算 器 等 计 算 工 具 。
一 、 选 择 题1、 设 矩 阵 2 2 , B 2 3 , C 3 2A ? ? ?为 矩 阵 为 矩 阵 为 矩 阵 ， 则 下 列 矩 阵 运 算 无 意 义 的是 （ ）A. BAC B. ABC C. BCA D. CAB2、 设 A， B 为 n 阶 方 阵 ， 0A? 且 0AB ? ， 则 （ ）(A) 0B ? (B) 0BA? (C) 2 2 2( )A B A B? ? ? (D) 0 0A B? ?或3、 A， B， C均 为 n 阶 方 阵 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 （ ）(A) AB BA? (B) 0, 0 0A B AB? ? ?则(C) AB A B? (D) ,AB AC B C? ?若 则
4、 2 2 2( ) 2A B A AB B? ? ? ? 成 立 的 充 要 条 件 是 （ ）(A)AB BA? (B) A E? (C)B E? (D)A B?5、 线 性 方 程 组 ( 1) 22 ( 1)k x y ax k y b? ? ??? ? ? ?? 有 唯 一 解 ， 则 k为 （ ）(A)任 意 实 数 (B) 不 等 于 5? (C) 等 于 5? (D) 不 等 于 06、 下 列 不 是 矩 阵 n nA ? 可 逆 的 充 分 必 要 条 件 的 是 （ ）. A 矩 阵 A为 非 奇 异 矩 阵 . 0B A?. C 齐 次 线 性 方 程 组 0Ax ? 有 唯 一 解 . R( )D A n?
7、 已 知 ? ?4=(3,1,1), =(1 1,3) =(0,2 4) = 2 1,4? ? ? ?? ? ?1 2 3向 量 组 ， ， ， ， ， ， 则 向 量 组 的 ( ). A 1 .B 2 .C 3 .D 48、 下 面 结 论 错 误 的 是 ( ).A 若 n维 向 量 组 1 2 3 4 5 6, , , , ,? ? ? ? ? ? 线 性 无 关 ， 则 3 5 6, ,? ? ? 也 线 性 无 关.B 若 n维 向 量 组 3 4 5 6, , ,? ? ? ? 线 性 相 关 ， 则 1 3 4 5 6, , , ,? ? ? ? ? 也 线 性 相 关.C 含 零 向 量 的 向 量 组 线 性 无 关.D 向 量 组 1 2, , , m? ? ?? （ 当 m>1 时 ） 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是1 2, , , m? ? ?? 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 向 量 线 性 表 示
9、 线 性 方 程 组 m nA x b? ? 无 解 的 充 分 必 要 条 件 是 （ ）.A ( ) ( , )R A R A b? .B ( )= ( , )R A R A b.C ( )= ( , )R A R A b n? .D ( )= ( , )=R A R A b n10、 下 列 四 个 矩 阵 中 ， 哪 个 是 行 最 简 形 （ ）. A 1 0 2 20 1 1 20 0 1 2A ? ?? ?? ?? ?? ?? ? .B 0 1 0 10 0 1 10 0 0 0A ? ?? ??? ?? ?? ?.C 1 3 2 20 1 1 20 0 0 0A ? ?? ?? ?? ?? ?? ? .D 1 1 0 00 1 1 20 0 0 0A ? ?? ?? ?? ?? ?? ?
二 、 填 空 题1、 1 2 3 50 1 2 00 0 3 00 0 0 4 ? ______2、 n元 排 列 ? ?23 1 1n n?? 的 逆 序 数 是3、 设 A为 三 阶 矩 阵 ， 1A ? ， 则 2A?? ?__________4、 矩 阵 2 4 5 33 6 4 24 8 17 11?? ?? ??? ?? ??? ?的 标 准 形 为
5、 若 齐 次 线 性 方 程 组 ? ?? ?? ?1 2 31 2 31 2 3-6 2 -2 02 -3 4 0-2 4 -3 0x x xx x xx x x? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ?? 有 非 零 解 ， 则 常 数 ?应 满 足 条 件__________三 、 计 算 题1、 计 算 n阶 行 列 式 x a aa x aa a x??? ? ??
2、 设 3 2 1A= 3 1 53 2 3? ?? ?? ?? ?? ?， 求 A的 逆 -1A 。
3、 求 矩 阵 方 程 AX B X? ? ， 其 中 0 1 0 1 11 1 1 , 2 01 0 1 5 3A B ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?。
四 、 证 明 题1 、 设 向 量 组 1 2 3 4? ? ? ?， ， ， 线 性 无 关 ， 证 明 ： 向 量 组1 2 2 3 3 4 4 1+ + + +? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， 线 性 相 关 .
五 、 综 合 题1、 已 知 A为 n阶 方 阵 ， 且 满 足 2 2 3 0A A E? ? ?（ 1） 证 明 ： 2A E? 可 逆 ， 并 求 ? ? 12A E ?? 。（ 2） 若 1A ? ， 求 4 6A E? 的 值 。
大 学 线 性 代 数 期 末 全 真 模 拟 试 卷 答 案一 、 选 择 题(1) A （ 2） D （ 3） C （ 4） A （ 5） B6、 B 7、 B 8、 C 9、 A 10、 B二 、 填 空 题1、 12 2、 -1n 3、 -8 4、 1 0 0 00 1 0 00 0 0 0? ?? ?? ?? ?? ? 5、 1 4k k?? ?或三 、 计 算 题
1、 解 ( 1) 1( 1) 1= =[ ( 1) ]( 1) 1x a a x n a a a a aa x a x n a x a x ax n aa a x x n a a x a x? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 110 0[ ( 1) ] [ ( 1) ]( )0 0 na ax ax n a x n a x ax a ??? ? ? ? ? ? ????? ? ??2、 对 ( , )A E 作 初 等 行 变 换 ， 当 A变 为 E时 ， E则 变 为 1A? ,
17 2 31 0 03 2 1 1 0 0 6 3 2( , ) 3 1 5 0 1 0 ~ 0 1 0 1 1 2 ( , )3 2 3 0 0 1 1 10 0 1 02 2A E E A ??? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ?? ?则 1 7 2 36 3 21 1 21 102 2A? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ??? ?? ?也 可 用 求 伴 随 矩 阵 的 方 法 求 该 矩 阵 的 逆 ， 视 情 况 都 可 酌 情 给 分 。3、 由 AX B X? ? ， 得 ( )A E X B? ?? ， 求 X ， 我 们 同 样 可 以 用 上 面 题 目 的 方 法 ， 对? ?,A E B? ?
进 行 初 等 变 换 ， 当 A E? 变 为 E时 ， B? 则 变 为 1( )X A E B??? ? ，
? ? 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1, 1 0 1 2 0 ~ 0 1 1 1 11 0 2 5 3 0 0 3 3 3A E B ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?1 0 0 3 1~ 0 1 0 2 00 0 1 1 1?? ?? ?? ?? ??? ?=? ?1, ( )E A E B?? ?则 ， 1( )X A E B??? ? = 3 12 01 1?? ?? ?? ?? ??? ?
四 、 证 明 ： 设 有 一 组 数 1 2 3 4k k k k, , , 使 ? ?1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 1( + ) ( + ) ( + )+ + 0k k k k? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? （ 1）成 立 ， 整 理 得 1 4 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4( + ) ( + ) ( + ) +( + ) 0k k k k k k k k? ? ? ?? ? ?由 1 2 3 4? ? ? ?， ， ， 线 性 无 关 ， 故1 41 22 33 4+ 0000k kk kk kk k ??? ? ??? ? ??? ? ?? （ 2）
因 为 1 0 0 11 1 0 0 00 1 1 00 0 1 1 ? ， 故 方 程 组 （ 2） 有 非 零 解 。 .因 而 1 2 2 3 3 4 4 1+ + + +? ? ? ? ? ? ? ?， ， ， 线 性 相 关 .五 、 综 合 题（ 1） 证 明 ： 由 2 2 3 0A A E? ? ? ， 得 ( 2 ) 3A A E E? ? ， 则由 A为 n阶 方 阵 ， 2 3 3 0nA A E E? ? ? ? ，2 0A E? ? ? ， 2A E? ? 可 逆 ， 由 上 可 得 ： ( 2 )3A A E E? ? ，? ? 12 3AA E ?? ? ?
（ 2） 由 2 2 3 0A A E? ? ? ， 可 得 2 2 3A A E? ? ，
则 22 4 6A A E? ? ， 所 以 22 4 6A A E? ? ， 由 1A ? ，得 224 6 2 2 2n nA E A A? ? ? ? ?
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