2.5.1 离散型随机变量的均值一、复习回顾1、离散型随机变量的分布列2、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)
p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在
实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解
某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最
常用的有期望与方差.1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？把环数看成
随机变量的概率分布列：权数加权平均二、互动探索2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：
1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：1.离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散
型随机变量X的分布列为知识点一 离散型随机变量的均值则称
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.E(X
)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn例1 袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取
到一只黑球得1分，试求得分X的均值.一、利用定义求离散型随机变量的均值求随机变量X的均值的方法和步骤(1)理解随机变量X的意义，写
出X所有可能的取值.(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).(3)写出X的分布列.(4)利用均值的定义求E(X).跟踪训练1 某卫
视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目
可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为
且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值.探究.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不
中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？一般地，如果随机变量X服从两点分布，则小结：探究.
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分
布列；（2）求X的期望。解：(1) X～B（3，0.7）(2)知识点二 两点分布、二项分布的均值1.两点分布的均值由均值的定义可知
，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则________
.这表明在只有两个可能结果的随机试验中，离散型随机变量X的均值为p.2.二项分布的均值在n次独立重复试验中，若X～B(n，p)，
则 .E(X)＝1×p＋0×(1－p)＝p例2 (1)设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则
p等于?A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4二、两点分布、二项分布的均值(2)某运动员的投篮命中率为P
＝0.6，则投篮一次时命中次数X的均值为____.若重复投篮5次，则命中次数Y的均值为___.(1)常见的两种分布的均值设p为一次
试验中成功的概率，则①两点分布E(X)＝p；②二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度.(2)两点
分布与二项分布辨析①相同点：一次试验中要么发生要么不发生；②不同点：a.随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分
布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.b.试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.跟踪训练2 某广场上
有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中出现红灯的数
量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的均值.离散型随机变量的均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b均
是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有 .E(a
X＋b)＝aE(X)＋b例3 (1)一次游戏的其中一个环节由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得
5分，不选或选错不得分.一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这一环节中成绩的均值为____.三、离散型随机变量均值的性质(
2)已知随机变量X的分布列为若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX
＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E
(ξ).跟踪训练3 已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为?核心素养之数据分析H
E XIN SU YANG ZHI SHU JU FEN XI离散型随机变量均值的应用典例 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新
产品成功的概率分别为 现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新
产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业
可获利润的分布列和均值.(1)解答概率模型的三个步骤①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②
确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.(2)利用题目提供的相关数据进行分布列及费
用决策的研究，体现了数据分析的数学素养.1.已知离散型随机变量X的分布列为则X的均值E(X)等于?随堂演练2.随机变量X～B(3,
0.2)，则E(2X＋1)等于?A.0.6 B.1.2 C.2.2 D.3.23.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6
的6支签，从中任意取3支签，设X为这3支签中最大的号码，则X的均值为?A.5 B.5.25 C.5.8 D.4
.64.一射手向靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6.现有4颗子弹，命中后剩余子弹的数目X的均值为?A.2.44
B.3.376 C.2.376 D.2.45.离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b＝_____.课堂小结1.知识清单：(1)离散型随机变量的均值.(2)两点分布、二项分布的均值.(3)离散型随机变量均值的性质. |
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