广 东 省 数 学 中 考 仿 真 冲 刺 模 拟 试 卷 （ 含 解 析 ）注 意 事 项 ：1、 勿 折 叠 破 损 答 题 卡 ；2、 正 确 粘 贴 条 形 码 ；3、 每 个 考 生 只 有 一 个 备 用 条 形 码 ；4、 答 串 试 题 ， 在 试 题 前 把 试 题 号 改 写 清 楚 就 行 ；5、 答 错 试 题 ， 重 新 答 ， 一 定 要 在 本 大 题 内 找 空 做 答 ， 标 清 试 题 号 。6、 选 择 试 题 ， 填 涂 信 息 点 时 一 定 用 2B 铅 笔 ， 填 涂 信 息 点 一 定 要 规 范 。
一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）1． （ 3 分 ） |﹣ 2|的 倒 数 是 （ ）A． B． C． 2 D． ﹣ 22． （ 3 分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A． （ x+y） 2＝ x2+y2 B． （ x3） 2＝ x5C． x
3?x3＝ x6 D． x6÷ x3＝ x23． （ 3 分 ） 三 角 形 的 下 列 线 段 中 能 将 三 角 形 的 面 积 分 成 相 等 两 部 分 的 是 （ ）A． 中 线 B． 角 平 分 线 C． 高 D． 中 位 线4． （ 3 分 ） 对 于 一 组 数 据 ﹣ 1， ﹣ 1， 4， 2， 下 列 结 论 不 正 确 的 是 （ ）A． 平 均 数 是 1 B． 众 数 是 ﹣ 1C． 中 位 数 是 0.5 D． 方 差 是 3.55． （ 3 分 ） 已 知 ∠ A 是 锐 角 ， 且 满 足 3tanA﹣ ＝ 0， 则 ∠ A 的 大 小 为 （ ）A． 30° B． 45° C． 60° D． 无 法 确 定
6． （ 3 分 ） 将 一 把 直 尺 与 一 块 三 角 板 如 图 放 置 ， 若 ∠ 1＝ 60° ， 则 ∠ 2 为 （ ）A． 150° B． 120° C． 100° D． 60°
7． （ 3 分 ） 使 式 子 的 值 为 0 的 x 的 值 为 （ ）A． 3 或 1 B． 3 C． 1 D． ﹣ 3 或 ﹣ 18． （ 3 分 ） 若 a、 b 互 为 相 反 数 ， c、 d 互 为 倒 数 ， m 是 1 的 平 方 根 ， 则 m2﹣ cd+ 的 值 为（ ）A． ﹣ 2 或 2 B． 0 或 2 C． 0 或 ﹣ 2 D． 09． （ 3 分 ） 如 图 所 示 的 几 何 体 的 俯 视 图 是 （ ）
A． B． C． D．10． （ 3 分 ） 如 图 1， 在 菱 形 ABCD 中 ， 动 点 P 从 点 B 出 发 ， 沿 折 线 B→ C→ D→ B 运 动 ， 设点 P 经 过 的 路 程 为 x， △ ABP 的 面 积 为 y． 把 y 看 作 x 的 函 数 ， 函 数 的 图 象 如 图 2 所 示 ，则 图 2 中 的 a 等 于 （ ）
A． 25 B． 20 C． 12 D．二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28 分 ）11． （ 4 分 ） 因 式 分 解 ： a2b﹣ 4b＝ ．12． （ 4 分 ） 使 得 二 次 根 式 有 意 义 的 x 的 取 值 范 围 是 ．13． （ 4 分 ） 若 一 个 正 多 边 形 的 外 角 和 等 于 内 角 和 的 一 半 ， 则 该 正 多 边 形 的 边 数 是 ．14． （ 4 分 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2﹣ 2 x+3k＝ 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 值是 ．15． （ 4 分 ） 如 图 ， △ ABC 中 ， DE∥ BC， 且 AD： DB＝ 2： 3， 则 S
△ ADE： S△ 梯 形 DBCE＝ ．
16． （ 4 分 ） 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 12cm， E 为 CD 边 上 一 点 ， DE＝ 5cm． 以 点A 为 中 心 ， 将 △ ADE 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 △ ABF， 则 点 E 所 经 过 的 路 径 长 为 cm．17． （ 4 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB＝ 60° ， 点 D， E 分 别 是 AB， AC 的 中 点 ， 点 F 在线 段 DE 上 ， 连 接 AF， CF． 若 CF 恰 好 平 分 ∠ ACB， 且 CF＝ ， 则 AC 的 长 为 ．
三 、 解 答 题 （ 18～ 20 题 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 ）18． （ 6 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： （ 1﹣ ） ÷ ， 其 中 x＝ +2．19． （ 6 分 ） 纪 中 三 鑫 双 语 学 校 准 备 开 展 “ 阳 光 体 育 活 动 ” ， 决 定 开 设 足 球 、 篮 球 、 乒 乓 球 、羽 毛 球 、 排 球 等 球 类 活 动 ， 为 了 了 解 学 生 对 这 五 项 活 动 的 喜 爱 情 况 ， 随 机 调 查 了 m 名 学生 （ 每 名 学 生 必 选 且 只 能 选 择 这 五 项 活 动 中 的 一 种 ） ．
根 据 以 上 统 计 图 提 供 的 信 息 ， 请 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） m＝ ， n＝ ．（ 2） 补 全 上 图 中 的 条 形 统 计 图 ．（ 3） 在 抽 查 的 m 名 学 生 中 ， 有 小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 等 10 名 学 生 喜 欢 羽 毛 球 活 动 ，学 校 打 算 从 小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 这 4 名 女 生 中 ， 选 取 2 名 参 加 全 市 中 学 生 女 子 羽 毛球 比 赛 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 法 ， 求 同 时 选 中 小 红 、 小 燕 的 概 率 ． （ 解 答 过 程 中 ， 可 将小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 分 别 用 字 母 A、 B、 C、 D 代 表 ）20． （ 6 分 ） 已 知 线 段 a＝ 4cm．（ 1） 用 尺 规 作 图 作 一 个 边 长 为 4cm 的 菱 形 ABCD， 使 ∠ A＝ 60° （ 保 留 作 图 痕 迹 ） ，
（ 2） 求 这 个 菱 形 的 面 积 ．四 、 解 答 题 （ 每 题 8 分 ， 共 24 分 ）21． （ 8 分 ） 某 青 春 党 支 部 在 精 准 扶 贫 活 动 中 ， 给 结 对 帮 扶 的 贫 困 家 庭 赠 送 甲 、 乙 两 种 树 苗让 其 栽 种 ． 已 知 乙 种 树 苗 的 价 格 比 甲 种 树 苗 贵 10 元 ， 用 480 元 购 买 乙 种 树 苗 的 棵 数 恰 好与 用 360 元 购 买 甲 种 树 苗 的 棵 数 相 同 ．（ 1） 求 甲 、 乙 两 种 树 苗 每 棵 的 价 格 各 是 多 少 元 ？（ 2） 在 实 际 帮 扶 中 ， 他 们 决 定 再 次 购 买 甲 、 乙 两 种 树 苗 共 50 棵 ， 此 时 ， 甲 种 树 苗 的 售价 比 第 一 次 购 买 时 降 低 了 10%， 乙 种 树 苗 的 售 价 不 变 ， 如 果 再 次 购 买 两 种 树 苗 的 总 费 用
不 超 过 1500 元 ， 那 么 他 们 最 多 可 购 买 多 少 棵 乙 种 树 苗 ？22． （ 8 分 ） 某 校 初 三 年 级 “ 数 学 兴 趣 小 组 ” 实 地 测 量 操 场 旗 杆 的 高 度 ． 旗 杆 的 影 子 落 在 操场 和 操 场 边 的 土 坡 上 ， 如 图 所 示 ， 测 得 在 操 场 上 的 影 长 BC＝ 20m， 斜 坡 上 的 影 长 CD＝8m， 已 知 斜 坡 CD 与 操 场 平 面 的 夹 角 为 30° ， 同 时 测 得 身 高 1.65m 的 学 生 在 操 场 上 的 影长 为 3.3m． 求 旗 杆 AB 的 高 度 ． （ 结 果 精 确 到 1m）（ 提 示 ： 同 一 时 刻 物 高 与 影 长 成 正 比 ． 参 考 数 据 ： ≈ 1.414. ≈ 1.732. ≈ 2.236）
23． （ 8 分 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y＝ ax+b（ a≠ 0） 的 图 象 与 反 比 例
函 数 的 图 象 交 于 一 、 三 象 限 内 的 A、 B 两 点 ， 与 x 轴 交 于 C 点 ， 点 A 的 坐标 为 （ 2， m） ， 点 B 的 坐 标 为 （ n， ﹣ 2） ， tan∠ BOC＝ ．（ 1） 求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 在 x 轴 上 有 一 点 E（ O 点 除 外 ） ， 使 得 △ BCE 与 △ BCO 的 面 积 相 等 ， 求 出 点 E 的 坐标 ．
五 、 解 答 题 （ 每 题 10 分 ， 共 20 分 ）24． （ 10 分 ） 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C＝ 90° ， ∠ BAC 的 角 平 分 线 AD 交 BC 于 D．（ 1） 动 手 操 作 ： 利 用 尺 规 作 ⊙O， 使 ⊙O 经 过 点 A、 D， 且 圆 心 O 在 AB 上 ； 并 标 出 ⊙O与 AB 的 另 一 个 交 点 E（ 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 ） ；（ 2） 综 合 应 用 ： 在 你 所 作 的 图 中 ，①判 断 直 线 BC 与 ⊙O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；②若 AB＝ 6， BD＝ 2 ， 求 线 段 BD、 BE 与 劣 弧 所 围 成 的 图 形 面 积 （ 结 果 保 留 根 号和 π） ．
25． （ 10 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 顶 点 为 M 的 抛 物 线 是 由 抛 物 线 y＝ x2﹣ 3 向 右 平移 1 个 单 位 得 到 的 ， 它 与 y 轴 负 半 轴 交 于 点 A， 点 B 在 抛 物 线 上 ， 且 横 坐 标 为 3．（ 1） 写 出 以 M 为 顶 点 的 抛 物 线 解 析 式 及 点 A、 B、 M 的 坐 标 ；（ 2） 连 接 AB， AM， BM， 求 tan∠ ABM；
（ 3） 点 P 是 顶 点 为 M 的 抛 物 线 上 一 点 ， 且 位 于 对 称 轴 的 右 侧 ， 设 PO 与 x 轴 正 半 轴 的 夹角 为 α， 当 α＝ ∠ ABM 时 ， 求 点 P 坐 标 ．
参 考 答 案 与 试 题 解 析一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ）1． （ 3 分 ） 4 的 相 反 数 是 （ ）A． 4 B． ﹣ 4 C． D．【 分 析 】 根 据 相 反 数 的 性 质 ， 互 为 相 反 数 的 两 个 数 和 为 0， 采 用 逐 一 检 验 法 求 解 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 根 据 概 念 ， （ 4 的 相 反 数 ） +（ 4） ＝ 0， 则 4 的 相 反 数 是 ﹣ 4．故 选 ： B．
【 点 评 】 主 要 考 查 相 反 数 的 性 质 ．相 反 数 的 定 义 为 ： 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 ， 0 的 相 反 数 是 0．2． （ 3 分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A． （ x+y） 2＝ x2+y2 B． （ x3） 2＝ x5C． x3?x3＝ x6 D． x6÷ x3＝ x2【 分 析 】 用 完 全 平 方 差 公 式 ， 同 底 数 幂 的 运 算 法 则 判 断 即 可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ （ x+y） 2＝ x2+2xy+y2，∴ A 不 合 题 意 ．∵ （ x
3） 2＝ x6，∴ B 不 合 题 意 ．∵ x3?x3＝ x3+3＝ x6．∴ C 符 合 题 意 ．∵ x6÷ x3＝ x6﹣ 3＝ x3．∴ D 不 合 题 意 ．故 选 ： C．【 点 评 】 本 题 考 查 完 全 平 方 差 ， 同 底 数 幂 的 运 算 ， 正 确 掌 握 各 运 算 法 则 是 求 解 本 题 的 关
键 ．3． （ 3 分 ） 三 角 形 的 下 列 线 段 中 能 将 三 角 形 的 面 积 分 成 相 等 两 部 分 的 是 （ ）A． 中 线 B． 角 平 分 线 C． 高 D． 中 位 线【 分 析 】 根 据 等 底 等 高 的 三 角 形 的 面 积 相 等 解 答 ．【 解 答 】 解 ： ∵ 三 角 形 的 中 线 把 三 角 形 分 成 两 个 等 底 同 高 的 三 角 形 ，
∴ 三 角 形 的 中 线 将 三 角 形 的 面 积 分 成 相 等 两 部 分 ．故 选 ： A．【 点 评 】 本 题 考 查 了 三 角 形 的 面 积 ， 主 要 利 用 了 “ 三 角 形 的 中 线 把 三 角 形 分 成 两 个 等 底同 高 的 三 角 形 ” 的 知 识 ， 本 知 识 点 是 中 学 阶 段 解 三 角 形 的 面 积 经 常 使 用 ， 一 定 要 熟 练 掌握 并 灵 活 应 用 ．
4． （ 3 分 ） 对 于 一 组 数 据 ﹣ 1， ﹣ 1， 4， 2， 下 列 结 论 不 正 确 的 是 （ ）A． 平 均 数 是 1 B． 众 数 是 ﹣ 1C． 中 位 数 是 0.5 D． 方 差 是 3.5【 分 析 】 根 据 众 数 、 中 位 数 、 方 差 和 平 均 数 的 定 义 和 计 算 公 式 分 别 对 每 一 项 进 行 分 析 ，即 可 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： 这 组 数 据 的 平 均 数 是 ： （ ﹣ 1﹣ 1+4+2） ÷ 4＝ 1；﹣ 1 出 现 了 2 次 ， 出 现 的 次 数 最 多 ， 则 众 数 是 ﹣ 1；把 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为 ： ﹣ 1， ﹣ 1， 2， 4， 最 中 间 的 数 是 第 2、 3 个 数 的 平 均 数 ， 则
中 位 数 是 ＝ 0.5；这 组 数 据 的 方 差 是 ： [（ ﹣ 1﹣ 1） 2+（ ﹣ 1﹣ 1） 2+（ 4﹣ 1） 2+（ 2﹣ 1） 2]＝ 4.5；则 下 列 结 论 不 正 确 的 是 D；故 选 ： D．【 点 评 】 此 题 考 查 了 方 差 、 平 均 数 、 众 数 和 中 位 数 ， 一 般 地 设 n 个 数 据 ， x1， x2， … xn的 平 均 数 为 ， 则 方 差 S2＝ [（ x1﹣ ） 2+（ x2﹣ ） 2+… +（ xn﹣ ） 2]； 一 组 数 据 中 出现 次 数 最 多 的 数 据 叫 做 众 数 ； 将 一 组 数 据 按 照 从 小 到 大 （ 或 从 大 到 小 ） 的 顺 序 排 列 ， 如果 数 据 的 个 数 是 奇 数 ， 则 处 于 中 间 位 置 的 数 就 是 这 组 数 据 的 中 位 数 ； 如 果 这 组 数 据 的 个
数 是 偶 数 ， 则 中 间 两 个 数 据 的 平 均 数 就 是 这 组 数 据 的 中 位 数 ．5． （ 3 分 ） 已 知 ∠ A 是 锐 角 ， 且 满 足 3tanA﹣ ＝ 0， 则 ∠ A 的 大 小 为 （ ）A． 30° B． 45° C． 60° D． 无 法 确 定【 分 析 】 直 接 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 进 而 计 算 得 出 答 案 ．
【 解 答 】 解 ： ∵ 3tanA﹣ ＝ 0，∴ tanA＝ ，∴ ∠ A＝ 30° ．故 选 ： A．【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 正 确 记 忆 相 关 数 据 是 解 题 关 键 ．6． （ 3 分 ） 将 一 把 直 尺 与 一 块 三 角 板 如 图 放 置 ， 若 ∠ 1＝ 60° ， 则 ∠ 2 为 （ ）
A． 150° B． 120° C． 100° D． 60°【 分 析 】 依 据 ∠ 3 是 △ CDE 的 外 角 ， 即 可 得 出 ∠ 3＝ 150° ， 再 根 据 CD∥ AB， 即 可 得 到∠ 2＝ ∠ 3＝ 150° ．【 解 答 】 解 ： 如 图 所 示 ， ∵ ∠ 3 是 △ CDE 的 外 角 ，∴ ∠ 3＝ 90° +∠ 1＝ 90° +60° ＝ 150° ，又 ∵ CD∥ AB，∴ ∠ 2＝ ∠ 3＝ 150° ，故 选 ： A．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质 ， 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和的 性 质 ， 熟 记 性 质 是 解 题 的 关 键 ．7． （ 3 分 ） 使 式 子 的 值 为 0 的 x 的 值 为 （ ）A． 3 或 1 B． 3 C． 1 D． ﹣ 3 或 ﹣ 1【 分 析 】 分 式 的 值 为 0 的 条 件 是 ： （ 1） 分 子 为 0； （ 2） 分 母 不 为 0． 两 个 条 件 需 同 时 具 备 ，缺 一 不 可 ． 据 此 可 以 解 答 本 题 ．【 解 答 】 解 ： 由 题 意 可 得 x﹣ 3≠ 0 且 x
2﹣ 4x+3＝ 0，由 x﹣ 3≠ 0， 得 x≠ 3，
由 x2﹣ 4x+3＝ 0， 得 （ x﹣ 1） （ x﹣ 3） ＝ 0，∴ x＝ 1 或 x＝ 3，综 上 ， 得 x＝ 1， 即 x 的 值 为 1．故 选 ： C．【 点 评 】 本 题 考 查 了 分 式 的 值 为 0 的 条 件 ． 由 于 该 类 型 的 题 易 忽 略 分 母 不 为 0 这 个 条 件 ，所 以 常 以 这 个 知 识 点 来 命 题 ．8． （ 3 分 ） 若 a、 b 互 为 相 反 数 ， c、 d 互 为 倒 数 ， m 是 1 的 平 方 根 ， 则 m2﹣ cd+ 的 值 为（ ）
A． ﹣ 2 或 2 B． 0 或 2 C． 0 或 ﹣ 2 D． 0【 分 析 】 根 据 题 意 得 a+b＝ 0， cd＝ 1， m2＝ 1， 整 体 代 入 代 数 式 求 值 即 可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ a、 b 互 为 相 反 数 ， c、 d 互 为 倒 数 ， m 是 1 的 平 方 根 ，∴ a+b＝ 0， cd＝ 1， m2＝ 1，∴ 原 式 ＝ 1﹣ 1+0＝ 0，故 选 ： D．【 点 评 】 本 题 考 查 了 实 数 的 运 算 ， 考 查 了 整 体 思 想 ， 整 体 代 入 代 数 式 求 值 是 解 题 的 关 键 ．9． （ 3 分 ） 如 图 所 示 的 几 何 体 的 俯 视 图 是 （ ）
A． B． C． D．【 分 析 】 根 据 俯 视 图 的 意 义 ， 从 上 面 看 该 几 何 体 所 得 到 的 图 形 结 合 选 项 进 行 判 断 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 从 上 面 看 该 几 何 体 ， 是 一 列 两 个 矩 形 ，故 选 ： D．【 点 评 】 本 题 考 查 简 单 组 合 体 的 三 视 图 ， 明 确 能 看 见 的 轮 廓 线 用 实 线 表 示 ， 看 不 见 的 轮廓 线 用 虚 线 表 示 是 得 出 正 确 答 案 的 前 提 ．10． （ 3 分 ） 如 图 1， 在 菱 形 ABCD 中 ， 动 点 P 从 点 B 出 发 ， 沿 折 线 B→ C→ D→ B 运 动 ， 设点 P 经 过 的 路 程 为 x， △ ABP 的 面 积 为 y． 把 y 看 作 x 的 函 数 ， 函 数 的 图 象 如 图 2 所 示 ，则 图 2 中 的 a 等 于 （ ）
A． 25 B． 20 C． 12 D．【 分 析 】 x＝ 5 时 ， BC＝ 5； x＝ 10 时 ， BC+CD＝ 10， 则 CD＝ 5； x＝ 18 时 ， CB+CD+BD＝ 18， 则 BD＝ 8， 进 而 求 解 ．【 解 答 】 解 ： 如 图 2，x＝ 5 时 ， BC＝ 5，x＝ 10 时 ， BC+CD＝ 10， 则 CD＝ 5，x＝ 18 时 ， CB+CD+BD＝ 18， 则 BD＝ 8，如 下 图 ， 过 点 C 作 CH⊥ BD 交 于 H，
在 Rt△ CDH 中 ，∵ CD＝ BC， CH⊥ BD，∴ DH＝ BD＝ 4， 而 CD＝ 5， 故 CH＝ 3，当 x＝ 5 时 ， 点 P 与 点 C 重 合 ， 即 BP＝ 5，a＝ S△ ABP＝ S△ ABC＝ BD× CH＝ × 8× 3＝ 12，故 选 ： C．【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 动 点 图 象 问 题 ， 涉 及 到 图 形 的 面 积 、 解 直 角 三 角 形 等 知 识 ， 此 类问 题 关 键 是 ： 弄 清 楚 不 同 时 间 段 ， 图 象 和 图 形 的 对 应 关 系 ， 进 而 求 解 ．
二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28 分 ）11． （ 4 分 ） 因 式 分 解 ： a2b﹣ 4b＝ b（ a+2） （ a﹣ 2） ．【 分 析 】 观 察 原 式 a2b﹣ 4b， 找 到 公 因 式 b， 提 出 公 因 式 后 发 现 a2﹣ 4 符 合 平 方 差 公 式 ，利 用 平 方 差 公 式 继 续 分 解 可 得 ．
【 解 答 】 解 ： a2b﹣ 4b＝ b（ a2﹣ 4） ＝ b（ a+2） （ a﹣ 2） ．【 点 评 】 考 查 了 对 一 个 多 项 式 因 式 分 解 的 能 力 ． 一 般 地 ， 因 式 分 解 有 两 种 方 法 ， 提 公 因式 法 ， 公 式 法 ， 能 提 公 因 式 先 提 公 因 式 ， 然 后 再 考 虑 公 式 法 （ 平 方 差 公 式 ） ． 要 求 灵 活 运用 各 种 方 法 进 行 因 式 分 解 ．12． （ 4 分 ） 使 得 二 次 根 式 有 意 义 的 x 的 取 值 范 围 是 x≥ ﹣ ．【 分 析 】 根 据 被 开 方 数 大 于 等 于 0 列 式 计 算 即 可 得 解 ．【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 ， 2x+1≥ 0，解 得 x≥ ﹣ ．
故 答 案 为 ： x≥ ﹣ ．【 点 评 】 本 题 考 查 的 知 识 点 为 ： 二 次 根 式 的 被 开 方 数 是 非 负 数 ．13． （ 4 分 ） 若 一 个 正 多 边 形 的 外 角 和 等 于 内 角 和 的 一 半 ， 则 该 正 多 边 形 的 边 数 是 6 ．【 分 析 】 根 据 一 个 正 多 边 形 的 外 角 和 等 于 其 内 角 和 的 一 半 ， 可 得 内 角 和 度 数 ， 再 根 据 内角 和 得 出 这 个 正 多 边 形 的 边 数 ．【 解 答 】 解 ： ∵ 正 多 边 形 的 外 角 和 等 于 其 内 角 和 的 一 半 ， 多 边 形 的 外 角 和 等 于 360° ，∴ 这 个 正 多 边 形 的 内 角 和 为 720° ，∴ 这 个 正 多 边 形 的 边 数 为 720° ÷ 180° +2＝ 6，
所 以 该 正 多 边 形 的 边 数 是 6．故 答 案 为 ： 6．【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 多 边 形 的 内 角 和 与 外 角 和 ， 根 据 题 意 得 到 这 个 多 边 形 的 内 角 和是 720° 是 解 题 关 键 ．14． （ 4 分 ） 已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x2﹣ 2 x+3k＝ 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 k 的 值 是1 ．【 分 析 】 根 据 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 可 得 出 Δ ＝ 0， 列 出 关 于 k 的 方 程 ， 求 出 k 的 值 即可 ．【 解 答 】 解 ： ∵ 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 x
2﹣ 2 x+3k＝ 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ，∴ Δ ＝ 0， 即 Δ ＝ （ ﹣ 2 ） 2﹣ 12k＝ 0， 解 得 k＝ 1．故 答 案 为 ： 1．【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 根 的 判 别 式 ， 一 元 二 次 方 程 ax2+bx+c＝ 0（ a≠ 0） 的 根 与 Δ ＝ b2﹣ 4ac 的 关 系 是 解 答 此 题 的 关 键 ．
15． （ 4 分 ） 如 图 ， △ ABC 中 ， DE∥ BC， 且 AD： DB＝ 2： 3， 则 S△ ADE： S△ 梯 形 DBCE＝ 4：21 ．【 分 析 】 证 明 △ ADE∽ △ ABC， 进 而 证 明 ， 即 可 解 决 问 题 ．【 解 答 】 解 ： ∵ DE∥ BC， 且 AD： DB＝ 2： 3，
∴ △ ADE∽ △ ABC， ，∴ ，故 答 案 为 4： 21．
【 点 评 】 该 题 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 及 其 性 质 的 应 用 问 题 ； 应 牢 固 掌 握 相 似 三 角形 的 判 定 及 其 性 质 ， 并 能 灵 活 运 用 、 解 题 ．16． （ 4 分 ） 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 12cm， E 为 CD 边 上 一 点 ， DE＝ 5cm． 以 点A 为 中 心 ， 将 △ ADE 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 △ ABF， 则 点 E 所 经 过 的 路 径 长 为 cm．【 分 析 】 先 利 用 勾 股 定 理 求 出 AE 的 长 ， 然 后 根 据 旋 转 的 性 质 得 到 旋 转 角 为 ∠ DAB＝ 90° ，
最 后 根 据 弧 长 公 式 即 可 计 算 出 点 E 所 经 过 的 路 径 长 ．【 解 答 】 解 ： ∵ AD＝ 12cm， DE＝ 5cm，∴ AE＝ ＝ 13（ cm） ，
又 ∵ 将 △ ADE 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 △ ABF， 而 AD＝ AB，∴ 旋 转 角 为 ∠ DAB＝ 90° ，∴ 点 E 所 经 过 的 路 径 长 ＝ ＝ （ cm） ．故 答 案 为 ．【 点 评 】 本 题 考 查 了 弧 长 公 式 ： l＝ ； 也 考 查 了 正 方 形 的 性 质 以 及 旋 转 的 性 质 ．17． （ 4 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB＝ 60° ， 点 D， E 分 别 是 AB， AC 的 中 点 ， 点 F 在线 段 DE 上 ， 连 接 AF， CF． 若 CF 恰 好 平 分 ∠ ACB， 且 CF＝ ， 则 AC 的 长 为 2 ．
【 分 析 】 延 长 AF 交 BC 于 F， 根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 得 到 DE∥ BC， 根 据 等 腰 三 角 形 的性 质 得 到 CF⊥ AF， ∠ CFA＝ 30° ， 根 据 余 弦 的 定 义 计 算 即 可 ．【 解 答 】 解 ： 延 长 AF 交 BC 于 F，∵ D， E 分 别 是 AB， AC 的 中 点 ，∴ DE∥ BC，∵ DE∥ BC， AE＝ EC，∴ AF＝ FH，∵ CF 恰 好 平 分 ∠ ACB， ∠ ACB＝ 60° ，∴ CF⊥ AF， ∠ CFA＝ 30° ，
∴ AC＝ ＝ 2，故 答 案 为 ： 2．【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 三 角 形 中 位 线 定 理 、 余 弦 的 定 义 ， 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 掌 握 三 角
形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 ， 且 等 于 第 三 边 的 一 半 是 解 题 的 关 键 ．三 、 解 答 题 （ 18～ 20 题 每 小 题 6 分 ， 共 18 分 ）18． （ 6 分 ） 先 化 简 ， 再 求 值 ： （ 1﹣ ） ÷ ， 其 中 x＝ +2．【 分 析 】 原 式 括 号 中 两 项 通 分 并 利 用 同 分 母 分 式 的 减 法 法 则 计 算 ， 同 时 利 用 除 法 法 则 变形 ， 约 分 得 到 最 简 结 果 ， 把 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 ．【 解 答 】 解 ： 原 式 ＝ ? ＝ ，
当 x＝ +2 时 ， 原 式 ＝ ＝ ﹣ 1．【 点 评 】 此 题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值 ， 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 本 题 的 关 键 ．19． （ 6 分 ） 纪 中 三 鑫 双 语 学 校 准 备 开 展 “ 阳 光 体 育 活 动 ” ， 决 定 开 设 足 球 、 篮 球 、 乒 乓 球 、羽 毛 球 、 排 球 等 球 类 活 动 ， 为 了 了 解 学 生 对 这 五 项 活 动 的 喜 爱 情 况 ， 随 机 调 查 了 m 名 学生 （ 每 名 学 生 必 选 且 只 能 选 择 这 五 项 活 动 中 的 一 种 ） ．
根 据 以 上 统 计 图 提 供 的 信 息 ， 请 解 答 下 列 问 题 ：（ 1） m＝ 100 ， n＝ 5 ．（ 2） 补 全 上 图 中 的 条 形 统 计 图 ．（ 3） 在 抽 查 的 m 名 学 生 中 ， 有 小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 等 10 名 学 生 喜 欢 羽 毛 球 活 动 ，学 校 打 算 从 小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 这 4 名 女 生 中 ， 选 取 2 名 参 加 全 市 中 学 生 女 子 羽 毛球 比 赛 ， 请 用 列 表 法 或 画 树 状 图 法 ， 求 同 时 选 中 小 红 、 小 燕 的 概 率 ． （ 解 答 过 程 中 ， 可 将小 薇 、 小 燕 、 小 红 、 小 梅 分 别 用 字 母 A、 B、 C、 D 代 表 ）【 分 析 】 （ 1） 根 据 篮 球 的 人 数 和 占 所 占 的 百 分 比 求 出 总 人 数 ， 再 用 排 球 的 人 数 除 以 总 人数 即 可 求 出 n 的 值 ；
（ 2） 用 总 人 数 减 去 其 它 项 目 的 人 数 ， 即 可 求 出 足 球 的 人 数 ， 从 而 补 全 统 计 图 ；（ 3） 根 据 题 意 先 画 出 树 状 图 得 出 所 有 等 可 能 的 情 况 数 和 同 时 选 中 小 红 、 小 燕 的 情 况 数 ，再 根 据 概 率 公 式 即 可 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 由 题 意 m＝ 30÷ 30%＝ 100， 排 球 占 × 100%＝ 5%，则 n＝ 5，故 答 案 为 100， 5．（ 2） 足 球 的 人 数 是 ： 100﹣ 30﹣ 20﹣ 10﹣ 5＝ 35 人 ，条 形 图 如 图 所 示 ，
（ 3） 根 据 题 意 画 树 状 图 如 下 ：∵ 一 共 有 12 种 可 能 出 现 的 结 果 ， 它 们 都 是 等 可 能 的 ， 符 合 条 件 的 有 两 种 ，∴ P（ B、 C 两 人 进 行 比 赛 ） ＝ ＝ ．【 点 评 】 本 题 考 查 的 是 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 以 及 概 率 公 式 的 综 合 运 用 ， 读 懂 统 计 图 ，从 不 同 的 统 计 图 中 得 到 必 要 的 信 息 是 解 决 问 题 的 关 键 ． 条 形 统 计 图 能 清 楚 地 表 示 出 每 个
项 目 的 数 据 ； 扇 形 统 计 图 直 接 反 映 部 分 占 总 体 的 百 分 比 大 小 ．20． （ 6 分 ） 已 知 线 段 a＝ 4cm．（ 1） 用 尺 规 作 图 作 一 个 边 长 为 4cm 的 菱 形 ABCD， 使 ∠ A＝ 60° （ 保 留 作 图 痕 迹 ） ，（ 2） 求 这 个 菱 形 的 面 积 ．
【 分 析 】 （ 1） 直 接 利 用 菱 形 的 性 质 以 及 等 边 三 角 形 的 性 质 得 出 D， C 点 位 置 ；（ 2） 直 接 利 用 菱 形 面 积 求 法 得 出 答 案 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 所 示 ： 四 边 形 ABCD 即 为 所 求 ；（ 2） 过 点 D 作 DH⊥ AB 于 点 H，∵ ∠ A＝ 60° ， AD＝ 4cm，∴ ∠ DAH＝ 30° ， 则 AH＝ AD＝ 2cm，故 DH＝ ＝ 2 （ cm） ，
则 这 个 菱 形 的 面 积 为 ： AB?DH＝ 4× 2 ＝ 8 （ cm2） ．【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 复 杂 作 图 以 及 菱 形 的 面 积 ， 正 确 掌 握 菱 形 的 性 质 是 解 题 关 键 ．四 、 解 答 题 （ 每 题 8 分 ， 共 24 分 ）
21． （ 8 分 ） 某 青 春 党 支 部 在 精 准 扶 贫 活 动 中 ， 给 结 对 帮 扶 的 贫 困 家 庭 赠 送 甲 、 乙 两 种 树 苗让 其 栽 种 ． 已 知 乙 种 树 苗 的 价 格 比 甲 种 树 苗 贵 10 元 ， 用 480 元 购 买 乙 种 树 苗 的 棵 数 恰 好与 用 360 元 购 买 甲 种 树 苗 的 棵 数 相 同 ．（ 1） 求 甲 、 乙 两 种 树 苗 每 棵 的 价 格 各 是 多 少 元 ？（ 2） 在 实 际 帮 扶 中 ， 他 们 决 定 再 次 购 买 甲 、 乙 两 种 树 苗 共 50 棵 ， 此 时 ， 甲 种 树 苗 的 售价 比 第 一 次 购 买 时 降 低 了 10%， 乙 种 树 苗 的 售 价 不 变 ， 如 果 再 次 购 买 两 种 树 苗 的 总 费 用不 超 过 1500 元 ， 那 么 他 们 最 多 可 购 买 多 少 棵 乙 种 树 苗 ？【 分 析 】 （ 1） 可 设 甲 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 x 元 ， 则 乙 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 （ x+10） 元 ，根 据 等 量 关 系 ： 用 480 元 购 买 乙 种 树 苗 的 棵 数 恰 好 与 用 360 元 购 买 甲 种 树 苗 的 棵 数 相 同 ，
列 出 方 程 求 解 即 可 ；（ 2） 可 设 他 们 可 购 买 y 棵 乙 种 树 苗 ， 根 据 不 等 关 系 ： 再 次 购 买 两 种 树 苗 的 总 费 用 不 超 过1500 元 ， 列 出 不 等 式 求 解 即 可 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 设 甲 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 x 元 ， 则 乙 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 （ x+10） 元 ，
依 题 意 有＝ ，解 得 ： x＝ 30．经 检 验 ， x＝ 30 是 原 方 程 的 解 ，x+10＝ 30+10＝ 40．答 ： 甲 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 30 元 ， 乙 种 树 苗 每 棵 的 价 格 是 40 元 ．（ 2） 设 他 们 可 购 买 y 棵 乙 种 树 苗 ， 依 题 意 有30× （ 1﹣ 10%） （ 50﹣ y） +40y≤ 1500，
解 得 y≤ 11 ，∵ y 为 整 数 ，∴ y 最 大 为 11．答 ： 他 们 最 多 可 购 买 11 棵 乙 种 树 苗 ．【 点 评 】 考 查 了 分 式 方 程 的 应 用 ， 分 析 题 意 ， 找 到 合 适 的 等 量 关 系 和 不 等 关 系 是 解 决 问题 的 关 键22． （ 8 分 ） 某 校 初 三 年 级 “ 数 学 兴 趣 小 组 ” 实 地 测 量 操 场 旗 杆 的 高 度 ． 旗 杆 的 影 子 落 在 操场 和 操 场 边 的 土 坡 上 ， 如 图 所 示 ， 测 得 在 操 场 上 的 影 长 BC＝ 20m， 斜 坡 上 的 影 长 CD＝
8m， 已 知 斜 坡 CD 与 操 场 平 面 的 夹 角 为 30° ， 同 时 测 得 身 高 1.65m 的 学 生 在 操 场 上 的 影长 为 3.3m． 求 旗 杆 AB 的 高 度 ． （ 结 果 精 确 到 1m）（ 提 示 ： 同 一 时 刻 物 高 与 影 长 成 正 比 ． 参 考 数 据 ： ≈ 1.414. ≈ 1.732. ≈ 2.236）【 分 析 】 根 据 已 知 条 件 ， 过 D 分 别 作 BC、 AB 的 垂 线 ， 设 垂 足 为 E、 F； 在 Rt△ DCE 中 ，已 知 斜 边 CD 的 长 ， 和 ∠ DCE 的 度 数 ， 满 足 解 直 角 三 角 形 的 条 件 ， 可 求 出 DE、 CE 的 长 ． 即
可 求 得 DF、 BF 的 长 ； 在 Rt△ ADF 中 ， 根 据 同 一 时 刻 物 高 与 影 长 成 正 比 求 出 DF 的 长 ，即 可 求 得 AF 的 长 ， 进 而 AB＝ AF+BF 可 求 出 ．【 解 答 】 解 ： 过 D 作 DE 垂 直 BC 的 延 长 线 于 E， 且 过 D 作 DF⊥ AB 于 F，∵ 在 Rt△ DEC 中 ， CD＝ 8 米 ， ∠ DCE＝ 30°
∴ DE＝ 4 米 ， CE＝ 4 米 ，∴ BF＝ 4 米 ， DF＝ （ 20+4 ） 米 ，∵ 身 高 l.65m 的 学 生 在 操 场 上 的 影 长 为 3.3m．∴ ＝ ，则 AF＝ （ 10+2 ） 米 ，AB＝ AF+BF＝ 10+2 +4＝ （ 14+2 ） ≈ 17 米 ．∴ 电 线 杆 的 高 度 为 17 米 ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 的 能 力 ， 应 用 问 题 尽 管 题 型 千 变 万 化 ，但 关 键 是 设 法 化 归 为 解 直 角 三 角 形 问 题 ， 必 要 时 应 添 加 辅 助 线 ， 构 造 出 直 角 三 角 形 ．23． （ 8 分 ） 已 知 ： 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y＝ ax+b（ a≠ 0） 的 图 象 与 反 比 例函 数 的 图 象 交 于 一 、 三 象 限 内 的 A、 B 两 点 ， 与 x 轴 交 于 C 点 ， 点 A 的 坐标 为 （ 2， m） ， 点 B 的 坐 标 为 （ n， ﹣ 2） ， tan∠ BOC＝ ．（ 1） 求 该 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 解 析 式 ；（ 2） 在 x 轴 上 有 一 点 E（ O 点 除 外 ） ， 使 得 △ BCE 与 △ BCO 的 面 积 相 等 ， 求 出 点 E 的 坐标 ．
【 分 析 】 （ 1） 过 B 点 作 BD⊥ x 轴 ， 垂 足 为 D， 由 B（ n， ﹣ 2） 得 BD＝ 2， 由 tan∠ BOC＝ ， 解 直 角 三 角 形 求 OD， 确 定 B 点 坐 标 ， 得 出 反 比 例 函 数 关 系 式 ， 再 由 A、 B 两 点 横坐 标 与 纵 坐 标 的 积 相 等 求 n 的 值 ， 由 “ 两 点 法 ” 求 直 线 AB 的 解 析 式 ；
（ 2） 点 E 为 x 轴 上 的 点 ， 要 使 得 △ BCE 与 △ BCO 的 面 积 相 等 ， 只 需 要 CE＝ CO 即 可 ，根 据 直 线 AB 解 析 式 求 CO， 再 确 定 E 点 坐 标 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 过 B 点 作 BD⊥ x 轴 ， 垂 足 为 D，∵ B（ n， ﹣ 2） ，∴ BD＝ 2，在 Rt△ OBD 中 ， tan∠ BOC＝ ， 即 ＝ ，解 得 OD＝ 5，又 ∵ B 点 在 第 三 象 限 ，
∴ B（ ﹣ 5， ﹣ 2） ，将 B（ ﹣ 5， ﹣ 2） 代 入 y＝ 中 ， 得 k＝ xy＝ 10，∴ 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y＝ ，将 A（ 2， m） 代 入 y＝ 中 ， 得 m＝ 5，∴ A（ 2， 5） ，将 A（ 2， 5） ， B（ ﹣ 5， ﹣ 2） 代 入 y＝ ax+b 中 ，得 ，
解 得 ．则 一 次 函 数 解 析 式 为 y＝ x+3；（ 2） 由 y＝ x+3 得 C（ ﹣ 3， 0） ， 即 OC＝ 3，∵ S△ BCE＝ S△ BCO，∴ CE＝ OC＝ 3，∴ OE＝ 6， 即 E（ ﹣ 6， 0） ．
【 点 评 】 本 题 考 查 了 反 比 例 函 数 的 综 合 运 用 ． 关 键 是 通 过 解 直 角 三 角 形 确 定 B 点 坐 标 ，根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 求 A 点 坐 标 ， 求 出 反 比 例 函 数 解 析 式 ， 一 次 函 数 解 析式 ．五 、 解 答 题 （ 每 题 10 分 ， 共 20 分 ）24． （ 10 分 ） 如 图 ， 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C＝ 90° ， ∠ BAC 的 角 平 分 线 AD 交 BC 于 D．（ 1） 动 手 操 作 ： 利 用 尺 规 作 ⊙O， 使 ⊙O 经 过 点 A、 D， 且 圆 心 O 在 AB 上 ； 并 标 出 ⊙O与 AB 的 另 一 个 交 点 E（ 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 ） ；（ 2） 综 合 应 用 ： 在 你 所 作 的 图 中 ，①判 断 直 线 BC 与 ⊙O 的 位 置 关 系 ， 并 说 明 理 由 ；
②若 AB＝ 6， BD＝ 2 ， 求 线 段 BD、 BE 与 劣 弧 所 围 成 的 图 形 面 积 （ 结 果 保 留 根 号和 π） ．【 分 析 】 （ 1） 根 据 题 意 得 ： O 点 应 该 是 AD 垂 直 平 分 线 与 AB 的 交 点 ；（ 2） ①由 ∠ BAC 的 角 平 分 线 AD 交 BC 边 于 D， 与 圆 的 性 质 可 证 得 AC∥ OD， 又 由 ∠ C
＝ 90° ， 则 问 题 得 证 ；②设 ⊙O 的 半 径 为 r． 则 在 Rt△ OBD 中 ， 利 用 勾 股 定 理 列 出 关 于 r 的 方 程 ， 通 过 解 方 程即 可 求 得 r 的 值 ； 然 后 根 据 扇 形 面 积 公 式 和 三 角 形 面 积 的 计 算 可 以 求 得 “ 线 段 BD、 BE与 劣 弧 DE 所 围 成 的 图 形 面 积 为 ： S△ ODB﹣ S 扇 形 ODE＝ 2 ﹣ π” ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 如 图 1；
（ 2） ①如 图 1， 连 接 OD，∵ OA＝ OD，∴ ∠ OAD＝ ∠ ADO，∵ ∠ BAC 的 角 平 分 线 AD 交 BC 边 于 D，∴ ∠ CAD＝ ∠ OAD，∴ ∠ CAD＝ ∠ ADO，∴ AC∥ OD，∵ ∠ C＝ 90° ，∴ ∠ ODB＝ 90° ，
∴ OD⊥ BC，即 直 线 BC 与 ⊙O 的 切 线 ，∴ 直 线 BC 与 ⊙O 的 位 置 关 系 为 相 切 ；（ 2） 如 图 2， 设 ⊙O 的 半 径 为 r， 则 OB＝ 6﹣ r， 又 BD＝ 2 ，在 Rt△ OBD 中 ，OD2+BD2＝ OB2，即 r
2+（ 2 ） 2＝ （ 6﹣ r） 2，解 得 r＝ 2， OB＝ 6﹣ r＝ 4，∴ ∠ DOB＝ 60° ，∴ S 扇 形 ODE＝ ＝ π，S
△ ODB＝ OD?BD＝ × 2× 2 ＝ 2 ，∴ 线 段 BD、 BE 与 劣 弧 DE 所 围 成 的 图 形 面 积 为 ： S△ ODB﹣ S 扇 形 ODE＝ 2 ﹣ π．
【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 了 切 线 的 判 定 与 性 质 以 及 扇 形 面 积 与 三 角 形 面 积 的 求 解 方 法 等 知识 ， 注 意 数 形 结 合 思 想 的 应 用 是 解 答 此 题 的 关 键 ．25． （ 10 分 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 顶 点 为 M 的 抛 物 线 是 由 抛 物 线 y＝ x2﹣ 3 向 右 平移 1 个 单 位 得 到 的 ， 它 与 y 轴 负 半 轴 交 于 点 A， 点 B 在 抛 物 线 上 ， 且 横 坐 标 为 3．（ 1） 写 出 以 M 为 顶 点 的 抛 物 线 解 析 式 及 点 A、 B、 M 的 坐 标 ；（ 2） 连 接 AB， AM， BM， 求 tan∠ ABM；（ 3） 点 P 是 顶 点 为 M 的 抛 物 线 上 一 点 ， 且 位 于 对 称 轴 的 右 侧 ， 设 PO 与 x 轴 正 半 轴 的 夹角 为 α， 当 α＝ ∠ ABM 时 ， 求 点 P 坐 标 ．
【 分 析 】 （ 1） 由 平 移 可 得 y＝ （ x﹣ 1） 2﹣ 3， 求 出 解 析 式 即 可 求 解 各 点 坐 标 ；（ 2） 求 出 MB＝ 2 ， AM＝ ， AB＝ 3 ， 利 用 勾 股 定 理 可 知 △ ABM 是 直 角 三 角 形 ，即 可 求 解 ；（ 3） 由 已 知 可 知 tanα＝ ＝ ， 求 出 t 的 值 即 可 ．【 解 答 】 解 ： （ 1） 抛 物 线 y＝ x2﹣ 3 向 右 平 移 1 个 单 位 得 到 y＝ （ x﹣ 1） 2﹣ 3＝ x2﹣ 2x﹣ 2，∴ M（ 1， ﹣ 3） ，令 x＝ 0， 则 y＝ ﹣ 2，∴ A（ 0， ﹣ 2） ，
∵ 点 B 在 抛 物 线 上 ， 且 横 坐 标 为 3，
∴ B（ 3， 1） ；（ 2） ∵ M（ 1， ﹣ 3） ， A（ 0， ﹣ 2） ， B（ 3， 1） ，∴ MB＝ 2 ， AM＝ ， AB＝ 3 ，∵ MB2＝ AM2+AB2，∴ △ ABM 是 直 角 三 角 形 ，∴ ∠ MAB＝ 90° ，∴ tan∠ ABM＝ ＝ ；（ 3） 设 P（ t， t
2﹣ 2t﹣ 2） ，∵ 点 P 位 于 对 称 轴 的 右 侧 ，∴ t＞ 1，∵ PO 与 x 轴 正 半 轴 的 夹 角 为 α，∴ P 点 在 第 一 象 限 ，∵ α＝ ∠ ABM，∴ tanα＝ ，∴ ＝ ，
∴ t＝ 3 或 t＝ ﹣ （ 舍 ） ，∴ P（ 3， 1） ．【 点 评 】 本 题 是 二 次 函 数 的 综 合 题 ， 熟 练 掌 握 二 次 函 数 的 图 象 及 性 质 ， 灵 活 应 用 勾 股 定理 逆 定 理 是 解 题 的 关 键 ．
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