自由模态与约束模态的理论基础

网上经常看到一些朋友询问关于自由模态与约束模态的问题，而且看到了很多不同的说法。而最近又有朋友向我问到了这个问题，我想，还是彻底地解决这个问题为好。而要彻底解决它，就需要考察其理论基础。
所以这篇文章专门去看看它的理论底层。
首先我们要明确，无论是自由模态还是约束模态，都属于模态分析的范畴。
那么什么是模态分析呢？这个概念来自于《机械振动》。于是我们到《机械振动》中去看看。
考察一个三自由度的例子

X

现在我们要对该三自由度系统列动力学方程。这很容易，只需要分别取出每个质量块，使用牛顿第二定律就好

这样就有三个微分方程，用矩阵的形式整理这三个方程，得到

其中

这里的[m][k][c]分别是质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵。而{F(t)}是力向量。

下面我们来考虑模态分析。
所谓模态分析，是取力向量为0，就是说系统不受外力；而且忽略阻尼，则上述方程变成

下面的任务是求解这个微分方程组
这种解很难找到，于是我们假设了一个解的形式为（很有意思的是，这种形式的解刚好是正确的）

将该假设的解代入到上述方程中，得到

整理上述方程组，得到

该方程组的左边只与时间t有关，而右边与时间t无关。如果要这两边相等，除非两端都等于一个常数。例如都等于 ，于是有
（1）
以及

（2）
对于（1）式，从《高等数学》的二阶常系数微分方程的解可以知道，其解为

对于（2）式，把它写成矩阵形式，并令

可以得到

提出位移向量{u},可以得到

上述式子要有非零解，按照《线性代数》理论，有

将该式子展开，可以得到

根据它就可以解出各个
可以证明，该方程有n个正实根，它们对应于系统的n个自然频率。假设没有重根，则这些频率可以从小到大排序，得到

这其中，最小的这个就是基频。可见，系统有多少个自由度，就有多少个频率。
在解出所有频率后，将某个频率代入到

中，就可以得到此时的
此即系统的模态向量或者振型向量。

从以上推导中我们知道
（1）有多少个自由度，就有多少个自然频率。
（2）有多少个自然频率，就有多少个与自然频率相对应的模态向量。

下面来说明所谓的约束模态与自由模态。
仍旧取最前面的例子。

首先，我们限制该问题为一维问题，如果取消左边的墙壁，成为

则我们认为该对象与周围物体之间没有关系，那么所得到的模态就是约束模态。
如果该对象与周围有关联，如下图

则会得到约束模态
如果右边再与周围关联，如下图

得到的也是约束模态。

总之，对于一个研究对象，凡是与周围对象发生了作用力的，那么得到的就是约束模态；如果与周围毫无关联的，得到的就是自由模态。

从前面的方程推导过程可以看出，是约束模态还是自由模态，会导致方程中某些项发生改变，从而导致最后的

中各矩阵不一样，从而得到的模态自然不一样。

所以，网上有些说法，说约束模态是自由模态的子集。这显然是错误的。因为方程都发生了改变，谈不上子集的问题。

那么，在实际问题中，到底是要分析约束模态还是自由模态？
这完全取决于问题本身。
如果研究对象在运动过程中与周围对象没有关联，例如火箭，飞机等的运动，那么做自由模态分析好了。
如果研究对象在运动过程中与周围对象相关，例如联轴器，它必然要与轴相连，那么就需要使用约束模态了。

实际上，自由模态/约束模态的概念，与《理论力学》中的自由体/非自由体的概念非常相似。在《理论力学》中，所谓自由体，就是与周围毫不关联的物体；而非自由体，就是受到了周围物体作用力的物体。这样，在《机械振动》中，所谓自由模态，是自由体的模态；而所谓的约束模态，是非自由体的模态。
如此而已。

下面一篇文章，将通过一个例子，更加直观的说明上述观点。