压杆稳定问题的计算

下面是2012年我系材料力学期末考试试题中的压杆稳定问题，它出现在倒数第二题。
【问题】图示结构中杆BD由Q235钢制成，B、D两处均为球铰。已知d＝20mm， E＝200GPa，σ_S＝235MPa，σ_P＝200Mpa, a=304Mpa, b=1.12 Mpa；稳定安全因素n_st＝3.0。试由BD杆稳定性确定该结构的许可荷载F。

X

【问题分析】
该杆件系统由两根杆件组成：AC和BD。其中AC发生的是弯曲变形，BD则是压缩变形。题目中说到由BD杆的稳定性来确定结构的许可载荷，意思是说，不用考虑AC杆的强度和刚度问题，只需要由BD杆的稳定性来确定载荷。
首先需要把BD杆受到的工作载荷计算出来，这需要对AC杆做受力分析，很快就可以得到该力。
然后分析BD杆，计算其临界载荷。
最后，根据临界载荷比上工作载荷要大于稳定安全因数，来确定许可载荷。
【问题求解】
（1）计算BD杆的工作载荷
取AC为研究对象，做受力图如下

对A点列力矩方程

从而计算出了工作载荷。
（2）计算杆件的临界载荷
（2.1）计算BD杆的柔度


（2.2）计算第一个临界柔度

（2.3）确定杆的临界应力
由于

依据临界应力图

可知道，这是一根细长杆，当工作载荷达到临界载荷时，会出现失稳。而且此临界载荷是按照欧拉公式来计算的。此时临界应力为

（2.4）计算杆件的临界载荷
用临界应力乘以横截面积就得到临界载荷

（3）根据稳定性要求计算结构的许可载荷
有了临界载荷和工作载荷，就可以根据稳定安全因素来确定许可载荷了。


【小结】

• 求解压杆稳定性问题的思路是十分确定的，总是三步：计算工作载荷，计算临界载荷，由稳定安全因数来设计或校核。
• 计算工作载荷依据的是理论力学中的静力学平衡方程。
• 计算临界载荷的思路是：计算杆件自身的柔度；再计算两个临界柔度，一般是先计算 ,如果杆件柔度大于该临界值，就直接用欧拉公式去计算临界应力；如果杆件的柔度小于该值，再进一步计算 。如果柔度大于 ，则用经验公式计算临界应力。再用临界应力乘以横截面积得到临界载荷。
• 用临界载荷：工作载荷就是实际的稳定安全因数，依据它要大于给定值，从而可以进行基于稳定性的设计或者校核。
• 压杆稳定问题，因为其思路十分简单，我们需要的只是熟记其中涉及到的公式。希望大家好好把握，只要记好公式和解题步骤，这基本上属于送分题。